曲げモーメント

固体力学において、曲げモーメントとは、構造要素に外力またはモーメントが加わり、要素が曲がるときに、その要素に誘起される反作用のことである。^{[1] [2]}曲げモーメントを受ける最も一般的で単純な構造要素は梁である。図は、両端が単純支持されている（回転が自由にでき、したがって曲げモーメントがない）梁を示している。両端はせん断荷重にのみ反応できる。その他の梁は両端が固定されている（エンキャストレ梁と呼ばれる）ことができる。したがって、各端部の支持には曲げモーメントとせん断反応荷重の両方がかかる。梁は、一端が固定され、一端が単純支持されていることもできる。最も単純なタイプの梁は片持ち梁で、これは一端が固定され、他端が自由である（単純でも固定でもない）。実際には、梁の支持は通常、絶対的に固定されることも、絶対的に自由に回転することもない。

構造要素の断面における内部反力は、合力と合偶力に分解できます。^{[3]平衡を保つには、外部の力/モーメントによって生成されるモーメントが、内部荷重によって誘発される}偶力 によってバランスされる必要があります。合力の内部偶力は曲げモーメントと呼ばれ、合力の内部力はせん断力（要素の平面に対して横方向の場合）または法線力（要素の平面に沿う場合）と呼ばれます。法線力は軸力とも呼ばれます。

構造要素の断面における曲げモーメントは、その断面の片側に作用するすべての外力の、その断面に関するモーメントの合計として定義できます。断面の両側の力とモーメントは、互いに打ち消し合って平衡状態を維持するために等しくなければなりません。そのため、断面のどちら側が選択されても、モーメントの合計から同じ曲げモーメントが得られます。時計回りの曲げモーメントを負とすると、要素内の負の曲げモーメントは「ホギング」を引き起こし、正のモーメントは「サギング」を引き起こします。したがって、梁内の曲げモーメントがゼロの点は、逆曲げ点、つまりホギングからサギングへの移行点、またはその逆であることは明らかです。

モーメントとトルクは、力と距離の積として測定されるため、単位はニュートンメートル(N·m) またはポンドフィート(lb·ft) です。曲げモーメントの概念は、工学(特に土木工学と機械工学) と物理学において非常に重要です。

引張応力と圧縮応力は曲げモーメントに比例して増加しますが、梁の断面の二次モーメントにも依存します (つまり、断面の形状。一般的な構造形状は円形、正方形、I 型梁などです)。曲げモーメントが、断面全体にわたって材料の降伏応力よりも大きな引張/圧縮応力を引き起こすのに十分である場合、曲げによる破損が発生します。構造解析では、この曲げによる破損は塑性ヒンジと呼ばれます。これは、断面全体が降伏応力を超えるまで、構造要素の最大荷重支持能力に達しないためです。構造要素のせん断による破損が曲げによる破損の前に発生する可能性がありますが、せん断による破損と曲げによる破損のメカニズムは異なります。

モーメントは、外部ベクトル 力(荷重または反力) と、それらが適用されるベクトル距離を掛け合わせることで計算されます。要素全体を分析する場合、要素の両端、均一に分散された荷重の始点、中心、終点、および点荷重の真下でモーメントを計算するのが賢明です。もちろん、構造内の「ピンジョイント」は自由回転が可能であるため、これらのポイントでは、一方から他方に回転力を伝達する方法がないため、モーメントはゼロになります。

考慮中の点の左側の時計回りの曲げモーメントを正とみなすという慣例を使用するのが一般的です。これは関数の 2 次導関数に対応し、正の場合は「中央が低い」、つまりたわんでいる曲率を示します。このようにモーメントと曲率を定義すると、微積分を使用して傾斜とたわみをより簡単に見つけることができます。

梁内の臨界値は、曲げモーメント図を使用して最も一般的に注釈付けされます。曲げモーメント図では、負のモーメントは水平線より上に、正のモーメントは下にプロットされます。曲げモーメントは、無負荷セクションでは直線的に変化し、均一に負荷がかかったセクションでは放物線状に変化します。

曲げモーメントの計算に関するエンジニアリングの説明は、説明されていない符号規則と暗黙の仮定のために混乱を招く可能性があります。以下の説明では、ベクトル力学を使用して力のモーメントと曲げモーメントを計算し、特定の符号規則が選択された理由を第一原理から説明します。

実際の問題で曲げモーメントを決定する上で重要な部分は、力のモーメントの計算です。物体の点Aに作用する力のベクトルをとします。この力の基準点（ O）周りのモーメントは次のように定義されます^[2]${\displaystyle \mathbf {F} }$

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} }$

ここで、はモーメントベクトル、 は基準点 ( O ) から力の作用点 ( A ) までの位置ベクトルです。記号はベクトル積を表します。 多くの問題では、基準点Oを通る軸の周りの力のモーメントを計算する方が便利です。 軸に沿った単位ベクトルが の場合、軸の周りの力のモーメントは次のように定義されます。 ${\displaystyle \mathbf {M} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \times }$${\displaystyle \mathbf {e} }$

