方向微分

多変数微積分において、方向微分は、特定の点を通る指定されたベクトルに沿って関数が変化する瞬間的な速度を表します。ベクトルにスカラーが乗算される場合、対応する方向微分も同じスカラーで乗算されます。

初等的な教科書の中には、関数の単位距離あたりの変化率を表すのに「 $v$ の方向における方向微分」という表現を用いるものもある。この慣例では、非ゼロベクトル $v$ はまず単位ベクトルに正規化される。 ${\hat {\mathbf {v} }}=\mathbf {v} /\|\mathbf {v} \|$ 正規化されたベクトルは、サーカムフレックス（ハット）記号で表されます。 $\mathbf {\widehat {}}$ 。

スカラー関数fのベクトルvに関する方向微分は、以下のいずれかの方法で表すことができます。 ${\begin{aligned}\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )&=f'_{\mathbf {v} }(\mathbf {x} )\\&=D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )\\&=Df(\mathbf {x} )(\mathbf {v} )\\&=\partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )\\&={\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}\\&=\mathbf {v} \cdot {\nabla f(\mathbf {x} )}\\&=\mathbf {v} \cdot {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}.\\end{aligned}}$

したがって、これは偏微分の概念を一般化したものであり、変化率は曲線座標曲線の1つに沿って取られ、他のすべての座標は一定である。関数解析において、位相ベクトル空間間の関数に対する類似の概念はガトー微分である。

意味

{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}} — 等高線図 $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ 勾配ベクトルを黒で、単位ベクトルを黒で示しています。 $\mathbf {u}$ 方向微分によってスケーリングされた $\mathbf {u}$ オレンジ色で示されています。勾配ベクトルが長いのは、勾配が関数の増加率が最も高い方向を指しているためです。

スカラー関数の方向微分 $f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ ベクトルに沿って $\mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})$ 関数は $\nabla _{\mathbf {v} }{f}$ 限界によって定義される^{[ 1 ]} $\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )\right|_{t=0}.$

この定義は、例えばベクトルのノルムが定義されるような幅広い文脈において有効です。有限次元においては、すべてのノルムは等価であるため、ノルムの選択に依存しません。その適用範囲は、計量を持たない有限次元ベクトル空間上の関数や、一般相対性理論における微分可能多様体などにも及びます。

微分可能な関数の場合

関数f がxで微分可能であれば、 xにおける任意のベクトルvに沿って方向微分が存在し、次の式が成り立つ。

$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v}$

どこで $\nabla$ 右側は勾配を示し、 $\cdot$ はドット積です。^{[ 2 ]}

これは、ある点におけるすべての方向微分が偏微分を用いて定義できる単一の接平面を構成するという性質を利用することで導き出すことができます。これを利用して、勾配ベクトルの式と方向微分の別の式を求めることができ、後者は便宜上、上記のように書き換えることができます。

パスを定義することからも、それは導かれる。 $\mathbf {h} (t)=\mathbf {x} +t\mathbf {v}$ そして、この経路に沿った極限として導関数の定義を使用して、 ${\begin{aligned}\nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )-\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} &=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{t}}-\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} \\&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )-t\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} }{t}}\\&=0,\end{aligned}}$ そこから $\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} =\nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )$ 。

ベクトルの方向のみを使用する

ユークリッド空間では、一部の著者^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}は、正規化後の任意の非ゼロベクトルvに関する方向微分を、その大きさに依存せず、方向のみに依存するものとして定義している^[⁵^{] 。}

$この定義は、 v$ で示される方向に移動した単位距離あたりの関数 $f$ の変化率を表します。この場合、次のようになります。 $\nabla _{\hat {\mathbf {v} }}{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h\|v\|}},$ または、 fがxで微分可能な場合、 $\nabla _{\hat {\mathbf {v} }}{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot {\hat {\mathbf {v} }}.$

不動産

通常の微分でよく知られている性質の多くは、方向微分にも当てはまります。これには、点p の近傍で定義され、かつpで微分可能な任意の関数fとgについて、次の性質が含まれます。

