クロネッカーデルタ

数学において、クロネッカーデルタ（レオポルド・クロネッカーにちなんで命名）は、通常は非負の整数である2つの変数の関数です。この関数は、変数が等しい場合は1、そうでない場合は0となります。 $\delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}$ またはアイバーソンブラケットを使用する場合： $\delta _{ij}=[i=j]\,$ 例えば、 $\delta _{12}=0$ なぜなら $1\neq 2$ 、一方 $\delta _{33}=1$ なぜなら $3=3$ 。

クロネッカーデルタは、上記の定義を簡潔に表現する手段として、数学、物理学、工学、コンピュータサイエンスの多くの分野で自然に現れます。クロネッカーデルタの一般化されたバージョンは、微分幾何学や現代のテンソル解析、特にゲージ理論や位相場モデルの定式化において応用されています。^{[ 1 ]}

線形代数では、 $n\times n$ 単位行列 $\mathbf {I}$ クロネッカーデルタに等しいエントリを持つ。 $I_{ij}=\delta _{ij}$ どこ $i$ そして $j$ 値を取る $1,2,\cdots ,n$ 、ベクトルの内積は次のように表すことができます。 $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}\delta _{ij}b_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.$ ここで、ユークリッドベクトルは $n$ 個の組として定義されます。 $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ そして $\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},...,b_{n})$ そして最後のステップは、クロネッカーデルタの値を使用して総和を減らすことによって得られます。 $j$ 。

$i$ と $j は$ ${1, 2, ..., n}$ または ${0, 1, ..., n - 1}$ の形の集合に制限されるのが一般的ですが、クロネッカーのデルタは任意の集合上で定義できます。

物件

以下の式が満たされます。 ${\begin{aligned}\sum _{j}\delta _{ij}a_{j}&=a_{i},\\\sum _{i}a_{i}\delta _{ij}&=a_{j},\\\sum _{k}\delta _{ik}\delta _{kj}&=\delta _{ij}.\end{整列}}$ したがって、行列 $δ$ は単位行列とみなすことができる。

もう一つの便利な表現方法は、次の形式です。 $\delta _{nm}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}e^{2\pi i{\frac {k}{N}}(nm)}$ これは等比級数の公式を用いて導き出すことができる。

別の表記法

アイバーソンブラケットを使用する: $\delta _{ij}=[i=j].$

多くの場合、単一引数表記 $\displaystyle \delta _{i}}$ が使用され、これは設定と同等です $j=0$ : $\delta _{i}=\delta _{i0}={\begin{cases}0,&{\text{if }}i\neq 0\\1,&{\text{if }}i=0\end{cases}}$

線形代数では、テンソルとして考えることができ、次のように記述される。 $\delta _{j}^{i}$ クロネッカーデルタは置換テンソルと呼ばれることもある。^{[ 2 ]}

並置によって曖昧さが生じる場合、コンマがよく用いられます。例えば、コンマは⁠の 2 つの整数を区切ります。 $\delta _{19,20}$ ⁠ .

デジタル信号処理

デジタル信号処理（DSP）の研究において、クロネッカーデルタ関数は、単位サンプル関数を意味することがある。 $\delta [n]$ これは、2次元クロネッカーデルタ関数の特殊なケースを表しています。 $\displaystyle \delta _{ij}}$ クロネッカー指数にゼロが含まれる場合、および指数のいずれかがゼロである場合： $\delta [n]\equiv \delta _{n0}\equiv \delta _{0n}~~~{\text{ただし}}-\infty <n<\infty$

あるいはより一般的には、次のような場合： $\delta [nk]\equiv \delta [kn]\equiv \delta _{nk}\equiv \delta _{kn}{\text{ただし}}-\infty <n<\infty 、-\infty <k<\infty$

離散時間信号の場合、角括弧内に単一の整数インデックスを配置するのが一般的です。対照的に、クロネッカーデルタは、 $\displaystyle \delta _{ij}}$ は任意の数のインデックスを持つことができます。LTIシステム理論では、離散単位サンプル関数は通常、離散時間システムへの入力として使用され、任意の一般的な入力に対するシステムを特徴付けるシステムのインパルス応答関数を決定します。対照的に、クロネッカーデルタ関数の典型的な目的は、アインシュタインの総和規約から項をフィルタリングすることです。