${\displaystyle M=\mathbf {e} \cdot \mathbf {M} =\mathbf {e} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {F} )}$

ここで はベクトルの内積を示します。 ${\displaystyle \cdot}$

隣の図は、力を受ける梁を示しています。座標系が3つの単位ベクトルで定義される場合、次の式が得られます。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}}$

${\displaystyle \mathbf {F} =0\,\mathbf {e} _{x}-F\,\mathbf {e} _{y}+0\,\mathbf {e} _{z}\quad { \text{and}}\quad \mathbf {r} =x\,\mathbf {e} _{x}+0\,\mathbf {e} _{y}+0\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

したがって、

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\left|{\begin{行列}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y} &\mathbf {e} _{z}\\x&0&0\\0&-F&0\end{行列}}\right|=-Fx\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

軸周りのモーメントは ${\displaystyle \mathbf {e} _{z}}$

${\displaystyle M_{z}=\mathbf {e} _{z}\cdot \mathbf {M} =-Fx\,.}$

負の値は、物体を軸の周りで時計回りに回転させるモーメントは負の符号を持つべきであることを示唆している。しかし、実際の符号は3つの軸の選択によって決まる。例えば、別の右手座標系を と選択した場合、次のようになる。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}}$${\displaystyle \mathbf {E} _{x}=\mathbf {e} _{x},\mathbf {E} _{y}=-\mathbf {e} _{z},\mathbf {E} _ {z}=\mathbf {e} _{y}}$

${\displaystyle \mathbf {F} =0\,\mathbf {E} _{x}+0\,\mathbf {E} _{y}-F\,\mathbf {E} _{z}\quad { \text{and}}\quad \mathbf {r} =x\,\mathbf {E} _{x}+0\,\mathbf {E} _{y}+0\,\mathbf {E} _{z}\,.}$

それから、

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\left|{\begin{行列}\mathbf {E} _{x}&\mathbf {E} _{y} &\mathbf {E} _{z}\\x&0&0\\0&0&-F\​​end{行列}}\right|=Fx\,\mathbf {E} _{y}\quad {\text{and}}\quad M_{y}=\mathbf {E} _{y}\cdot \mathbf {M} =Fx\,.}$

この新しい軸の選択では、正のモーメントにより、本体が軸を中心に時計回りに回転する傾向があります。

剛体または拘束されていない変形可能な物体では、力のモーメントを適用すると純粋な回転が発生します。しかし、変形可能な物体が拘束されている場合は、外力に応じて内部力が発生し、平衡が維持されます。例を下の図に示します。これらの内部力により、物体に局所的な変形が発生します。

平衡状態においては、内力ベクトルの合計は加えられた外力の合計の負に等しく、内力によって生成されるモーメントベクトルの合計は外力のモーメントの負に等しい。内力ベクトルとモーメントベクトルは、システムの合計力（内力＋外力）とモーメント（外力＋内力）がゼロになるように方向付けられる。内部モーメントベクトルは曲げモーメントと呼ばれる。^[1]

曲げモーメントは、任意の形状の構造における応力状態を決定するために使用されてきましたが、計算された応力の物理的解釈には問題があります。しかし、梁や板における曲げモーメントの物理的解釈は、構造要素の断面における応力の結果として簡単に解釈できます。たとえば、図の梁では、x軸に垂直な断面Aの応力による曲げモーメントベクトルは次のように表されます。

${\displaystyle \mathbf {M} _{x}=\int _{A}\mathbf {r} \times (\sigma _{xx}\mathbf {e} _{x}+\sigma _{xy}\ mathbf {e} _{y}+\sigma _{xz}\mathbf {e} _{z})\,dA\quad {\text{where}}\quad \mathbf {r} =y\,\mathbf {e} _{y}+z\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

この表現を展開すると、

${\displaystyle \mathbf {M} _{x}=\int _{A}\left(-y\sigma _{xx}\mathbf {e} _{z}+y\sigma _{xz}\mathbf {e} _{x}+z\sigma _{xx}\mathbf {e} _{y}-z\sigma _{xy}\mathbf {e} _{x}\right)dA=:M_{xx}\,\mathbf {e} _{x}+M_{xy}\,\mathbf {e} _{y}+M_{xz}\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

曲げモーメント成分を次のように定義する。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{xx}\\M_{xy}\\M_{xz}\end{bmatrix}}:=\int _{A}{\begin{bmatrix}y\sigma _{xz}-z\sigma _{xy}\\z\sigma _{xx}\\-y\sigma _{xx}\end{bmatrix}}\,dA\,.}$

内部モーメントは梁または板の中立軸にある原点を中心に計算され、積分は厚さ（） を通して行われます。${\displaystyle h}$

隣の図に示す梁では、外力は点A（ ）に作用する力と、2つの支持点OとB（と）の反力である。この状況では、曲げモーメントの唯一の非ゼロ成分は ${\displaystyle -F\mathbf {e} _{y}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{O}=R_{O}\mathbf {e} _{y}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{B}=R_{B}\mathbf {e} _{y}}$