合計ルール： $\nabla _{\mathbf {v} }(f+g)=\nabla _{\mathbf {v} }f+\nabla _{\mathbf {v} }g.$
定数係数ルール：任意の定数cに対して、 $\nabla _{\mathbf {v} }(cf)=c\nabla _{\mathbf {v} }f.$
積の法則（またはライプニッツの法則）： $\nabla _{\mathbf {v} }(fg)=g\nabla _{\mathbf {v} }f+f\nabla _{\mathbf {v} }g.$
連鎖律： gがpで微分可能、 hがg ( p )で微分可能であれば、 $\nabla _{\mathbf {v} }(h\circ g)(\mathbf {p} )=h'(g(\mathbf {p} ))\nabla _{\mathbf {v} }g(\mathbf {p} ).$

微分幾何学において

$M を$ 微分可能な多様体とし、 $pを$ $M$ の点とする。f は p の近傍で定義され、p で微分可能な関数であるとする $。v$ $が$ pにおける $M$ の接ベクトルである場合 $、$ $v$ に $沿っ$ たfの $方向$ 微分は $、$ df ( $v$ $)$ $と$ $表記$ される（外微分を参照）。 $\nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )$ （共変微分を参照） $L_{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )$ （リー微分を参照）、または ${\mathbf {v} }_{\mathbf {p} }(f)$ （接空間§ 導関数による定義を参照） $は$ 、次のように定義できます。γ $: [-1, 1] \to$ $M を$ $γ (0) = p$ および $γ'(0) = v$ を満たす微分可能な曲線とします。このとき、方向微分は次のように定義されます。 $\nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )=\left.{\frac {d}{d\tau }}f\circ \gamma (\tau )\right|_{\tau =0}.$ $この定義は、 γ$ の選択とは無関係に証明できます。ただし、 $γ が$ 所定の方法で選択され、 $γ (0) = p$ および $γ'(0) = v$ となることが条件です。

リーの派生

ベクトル場のリー微分 $W^{\mu }(x)$ ベクトル場に沿って $V^{\mu }(x)$ これは、2つの方向微分（ねじれがゼロの場合）の差によって与えられる。 ${\mathcal {L}}_{V}W^{\mu }=(V\cdot \nabla )W^{\mu }-(W\cdot \nabla )V^{\mu }.$ 特に、スカラー場の場合 $\phi (x)$ リー微分は、標準的な方向微分に帰着する。 ${\mathcal {L}}_{V}\phi =(V\cdot \nabla )\phi .$

リーマンテンソル

方向微分は、リーマン曲率テンソルの入門的な導出でよく用いられます。微小ベクトルを持つ曲がった長方形を考えてみましょう。 $\delta$ 片方の端に沿って $\delta '$ 反対側に沿って移動します。共ベクトルを移動します。 $S$ 平行 $\delta$ それから $\delta '$ そして、 $\delta '$ その後 $\delta$ 偏微分を用いて方向微分を構築する代わりに、共変微分を使用します。の並進演算子 $\delta$ したがって $1+\sum _{\nu }\delta ^{\nu }D_{\nu }=1+\delta \cdot D,$ そして $\delta '$ 、 $1+\sum _{\mu }\delta '^{\mu }D_{\mu }=1+\delta '\cdot D.$ 2つの経路の違いは次のようになります。 $(1+\delta '\cdot D)(1+\delta \cdot D)S^{\rho }-(1+\delta \cdot D)(1+\delta '\cdot D)S^{\rho }=\sum _{\mu ,\nu }\delta '^{\mu }\delta ^{\nu }[D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }.$ 共変微分の非可換性は多様体の曲率を測るものであると主張できる^{[ 6 ] 。} $[D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }=\pm \sum _{\sigma }R^{\sigma }{}_{\rho \mu \nu }S_{\sigma },$ どこ $R$ はリーマン曲率テンソルであり、その符号は著者の符号規約に依存する。

群論では

翻訳

ポアンカレ代数では、微小並進演算子Pを次のように定義できます。 $\mathbf {P} =i\nabla .$ ( iはPが自己共役演算子であることを保証する) 有限変位λの場合、並進のユニタリヒルベルト空間表現は^{[ 7 ]である。} $U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left(-i{\boldsymbol {\lambda }}\cdot \mathbf {P} \right).$ 上記の微小並進演算子の定義を用いると、有限並進演算子は指数化された方向微分であることがわかる。 $U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right).$ これは、多変数関数f ( x ) に対して作用するという意味で、変換演算子です。 $U({\boldsymbol {\lambda }})f(\mathbf {x} )=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\lambda }}).$