離散単位サンプル関数は、より簡潔に次のように定義されます。 $\delta [n]={\begin{cases}1&n=0\\0&n{\text{は別の整数です}}\end{cases}}$

それに対し、連続時間システムでは、ディラックのデルタ関数はクロネッカーのデルタ関数と単位サンプル関数の両方と混同されることが多い。ディラックのデルタ関数は次のように定義される。 ${\begin{cases}\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\delta (t)dt=1&\forall \varepsilon >0\\\delta (t)=0&\forall t\neq 0\end{cases}}$

クロネッカーデルタ関数とは異なり $\displaystyle \delta _{ij}}$ 単位サンプル関数 $\delta [n]$ ディラックのデルタ関数 $\delta (t)$ 整数インデックスはなく、単一の連続した非整数値 $t$ を持ちます。

連続時間システムにおいて、「単位インパルス関数」という用語はディラックのデルタ関数を指すために用いられる。 $\delta (t)$ または、離散時間システムでは、クロネッカーのデルタ関数 $\delta [n]$ 。

注目すべき特性

クロネッカーデルタには、いわゆるふるい分け特性があり、 $j\in \mathbb {Z}$ : $\sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ij}=a_{j}.$ そして、整数を計数測度を備えた測度空間とみなすならば、この性質はディラックのデルタ関数の定義性質と一致する。 $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (xy)f(x)\,dx=f(y),$ 実際、ディラックのデルタは、この類似した性質のためにクロネッカーのデルタにちなんで名付けられました。^{[ 3 ]} 信号処理では、通常、コンテキスト（離散時間または連続時間）がクロネッカー関数とディラック関数を区別します。そして慣例として、 $\delta (t)$ 一般的には連続時間（ディラック）を示すが、 $i$ 、 $j$ 、 $k$ 、 $l$ 、 $m$ 、そして $n$ は通常、離散時間（クロネッカーの式）のために予約されています。もう1つの一般的な方法は、離散シーケンスを角括弧で表すことです。したがって、次のようになります。 $\delta [n]$ クロネッカーのデルタは、ディラックのデルタ関数を直接サンプリングした結果ではありません。

クロネッカーデルタは、接続代数の乗法単位元を形成する。^[⁴^]

クロネッカーデルタは基本的な再帰関数です。

ディラックのデルタ関数との関係

確率論と統計学では、クロネッカーのデルタとディラックのデルタ関数はどちらも離散分布を表すために使用できます。分布のサポートが点から構成されている場合 $\mathbf {x} =\{x_{1},\cdots ,x_{n}\}$ 対応する確率とともに $p_{1},\cdots ,p_{n}$ すると確率質量関数 $p(x)$ 分布の $\mathbf {x}$ クロネッカーデルタを用いると、次のように書ける。 $p(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta _{xx_{i}}.$

同等に、確率密度関数 $f(x)$ 分布はディラックのデルタ関数を用いて次のように表すことができる。 $f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).$

特定の条件下では、ディラックデルタ関数をサンプリングすることでクロネッカーデルタが得られることがあります。例えば、ディラックデルタインパルスがサンプリング点に正確に発生し、ナイキスト・シャノン標本化定理に従って（カットオフ周波数を臨界周波数とする）理想的なローパスフィルタ処理が施されると、結果として得られる離散時間信号はクロネッカーデルタ関数になります。

一般化

もしそれがタイプとして考えられるなら $(1,1)$ テンソル、クロネッカーテンソルは次のように書ける $\delta _{j}^{i}$ 共変指数付き $j$ および反変指数 $i$ : $\delta _{j}^{i}={\begin{cases}0&(i\neq j),\\1&(i=j).\end{cases}}$

このテンソルは以下を表します。

恒等写像（または恒等行列）は、線形写像とみなされる。 $V\to V$ または $V^{*}\to V^{*}$
トレースまたはテンソル縮約は、マッピングとして考えられます。 $V^{*}\時々 V\to K$
地図 $K\to V^{*}\otimes V$ スカラー乗算を外積の和として表す。

