自己随伴

数学では、*-代数の元がその随伴元（すなわち ）と同じである場合、その元は自己随伴元と呼ばれます。 ${\displaystyle a=a^{*}}$

を*-代数とする。 のとき、要素は自己随伴と呼ばれる。^[1]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a=a^{*}}$

自己随伴要素の集合は と呼ばれます。${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}$

反転*に関して閉じている部分集合、 すなわち は自己随伴と呼ばれる。 ^[2]${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{*}}$

特に重要な特殊なケースは、が完全なノルム *-代数であり、C*-恒等式 ( ) を満たす場合であり、これはC*-代数と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}}$

特に*-代数とC*-代数に関する古い文献では、そのような要素はしばしばエルミートと呼ばれます。^[1]そのため、より最近の文献でも、自己随伴要素の集合に対して、、またはという表記法が使用されることがあります。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{h}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{H}}$${\displaystyle H({\mathcal {A}})}$

• C*代数の各正元は自己随伴である。^[3]
• *-代数の各元に対して、*は反転反自己同型なので、元と元は自己随伴である。^[4]${\displaystyle a}$${\displaystyle aa^{*}}$${\displaystyle a^{*}a}$
• *-代数の各要素について、実部と虚部は自己随伴であり、ここで は虚数単位を表す。^[1]${\displaystyle a}$ ${\textstyle \operatorname {Re} (a)={\frac {1}{2}}(a+a^{*})}$${\textstyle \operatorname {Im} (a)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(aa^{*})}$${\displaystyle \mathrm {i} }$
• がC*-代数 の正規元である場合、のスペクトル上で連続する任意の実数値関数に対して、連続関数計算により自己随伴元 が定義されます。^[5]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(a)}$

を*-代数とします。すると次のように なります。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• とすると、 は自己随伴である。なぜなら であるからである。同様に計算するとも自己随伴であることがわかる。 ^[6]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a^{*}a}$${\displaystyle (a^{*}a)^{*}=a^{*}(a^{*})^{*}=a^{*}a}$${\displaystyle aa^{*}}$
• を2つの自己随伴要素の積とします。がと が交換可能であれば、 は自己随伴です。なぜなら、 が常に成り立つからです。^[1]${\displaystyle a=a_{1}a_{2}}$${\displaystyle a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle (a_{1}a_{2})^{*}=a_{2}^{*}a_{1}^{*}=a_{2}a_{1}}$
• がC*-代数である場合、正規元が自己随伴となるのは、そのスペクトルが実数である場合、すなわち の場合に限ります。^[5]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$

を*-代数とします。すると次のように なります。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• 各要素は一意に実部と虚部に分解できます。つまり、一意に決まる要素が存在するため、 が成り立ちます。ここで、 および です。^[1]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}}$${\displaystyle a=a_{1}+\mathrm {i} a_{2}}$${\textstyle a_{1}={\frac {1}{2}}(a+a^{*})}$${\textstyle a_{2}={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(aa^{*})}$
• 自己随伴元の集合はの実線型部分空間である。前の性質から、 は2 つの実線型部分空間の直和、すなわち であることが分かる。^[7]${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {A}}_{sa}\oplus \mathrm {i} {\mathcal {A}}_{sa}}$
• が自己随伴であれば、は正規である。^[1]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$${\displaystyle a}$
• すべての自己随伴要素が実スペクトルを持つ場合、 *-代数はエルミート*-代数と呼ばれる。^[8]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$

をC*-代数とし、 とします。すると次の ようになります。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$

• スペクトルまたはは実数であるため成り立ち、スペクトル半径はは正規分布であるため成り立つ。^[9]${\displaystyle \left\|a\right\|\in \sigma (a)}$${\displaystyle -\left\|a\right\|\in \sigma (a)}$${\displaystyle \sigma (a)}$${\displaystyle r(a)=\left\|a\right\|}$${\displaystyle a}$
• 連続関数計算によれば、となる一意に定まる正の元 が存在する。ノルムについては、が成り立つ。^[10]元および は、正の部分 および負の部分とも呼ばれる。さらに、すべての元 に対して定義された絶対値 について、 が成り立つ。^[11]${\displaystyle a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle a=a_{+}-a_{-}}$${\displaystyle a_{+}a_{-}=a_{-}a_{+}=0}$${\displaystyle \left\|a\right\|=\max(\left\|a_{+}\right\|,\left\|a_{-}\right\|)}$${\displaystyle a_{+}}$${\displaystyle a_{-}}$${\displaystyle |a|=a_{+}+a_{-}}$${\textstyle |a|=(a^{*}a)^{\frac {1}{2}}}$
• 任意の奇数に対して、を満たす一意に決まる、つまり一意の乗根が存在し、これは連続関数計算で示せる。^[12]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle b^{n}=a}$${\displaystyle n}$

• 自己随伴行列
• 自己随伴演算子

• ブラックアダー、ブルース (2006)。作用素代数。C*-代数とフォン・ノイマン代数の理論。ベルリン/ハイデルベルク: シュプリンガー。p. 63。ISBN 3-540-28486-9。
• ディクスミア、ジャック (1977)。C *-代数。ジェレット、フランシス訳。アムステルダム/ニューヨーク/オックスフォード: 北ホランド。ISBN 0-7204-0762-1。Les C*-algèbres et leurs représentations (フランス語)の英語翻訳。ゴーティエ・ヴィラール。 1969年。
• Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1983).作用素環理論の基礎. 第 1 巻 初等理論. ニューヨーク/ロンドン: Academic Press. ISBN 0-12-393301-3。
• パーマー、セオドア W. (2001)。バナッハ代数と*-代数の一般理論：第 2 巻、*-代数。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-36638-0。