最後の等式の証明

標準的な一変数微積分では、滑らかな関数f ( x ) の導関数は ( εが小さい場合) 次のように定義されます。 ${\frac {df}{dx}}={\frac {f(x+\varepsilon )-f(x)}{\varepsilon }}.$ これを変形してf ( x + ε ) を求めることができます。 $f(x+\varepsilon )=f(x)+\varepsilon \,{\frac {df}{dx}}=\left(1+\varepsilon \,{\frac {d}{dx}}\right)f(x).$ したがって、 $[1+\varepsilon \,(d/dx)]$ は変換演算子です。これはすぐに多変数関数f ( x ) に一般化されます^{[ 8 ]} $f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\varepsilon }})=\left(1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ).$ ここ ${\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla$ は微小変位εに沿った方向微分です。我々は並進演算子の微小バージョンを見つけました。 $U({\boldsymbol {\varepsilon }})=1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla .$ 群乗法則^{[ 9 ]} U ( g ) U ( f )= U ( gf )が次の形式をとることは明らかである。 $U(\mathbf {a} )U(\mathbf {b} )=U(\mathbf {a+b} ).$ そこで、有限変位λをN個の部分に分割すると仮定します（N →∞はどこでも暗黙のうちに示されています）。つまり、λ / N = εとなります。言い換えれば、 ${\boldsymbol {\lambda }}=N{\boldsymbol {\varepsilon }}.$ 次に、U ( ε )をN回適用することで、 U ( λ ) を構築できます。 $[U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}=U(N{\boldsymbol {\varepsilon }})=U({\boldsymbol {\lambda }}).$ ここで、上記の式を U( ε ) に代入してみましょう。 $[U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}=\left[1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla \right]^{N}=\left[1+{\frac {{\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla }{N}}\right]^{N}.$ 恒等式^{[ 10 ]を使用する} $\exp(x)=\left[1+{\frac {x}{N}}\right]^{N},$ 我々は持っています $U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right).$ また、 $U (ε) f (x) = f (x + ε)$ なので、 $[U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +N{\boldsymbol {\varepsilon }})=f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\lambda }})=U({\boldsymbol {\lambda }})f(\mathbf {x} )=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ),$ 証明終了

技術的な注記として、この手順は、並進群がポアンカレ代数においてアーベル部分群（カルタン部分代数）を形成するからこそ可能なのです。特に、群乗法則U ( a ) U ( b ) = U ( a + b ) は当然のこととして受け入れるべきではありません。また、ポアンカレ代数は連結リー群であることにも注意が必要です。これは、連続的な実パラメータの集合によって記述される変換群T ( ξ )です。 $\xi ^{a}$ 群乗法則は次の形式をとる。 $T({\bar {\xi }})T(\xi )=T(f({\bar {\xi }},\xi )).$ 取 $\xi ^{a}=0$ 同一性の座標として、 $f^{a}(\xi ,0)=f^{a}(0,\xi )=\xi ^{a}.$ ヒルベルト空間上の実際の演算子は、ユニタリ演算子U ( T ( ξ )) で表されます。上記の表記ではTを省略しましたが、ここではU ( λ ) をU ( P ( λ )) と表記します。恒等演算子の近傍では、べき級数表現は $U(T(\xi ))=1+i\sum _{a}\xi ^{a}t_{a}+{\frac {1}{2}}\sum _{b,c}\xi ^{b}\xi ^{c}t_{bc}+\cdots$ かなり良い。U(T(ξ))が非射影表現を形成すると仮定する。つまり、 $U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T(f({\bar {\xi }},\xi ))).$ f の 2 乗展開は $f^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a}+\sum _{b,c}f^{abc}{\bar {\xi }}^{b}\xi ^{c}.$ 表現乗算式を展開し、係数を等しくすると、非自明な条件が得られる。 $t_{bc}=-t_{b}t_{c}-i\sum _{a}f^{abc}t_{a}.$ 以来 $t_{ab}$ 定義により指数に関して対称であるため、標準的なリー代数の交換子が得られます。 $[t_{b},t_{c}]=i\sum _{a}(-f^{abc}+f^{acb})t_{a}=i\sum _{a}C^{abc}t_{a},$ Cは構造定数である。並進の生成子は偏微分演算子であり、これらは可換である。 $\left[{\frac {\partial }{\partial x^{b}}},{\frac {\partial }{\partial x^{c}}}\right]=0.$ これは、構造定数がゼロになり、したがってf展開における二次係数もゼロになることを意味します。つまり、fは単純に加法的です。 $f_{\text{abelian}}^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a},$ したがってアーベル群の場合、 $U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T({\bar {\xi }}+\xi )).$ 証明終了