の一般化クロネッカーデルタまたは次数マルチインデックスクロネッカーデルタ $2p$ 型です $(p,p)$ 完全に反対称なテンソル $p$ 上位指数、またその $p$ 指数が低下する。

2 つの定義は、 $p!$ が使用されています。以下に、非ゼロのコンポーネントがスケーリングされたバージョンを示します。 $\pm 1$ 2番目のバージョンには、ゼロでない成分があり、 $\pm 1/p!$ その結果、式中のスケーリング係数も変化し、例えば、 $1/p!$ §一般化されたクロネッカーデルタの性質は以下で消滅します。^{[ 5 ]}

一般化クロネッカーデルタの定義

指標に関して、一般化クロネッカーデルタは次のように定義されます。^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} $\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{cases}{\phantom {-}}1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an even permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\-1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an odd permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\{\phantom {-}}0&\quad {\text{in all other cases}}.\end{cases}}$

させて $\mathrm {S} _{p}$ 次数の対称群とする $p$ 、それから： $\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{\sigma (1)}}^{\mu _{1}}\cdots \delta _{\nu _{\sigma (p)}}^{\mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{\sigma (1)}}\cdots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{\sigma (p)}}.$

反対称化の使用： $\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=p!\delta _{[\nu _{1}}^{\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}]}^{\mu _{p}}=p!\delta _{\nu _{1}}^{[\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}]}.$

の観点から $p\times p$ 決定要因：^{[ 8 ]} $\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{vmatrix}\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{1}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{p}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\end{vmatrix}}.$

行列式のラプラス展開（ラプラスの公式）を用いると、次のように再帰的に定義できる。^{[ 9 ]} ${\begin{aligned}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=\sum _{k=1}^{p}(-1)^{p+k}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots {\check {\nu }}_{k}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k}\dots {\check {\mu }}_{p}}\\&=\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p-1}}-\sum _{k=1}^{p-1}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{k-1}\,\nu _{p}\,\nu _{k+1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k-1}\,\mu _{k}\,\mu _{k+1}\dots \mu _{p-1}},\end{aligned}}$ カロンでは、 ${\check {}}$ は、シーケンスから省略されたインデックスを示します。

いつ $p=n$ （ベクトル空間の次元）をレヴィ＝チヴィタ記号で表すと次のようになる。 $\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}=\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}\,.$ より一般的には、 $m=n-p$ アインシュタインの総和規約を用いると： $\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\tfrac {1}{m!}}\varepsilon ^{\kappa _{1}\dots \kappa _{m}\mu _{1}\dots \mu _{p}}\varepsilon _{\kappa _{1}\dots \kappa _{m}\nu _{1}\dots \nu _{p}}\,.$

一般化クロネッカーデルタの収縮

クロネッカーデルタ収縮は空間の次元に依存します。たとえば、 $\delta _{\mu _{1}}^{\nu _{1}}\delta _{\nu _{1}\nu _{2}}^{\mu _{1}\mu _{2}}=(d-1)\delta _{\nu _{2}}^{\mu _{2}},$ ここで、 $d$ は空間の次元である。この関係から、完全な縮約デルタは次のように得られる。 $\delta _{\mu _{1}\mu _{2}}^{\nu _{1}\nu _{2}}\delta _{\nu _{1}\nu _{2}}^{\mu _{1}\mu _{2}}=2d(d-1).$ 前述の公式の一般化は次のとおりである。 $\delta _{\mu _{1}\dots \mu _{n}}^{\nu _{1}\dots \nu _{n}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=n!{\frac {(d-p+n)!}{(d-p)!}}\delta _{\nu _{n+1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{n+1}\dots \mu _{p}}.$

一般化クロネッカーデルタの特性

一般化されたクロネッカーデルタは反対称化に使用できる。 ${\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}.\end{aligned}}$

