リプシッツ連続性

数学的解析において、ドイツの数学者ルドルフ・リプシッツにちなんで名付けられたリプシッツ連続性は、関数の一様連続性の強い形式です。直感的には、リプシッツ連続関数は変化の速さに制限があります。つまり、この関数のグラフ上のすべての点のペアについて、それらを結ぶ線の傾きの絶対値がこの実数以下になるような実数が存在し、そのような最小の境界は関数のリプシッツ定数と呼ばれます（一様連続性の係数と関連しています）。たとえば、区間上で定義され、有界な1次導関数を持つすべての関数はリプシッツ連続です。^[1]

微分方程式の理論において、リプシッツ連続性はピカール・リンデレーフの定理の中心条件であり、初期値問題の解の存在と一意性を保証する。リプシッツ連続性の特別なタイプである収縮は、バナッハの不動点定理で使用されている。^[2]

実数直線上の 閉じた有界な非自明区間上の関数に対して、次のような厳密な包含関係の連鎖が成り立ちます。

連続微分可能⊂リプシッツ連続⊂ -ホルダー連続、${\displaystyle \alpha}$

ここにもあります ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$

リプシッツ連続⊂絶対連続⊂一様連続。

2つの計量空間( X , d _X ) と ( Y , d _Y ) が与えられ、d _{X は}集合X上の計量を表し、d _{Y は}集合Y上の計量を表す。関数f  : X → Yがリプシッツ連続であるとは、実定数K ≥ 0 が存在し、X内のすべてのx ₁とx ₂に対して、

${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2}).}$^[3]

このようなKは関数f のLipschitz 定数と呼ばれ 、f はK-Lipschitzと呼ばれることもあります。最小の定数は、 fの(最良) Lipschitz 定数^[4]またはfの膨張または膨張^{[5] : p. 9、定義 1.4.1  [6] [7]}と呼ばれることもあります。K = 1の場合、関数は短縮写像と呼ばれ、0 ≤ K < 1 かつf が距離空間を自身に写像する場合、関数は収縮と呼ばれます。

特に、実数値関数 f  : R → Rがリプシッツ連続であるとは、任意の実数x ₁およびx ₂に対して、 正の実定数 K が存在し、

${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leq K|x_{1}-x_{2}|.}$

この場合、Y は標準メトリックd _Y ( y ₁ , y ₂ ) = | y ₁ − y ₂ | を持つ実数 Rの集合であり、X はRのサブセットです。

一般に、不等式はx ₁ = x ₂のとき（自明に）満たされる。そうでない場合、定数K ≥ 0 が存在し、すべてのx ₁ ≠ x ₂に対して、

${\displaystyle {\frac {d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))}{d_{X}(x_{1},x_{2})}}\leq K.}$

複数の実変数の実数値関数の場合、すべての割線の傾きの絶対値がKで制限される場合にのみ、これが成り立ちます。関数のグラフ上の点を通過する傾きKの直線の集合は円錐を形成し、関数がリプシッツ関数であるためには、関数のグラフがどこでもこの円錐の外側に完全に存在する必要があります (図を参照)。

関数が局所的にリプシッツ連続であるとは、 X内のすべてのxに対して、 xの近傍U が存在し、 f がUに制限されてリプシッツ連続となる場合を言います。同様に、X が局所的にコンパクトな距離空間である場合、 f が局所的にリプシッツであるためには、 Xのすべてのコンパクトな部分集合上でリプシッツ連続である必要があります。局所的にコンパクトでない空間では、これは必要条件ではありますが、十分条件ではありません。

より一般的には、X上で定義された関数fは、定数M ≥ 0が存在し、

${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(y))\leq Md_{X}(x,y)^{\alpha}}$

X内のすべてのxとyに対して成り立ちます。 α 次数のホルダー条件は、 α > 0次数の均一リプシッツ条件と呼ばれることもあります。

実数K ≥ 1の場合、

${\displaystyle {\frac {1}{K}}d_{X}(x_{1},x_{2})\leq d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2})\quad {\text{ すべての }}x_{1},x_{2}\in X, に対して}$

すると、fはK -ビリプシッツ( K -bi-Lipschitzとも表記)と呼ばれます。 fがビリプシッツまたはbi-Lipschitzであるというのは、そのようなK が存在することを意味します。ビリプシッツ写像は単射であり、実際はその像への同相写像です。ビリプシッツ関数は、逆関数も Lipschitzである単射 Lipschitz 関数と同じものです。