ローテーション

回転演算子には方向微分も含まれます。角度θ、つまり軸に平行な軸を中心にθ = | θ |だけ回転する回転演算子 ${\hat {\theta }}={\boldsymbol {\theta }}/\theta$ は $U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-i\mathbf {\theta } \cdot \mathbf {L} ).$ ここでLはSO(3)を生成するベクトル演算子です。 $\mathbf {L} ={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}\mathbf {i} +{\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {k} .$ 幾何学的に、微小な右手回転によって位置ベクトルx が次のように変化することが示される。 $\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x} -\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} .$ したがって、微小回転下では、次のことが予想されます。 $U(R(\delta {\boldsymbol {\theta }}))f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} -\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )-(\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} )\cdot \nabla f.$ したがって、 $U(R(\delta \mathbf {\theta } ))=1-(\delta \mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla .$ 上記と同じ指数化手順に従うと、位置基底の回転演算子が得られます。これは指数化された方向微分です。^{[ 11 ]} $U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-(\mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla ).$

法線微分

法線微分とは、空間内の何らかの曲面に垂直な方向（つまり直交する方向）に取られる方向微分、あるいはより一般的には、何らかの超曲面に直交する法線ベクトル場に沿って取られる方向微分である。例えば、ノイマン境界条件を参照のこと。法線方向をで表すと、 $\mathbf {n}$ 関数fの法線微分は、次のように表されることがあります。 ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}}$ 。別の表記では、 ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }{f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \mathbf {n} =Df(\mathbf {x} )[\mathbf {n} ].$

固体連続体力学において

連続体力学におけるいくつかの重要な結果では、ベクトルのベクトルに関する導関数、およびテンソルのベクトルとテンソルに関する導関数が必要となります。^{[ 12 ]} 方向微分は、これらの導関数を体系的に求める方法を提供します。

様々な状況における方向微分の定義を以下に示す。関数は十分に滑らかであり、微分が可能であるものと仮定する。

ベクトルのスカラー値関数の導関数

f (v)をベクトルvの実数値関数とする。このとき、v（またはvにおける）に関するf(v)の導関数は、任意のベクトルuとの内積によって定義されるベクトルである。

${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =Df(\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f(\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}$

すべてのベクトル u に対して。上記のドット積はスカラーを生成し、u が単位ベクトルである場合は、v におけるfのu 方向の方向微分を与えます。

特性:

もし $f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )+f_{2}(\mathbf {v} )$ それから ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u}$
もし $f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )~f_{2}(\mathbf {v} )$ それから ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)~f_{2}(\mathbf {v} )+f_{1}(\mathbf {v} )~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)$
もし $f(\mathbf {v} )=f_{1}(f_{2}(\mathbf {v} ))$ それから ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u}$

ベクトル値関数のベクトルの導関数

f(v) をベクトル v のベクトル値関数とする。このとき、v (または v における) に関する f(v) の導関数は、任意のベクトル u との内積によって定義される 2 階テンソルである。

${\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =D\mathbf {f} (\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~\mathbf {f} (\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}$

すべてのベクトル u に対して。上記のドット積はベクトルを生成し、u が単位ベクトルである場合、v における f の方向 u の方向微分を与えます。

特性:

もし $\mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )$ それから ${\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u}$
もし $\mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )$ それから ${\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)$
もし $\mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} ))$ それから ${\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {f} _{2}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)$

2階テンソルのスカラー値関数の導関数

させて $f({\boldsymbol {S}})$ 2階テンソルの実数値関数である ${\boldsymbol {S}}$ 。次に、の導関数 $f({\boldsymbol {S}})$ に関して ${\boldsymbol {S}}$ （または ${\boldsymbol {S}}$ ）の方向に ${\boldsymbol {T}}$ 2階テンソルは次のように定義されます。 ${\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=Df({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}$ すべての2階テンソルについて ${\boldsymbol {T}}$ 。