${\displaystyle \mathbf {M} _{xz}=-\left[\int _{z}\left[\int _{0}^{h}y\,\sigma _{xx}\,dy\right]\,dz\right]\mathbf {e} _{z}\,.}$

ここで、ビームの方向 の高さです。マイナス記号は、符号規則を満たすために含まれています。${\displaystyle h}$${\displaystyle y}$

を計算するには、まず力を釣り合わせることから始めます。すると、2つの未知の反応を含む1つの方程式が得られます。 ${\displaystyle \mathbf {M} _{xz}}$

${\displaystyle R_{O}+R_{B}-F=0\,.}$

それぞれの反応を得るには、2番目の方程式が必要です。任意の点Xの周りのモーメントをバランスさせると、2番目の方程式が得られ、これを使ってとについて解くことができます。点Oの周りのバランスが最も簡単ですが、ポイントを説明するために点Aの周りのバランスをとってみましょう。 ${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle R_{B}}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle -\mathbf {r} _{A}\times \mathbf {R} _{O}+(\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A})\times \mathbf {R} _{B}=\mathbf {0} \,.}$

が梁の長さであれば、 ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{A}=x_{A}\mathbf {e} _{x}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {r} _{B}=L\mathbf {e} _{x}\,.}$

クロス積の評価:

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\-x_{A}&0&0\\0&R_{0}&0\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\L-x_{A}&0&0\\0&R_{B}&0\end{matrix}}\right|=-x_{A}R_{0}\,\mathbf {e} _{z}+(L-x_{A})R_{B}\,\mathbf {e} _{z}=0\,.}$

反応を解くと

${\displaystyle R_{O}=\left(1-{\frac {x_{A}}{L}}\right)F\quad {\text{and}}\quad R_{B}={\frac {x_{A}}{L}}\,F\,.}$

ここで、 Xにおける内部曲げモーメントを求めるには、Xの右側（正側）にあるすべての外力による点X周りのモーメントをすべて合計します。この場合、寄与は1つだけです。 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathbf {M} _{xz}=(\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{X})\times \mathbf {R} _{B}=\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\L-x&0&0\\0&R_{B}&0\end{matrix}}\right|={\frac {Fx_{A}}{L}}(L-x)\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

この答えは、自由体図と点Xの左側の梁の部分を見て確認することができ、これらの外力による合計モーメントは次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {M} =(\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{X})\times \mathbf {F} +(-\mathbf {r} _{X})\times \mathbf {R} _{O}=\left[(x_{A}-x)\mathbf {e} _{x}\right]\times \left(-F\mathbf {e} _{y}\right)+\left(-x\mathbf {e} _{x}\right)\times \left(R_{O}\mathbf {e} _{y}\right)\,.}$

クロス積を計算すると、

${\displaystyle \mathbf {M} =\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\x_{A}-x&0&0\\0&-F&0\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\-x&0&0\\0&R_{0}&0\end{matrix}}\right|=F(x-x_{A})\,\mathbf {e} _{z}-R_{0}x\,\mathbf {e} _{z}=-{\frac {Fx_{A}}{L}}(L-x)\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

平衡のおかげで、 Xの左側の外力による内部曲げモーメントは、Xの右側の梁の部分を考慮して得られる内部回転力と正確にバランスが取れている必要があります。

${\displaystyle \mathbf {M} +\mathbf {M} _{xz}=\mathbf {0} \,.}$

それは明らかに事実です。

上記の議論では、梁の上部が圧縮されているときに曲げモーメントが正であると暗黙的に想定されています。これは、梁の応力の線形分布を考慮し、結果として生じる曲げモーメントを求めるとわかります。梁の上部が応力 で圧縮され、梁の下部に応力 があるとします。すると、梁の応力分布は になります。これらの応力による曲げモーメントは ${\displaystyle -\sigma _{0}}$${\displaystyle \sigma _{0}}$${\displaystyle \sigma _{xx}(y)=-y\sigma _{0}}$

${\displaystyle M_{xz}=-\left[\int _{z}\int _{-h/2}^{h/2}y\,(-y\sigma _{0})\,dy\,dz\right]=\sigma _{0}\,I}$

ここで、は梁の断面の 慣性モーメントです。したがって、梁の上部が圧縮されているとき、曲げモーメントは正になります。${\displaystyle I}$

多くの著者は、異なる慣例に従って応力の合力を次のように定義しています。 ${\displaystyle M_{xz}}$

${\displaystyle \mathbf {M} _{xz}=\left[\int _{z}\int _{-h/2}^{h/2}y\,\sigma _{xx}\,dy\,dz\right]\mathbf {e} _{z}\,.}$

その場合、正の曲げモーメントは梁の上部が張力を受けていることを意味します。もちろん、上部の定義は使用されている座標系によって異なります。上記の例では、上部は -座標が最大の場所です。 ${\displaystyle y}$

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