どこでも微分可能なリプシッツ連続関数

• すべての実数に対して定義された関数は、どこでも微分可能であり、導関数の絶対値は 1 で上方に制限されるため、リプシッツ定数K  = 1 でリプシッツ連続です。以下の「プロパティ」にリストされている最初のプロパティを参照してください。${\displaystyle f(x)={\sqrt {x^{2}+5}}}$
• 同様に、正弦関数は、その導関数である余弦関数の絶対値が 1 以上に制限されるため、リプシッツ連続です。

どこでも微分可能ではないリプシッツ連続関数

• 実数上で定義された関数は、逆三角不等式により、リプシッツ定数が 1 に等しいリプシッツ連続です。より一般的には、ベクトル空間上のノルムは、関連付けられた計量に関してリプシッツ連続であり、リプシッツ定数は 1 に等しくなります。${\displaystyle f(x)=|x|}$

どこでも微分可能であるが連続的に微分可能ではないリプシッツ連続関数

• 関数、その導関数は存在するが、 で本質的な不連続性を持つ。${\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$${\displaystyle x=0}$

（大域的に）リプシッツ連続ではない連続関数

• [0, 1]上で定義された関数f ( x ) =  √ xはリプシッツ連続ではない。この関数はxが0に近づくにつれてその導関数が無限大になるため、無限に急になる。しかし、一様連続であり、^[8]クラスC ^0、α（ α ≤ 1/2）のヘルダー連続であり、 [0, 1]上で絶対連続でもある（どちらも前者を意味する）。

（局所的に）リプシッツ連続ではない微分可能関数

• 0< x ≤1 に対してf (0) = 0 およびf ( x ) =  x ^3/2 sin(1/ x )で定義される関数f は、コンパクト集合上で微分可能であるが、その微分関数が有界ではないため局所的にリプシッツではない関数の例を示します。以下の最初の特性も参照してください。

（大域的に）リプシッツ連続ではない解析関数

• 指数関数はx → ∞のときに任意の急勾配になるため、解析関数であるにもかかわらず、大域的にリプシッツ連続ではありません。
• 定義域が実数である関数f ( x ) =  x ^{2はリプシッツ連続では}ありません。この関数は、 x が無限大に近づくにつれて急勾配になります。ただし、局所的にはリプシッツ連続です。

• どこでも微分可能な関数g  :  R  →  Rは、有界な第 1 導関数を持つ場合のみ、リプシッツ連続です ( K  = sup | g ′( x )|) 。1 つの方向は平均値定理に従います。特に、連続関数は局所的に有界であるため、その勾配も局所的に有界であるため、連続微分可能関数は局所的にリプシッツです。
• リプシッツ関数g  :  R  →  Rは絶対連続なので、ほぼどこでも微分可能、つまり、ルベーグ測度がゼロの集合の外側のすべての点で微分可能です。その導関数は、本質的にリプシッツ定数によって大きさが制限され、a  < bの場合、差g ( b ) −  g ( a ) は、区間 [ a ,  b ]での導関数g ′ の積分に等しくなります。
  • 逆に、f  : I  → Rが絶対連続でほぼどこでも微分可能であり、Iのほぼすべてのxに対して | f′ ( x )| ≤ K を満たす場合、f はリプシッツ連続であり、リプシッツ定数は最大でもKです。
  • より一般的には、ラデマッハの定理は、微分可能性の結果をユークリッド空間間のリプシッツ写像に拡張する。リプシッツ写像^{f :} U  →  R  m  （^UはR ⁿの開集合）^は、ほぼどこでも 微分可能である。さらに、K がfの最良のリプシッツ定数である場合、全導関数Df が存在するときはいつでも、${\displaystyle \|Df(x)\|\leq K}$
• 微分可能なリプシッツ写像の場合、不等式はの最良のリプシッツ定数に対して成立します。領域が凸である場合、実際にはです。^{[さらに説明が必要]}${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \|Df\|_{W^{1,\infty }(U)}\leq K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \|Df\|_{W^{1,\infty }(U)}=K}$
• { f _n } が 2 つの距離空間間のリプシッツ連続写像の列であり、すべてのf _nが何らかのKで制限されるリプシッツ定数を持つとします。f _{n が}写像fに 一様 に収束する場合、fもリプシッツであり、リプシッツ定数は同じKで制限されます。特に、これは、リプシッツ定数に対して特定の制限を持つコンパクトな距離空間上の実数値関数の集合が、連続関数のバナッハ空間の閉じた凸部分集合であることを意味します。ただし、この結果は、関数が無制限のリプシッツ定数を持つ可能性がある列には当てはまりません。実際、コンパクトな距離空間上のすべてのリプシッツ関数の空間は、連続関数のバナッハ空間の部分代数であり、したがってその中で稠密であり、これはストーン–ワイエルシュトラスの定理の基本的な帰結です (または、ワイエルシュトラスの近似定理の帰結として、すべての多項式は局所的にリプシッツ連続であるため)。
• すべてのリプシッツ連続写像は一様連続であり、したがって連続である。より一般的には、有界リプシッツ定数を持つ関数の集合は 等連続集合を形成する。アルツェラ・アスコリ定理は、 { f _n }が有界リプシッツ定数を持つ関数の一様有界列である場合、収束部分列を持つことを意味する。前の段落の結果により、極限関数もリプシッツであり、リプシッツ定数に対して同じ有界を持つ。特に、リプシッツ定数≤ Kを持つ コンパクトな計量空間X上のすべての実数値リプシッツ関数の集合は、バナッハ空間C ( X ) の局所的にコンパクトな凸部分集合  である。
• 共通の定数を持つリプシッツ連続関数f _αの族に対して、関数(および) は、少なくとも 1 つの点で有限値を仮定する限り、同じリプシッツ定数でリプシッツ連続になります。${\displaystyle \sup_{\alpha}f_{\alpha}}$${\displaystyle \inf _{\alpha }f_{\alpha }}$
• U が距離空間Mの部分集合であり、f  : U  → R がリプシッツ連続関数である場合、 fを拡張し、 fと同じリプシッツ定数を持つリプシッツ連続写像M  → Rが常に存在する（キルシュブラウンの定理も参照）。拡張は次のように提供される。