特性:

もし $f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})+f_{2}({\boldsymbol {S}})$ それから ${\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}$
もし $f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})~f_{2}({\boldsymbol {S}})$ それから ${\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)~f_{2}({\boldsymbol {S}})+f_{1}({\boldsymbol {S}})~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)$
もし $f({\boldsymbol {S}})=f_{1}(f_{2}({\boldsymbol {S}}))$ それから ${\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)$

2階テンソルのテンソル値関数の導関数

させて ${\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})$ 2階テンソルの2階テンソル値関数である ${\boldsymbol {S}}$ 。次に、の導関数 ${\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})$ に関して ${\boldsymbol {S}}$ （または ${\boldsymbol {S}}$ ）の方向に ${\boldsymbol {T}}$ は、次のように定義される4階テンソルです。 ${\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=D{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}$ すべての2階テンソルについて ${\boldsymbol {T}}$ 。

特性:

もし ${\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})$ それから ${\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}$
もし ${\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})$ それから ${\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot \left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)$
もし ${\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))$ それから ${\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)$
もし $f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))$ それから ${\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)$

注記

↑ R. Wrede; MR Spiegel (2010). Advanced Calculus (3rd ed.). Schaum's Outline Series. ISBN 978-0-07-162366-7。
↑内積が定義されていない場合、勾配も定義されません。ただし、微分可能なfの場合、方向微分は定義され、外微分と同様の関係が存在します。
↑ Thomas, George B. Jr.; and Finney, Ross L. (1979) Calculus and Analytic Geometry , Addison-Wesley Publ. Co., fifth edition, p. 593.
↑スチュワート、ジェームズ (2015)。「14.6 方向微分と勾配ベクトル」。微積分（第8版）。Cengage Learning。ISBN 978-1-285-74062-1。
↑これは通常、ユークリッド空間を前提としています。たとえば、複数の変数を持つ関数では、通常、ベクトルの大きさ、したがって単位ベクトルの定義がありません。
↑ Zee, A. (2013).アインシュタイン重力入門. プリンストン: プリンストン大学出版局. p. 341. ISBN 9780691145587。
↑ワインバーグ、スティーブン (1999).場の量子論(訂正版再録). ケンブリッジ [ua]: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 9780521550017。
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↑ケイヒル、ケビン・ケイヒル (2013).物理数学（再版）. ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1107005211。
↑ラーソン、ロン；エドワーズ、ブルース H. (2010).単変数微積分（第9版）. ベルモント：ブルックス/コール. ISBN 9780547209982。
↑シャンカー、R. (1994).量子力学の原理（第2版）. ニューヨーク：クルーワー・アカデミック／プレナム. p. 318. ISBN 9780306447907。
↑ JE Marsden および TJR Hughes、2000 年、『弾性の数学的基礎』、ドーバー出版。

参考文献

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外部リンク

ウィキメディア・コモンズにある方向性微分に関するメディア

MathWorldの方向微分。
PlanetMathの方向微分。

[1] R. Wrede; MR Spiegel (2010). Advanced Calculus (3rd ed.). Schaum's Outline Series. ISBN 978-0-07-162366-7。

[2] 内積が定義されていない場合、勾配も定義されません。ただし、微分可能なfの場合、方向微分は定義され、外微分と同様の関係が存在します。

[3] Thomas, George B. Jr.; and Finney, Ross L. (1979) Calculus and Analytic Geometry , Addison-Wesley Publ. Co., fifth edition, p. 593.

[4] スチュワート、ジェームズ (2015)。「14.6 方向微分と勾配ベクトル」。微積分（第8版）。Cengage Learning。ISBN 978-1-285-74062-1。

[5] これは通常、ユークリッド空間を前提としています。たとえば、複数の変数を持つ関数では、通常、ベクトルの大きさ、したがって単位ベクトルの定義がありません。

[6] Zee, A. (2013).アインシュタイン重力入門. プリンストン: プリンストン大学出版局. p. 341. ISBN 9780691145587。

[7] ワインバーグ、スティーブン (1999).場の量子論(訂正版再録). ケンブリッジ [ua]: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 9780521550017。

[8] Zee, A. (2013).アインシュタイン重力入門. プリンストン: プリンストン大学出版局. ISBN 9780691145587。

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