上記の式と反対称テンソルの性質から、一般化クロネッカーデルタの性質を導き出すことができる。 ${\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}\delta _{\kappa _{1}\dots \kappa _{p}}^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=\delta _{\kappa _{1}\dots \kappa _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}},\end{aligned}}$ これらは、 § 性質 で記述された公式の一般化バージョンです。最後の公式は、コーシー・ビネの公式と同等です。

インデックスの合計による次数削減は、恒等式^{[ 10 ]で表すことができる。} $\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}={\frac {(n-s)!}{(n-p)!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}}.$

両方のケースで総和規則を使用する $p=n$ そして、レヴィ＝チヴィタ記号との関係から、レヴィ＝チヴィタ記号の総和規則が導き出される。 $\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\frac {1}{(n-p)!}}\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{p}\,\kappa _{p+1}\dots \kappa _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{p}\,\kappa _{p+1}\dots \kappa _{n}}.$ 最後の関係の 4D バージョンは、ペンローズの一般相対性理論へのスピノルアプローチ^{[ 11 ]に現れ、後にエイトケンの図}^{[ 12 ]}を開発する際に一般化され、ペンローズの図式表記法^{[ 13 ]}の一部となった。また、この関係は、特に微分形式とホッジ双対の言語で記述される場合、S 双対性理論で広く使用されている。

積分表現

任意の整数に対して $j$ そして $k$ クロネッカーデルタは、標準的な留数計算を用いて複素積分として表すことができます。積分は、複素平面上の反時計回りの単位円上で行われます。積分の等価な表現は、原点を中心とする角度で積分経路をパラメータ化することによって得られます。 $\delta _{jk}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z|=1}z^{j-k-1}\,dz={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(j-k)\varphi }\,d\varphi$

クローネッカー櫛

周期を持つクロネッカーの櫛関数 $N$ （DSP表記法を用いて）次のように定義される。 $\Delta _{N}[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta [n-kN],$ どこ $N\neq 0$ 、 $k$ そして $n$ $は整数です。したがって、クロネッカーの櫛は、 N$ 単位間隔で並んだ無限個の単位インパルスから構成され、そのうちの 1 つのインパルスがゼロで発生するように整列されています。これは、ディラックの櫛の離散的な類似物と考えることができます。

参考文献

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[Trowbridge-2] Trowbridge, JH (1998). "表面波が存在する場合の乱流せん断応力の測定技術について" . Journal of Atmospheric and Oceanic Technology . 15 (1): 291. Bibcode : 1998JAtOT..15..290T . doi : 10.1175/1520-0426(1998)015 < 0290:OATFMO > 2.0.CO ; 2 .

[3] ディラック、ポール（1930）。量子力学の原理（第1版）。オックスフォード大学出版局。ISBN 9780198520115。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）

[4] シュピーゲル、ユージン；オドネル、クリストファー J. (1997)、インシデンス代数、純粋および応用数学、第206 巻、マルセルデッカー、ISBN 0-8247-0036-8。

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[8] Lovelock, David; Rund, Hanno (1989). Tensors, Differential Forms, and Variational Principles . Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65840-6。

[9] 再帰的定義には最初のケースが必要です。これは、 $p$ $= 0$ の場合は $δ = 1$ 、または $p$ $= 1$ の場合 $はδ$ $μ$ $ν$ $=$ $δ$ $μ$ $ν$ (標準デルタに関する一般化されたデルタ) とみなすことができます。

[10] Hassani, Sadri (2008). Mathematical Methods: For Students of Physics and Related Fields (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09503-5。

[11] Penrose, Roger (1960 年 6 月). "一般相対性理論へのスピノルアプローチ" . Annals of Physics . 10 (2): 171–201 . Bibcode : 1960AnPhy..10..171P . doi : 10.1016/0003-4916(60)90021-X .

[12] エイトケン、アレクサンダー・クレイグ (1958)。行列式と行列。英国：オリバー・アンド・ボイド。

[13] ロジャー・ペンローズ、「負の次元テンソルの応用」、組合せ数学とその応用、アカデミック・プレス（1971年）。

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[ 10 ]で表すことができる。

[ 11 ]に現れ、後にエイトケンの図

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