${\displaystyle {\tilde {f}}(x):=\inf _{u\in U}\{f(u)+k\,d(x,u)\},}$

ここで、kはU上のfのリプシッツ定数です。

位相多様体上のリプシッツ構造は、遷移写像が双リプシッツであるチャートのアトラスを使用して定義されます。これは、双リプシッツ写像が擬群を形成するために可能です。このような構造により、滑らかな多様体間の滑らかな写像を定義するのと同様に、そのような多様体間の局所リプシッツ写像を定義することができます。MとNがリプシッツ多様体である場合、関数が局所リプシッツであるための必要十分条件は、座標チャートとのすべてのペア（ UとVは対応するユークリッド空間の開集合）に対して、合成が 局所リプシッツである場合です。この定義は、 MまたはN 上の測定基準の定義に依存しません。^[9]${\displaystyle f:M\to N}$${\displaystyle \phi :U\to M}$${\displaystyle \psi :V\to N}$$${\displaystyle \psi ^{-1}\circ f\circ \phi :U\cap (f\circ \phi )^{-1}(\psi (V))\to V}$$

この構造は、区分線形多様体と位相多様体の中間であり、PL構造はユニークなリプシッツ構造を生み出します。^[10] リプシッツ多様体は位相多様体と密接に関連していますが、ラデマッハーの定理により解析を行うことができ、さまざまな応用が生まれます。^[9]

F ( x ) をxの上半連続関数とし、F ( x ) がすべてのxに対して閉じた凸集合であるとする。このとき、Fが片側リプシッツ^[11]である場合、

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{T}(F(x_{1})-F(x_{2}))\leq C\Vert x_{1}-x_{2}\Vert ^{2}}$

あるCとすべてのx ₁およびx ₂に対して。

関数Fは、非常に大きなリプシッツ定数を持ちながら、中程度の大きさ、あるいは負の片側リプシッツ定数を持つ 可能性があります。たとえば、関数

${\displaystyle {\begin{cases}F:\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ,\\F(x,y)=-50(y-\cos(x))\end{cases}}}$

リプシッツ定数K = 50 および片側リプシッツ定数C = 0 を持ちます。片側リプシッツだがリプシッツ連続ではない例としては、F ( x ) = e ^{− x}、C = 0 があります。

• 収縮マッピング – すべての点間の距離を縮める関数
• ディニの連続性
• 連続係数
• 準等長法
• ジョンソン・リンデンシュトラウスの補題– 任意の整数n ≥0、任意の有限集合X ⊆ R ⁿ、および任意の実数0<ε<1に対して、(1+ε)-bi-Lipschitz関数が存在する。${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{d},}$${\displaystyle d=\lceil 15(\ln |X|)/\varepsilon ^{2}\rceil .}$