衝撃（物理学）

連続時間の場合、時間t _1からt ₂まで作用する変化する力によって一定質量に与えられるインパルスは、力Fの時間に関する積分として定義される^{[ 5 ]} : $${\displaystyle \mathbf {J} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} t.}$$ニュートンの第二法則によれば、力は運動量pと次のよう に関係づけられる。$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}.}$$したがって、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} &=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t\\&=\int _{\mathbf {p} _{1}}^{\mathbf {p} _{2}}\mathrm {d} \mathbf {p} \\&=\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{1}=\Delta \mathbf {p} ,\end{aligned}}}$$ ここで、Δpは時刻t1からt2_までの線運動量の変化である。これはしばしばインパルス・運動量定理（仕事・エネルギー定理に類似）と呼ばれる。

前述の結果から、力積は、合力が加えられた物体の運動量の変化とみなすこともできる。質量が一定の場合、力積はより簡単な形で表すことができる。 $${\displaystyle \mathbf {J} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} t=\Delta \mathbf {p} =m\mathbf {v_{2}} -m\mathbf {v_{1}} ,}$$ どこ

• Fは加えられた合力であり、
• t ₁とt ₂はそれぞれ、インパルスの開始時刻と終了時刻である。
• mは物体の質量であり、
• v ₂は時間間隔終了時の物体の最終速度であり、
• v ₁は、時間間隔が開始されたときの物体の初速度です。

ニュートンの第二法則はしばしば次のように書かれる。 $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}.}$$しかし、これはpへの質量の出入り がない場合にのみ当てはまります。物体の質量が質量の放出または蓄積によって変化すると、運動量は質量面でも速度面でも時間依存性を持ちます。ニュートンの第二法則を素朴に適用すると、誤った結論になります。 $${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}\ \ \mathrm {(incorrect)} .}$$ むしろ、質量の出入りが周期Δ tごとに発生し、その時点で 元の質量mから質量Δ mが放出され、速度uで移動を開始すると仮定します。ニュートンの第三法則により、2 つの一定質量間のインパルス (すなわち運動量伝達) は等しく反対方向です。 $${\displaystyle \mathbf {J} _{m}=-\mathbf {J} _{\Delta m}.}$$したがって、 Δmによるmへ のインパルスは $${\displaystyle \mathbf {J} _{m}=\Delta m(\mathbf {v} -\mathbf {u} ).}$$ 最初の物体に外力F _extが加えられたとします。すると、単位時間Δ tの間に、物体はインパルスJ _ext = F _ext Δ tを得て、質量Δ mを失い、正味のインパルスが得られます。 $${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {J} _{m}=\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }\Delta t+\Delta m(\mathbf {v} -\mathbf {u} ).}$$ したがって、無限小の極限では、 $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }=m\mathbf {a} -{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}(\mathbf {u} -\mathbf {v} ).}$$これをニュートンの第二法則に当てはめると、この法則は系の全運動量P にのみ適用されることがわかります。これを利用して、系から出た質量をexと表記すると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }&={\frac {\mathrm {d} \mathbf {P} }{\mathrm {d} t}}\\&={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{\mathrm {ex} }}{\mathrm {d} t}}\\&=m\mathbf {a} +\mathbf {v} {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} _{\mathrm {ex} }{\frac {\mathrm {d} m_{\mathrm {ex} }}{\mathrm {d} t}}\\&=m\mathbf {a} -{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}(\mathbf {u} -\mathbf {v} ),\end{aligned}}}$$結果は同じになる。したがって、この場合、段階的インパルス法または微小ニュートン力法のどちらを使用しても問題ない。

前の例がロケットの場合だったと仮定します。すると、Jの式を用いると、比推力I _spは 次のようになります。$${\displaystyle I_{\mathrm {sp} }=\mathbf {v} -\mathbf {u} .}$$ この場合、この量はロケットのフレームに対する物質のロケットからの放出速度に等しいため、排気速度と呼びます。推力Tは次のようになります。 ${\textstyle \mathbf {T} =-{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}I_{\mathrm {sp} }={\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}(\mathbf {v} -\mathbf {u} ).}$