スペクトル（機能分析）

させて${\displaystyle T}$バナッハ空間に作用する有界線形作用素とする${\displaystyle X}$複素スカラー場において${\displaystyle \mathbb {C} }$、 そして${\displaystyle I}$恒等演算子とする${\displaystyle X}$スペクトル​​${\displaystyle T}$すべての集合です${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$オペレーターが${\displaystyle T-\lambda I}$有界線形作用素である逆作用素は存在しない。

以来${\displaystyle T-\lambda I}$は線形演算子であり、逆演算子が存在する場合は線形である。また、有界逆定理により、有界である。したがって、スペクトルはまさにこれらのスカラーから構成される。${\displaystyle \lambda }$そのために${\displaystyle T-\lambda I}$全単射ではない。

特定の演算子のスペクトル${\displaystyle T}$しばしば表記される${\displaystyle \sigma (T)}$、そしてその補集合であるレゾルベント集合は、と表記される。${\displaystyle \rho (T)=\mathbb {C} \setminus \sigma (T)}$. (${\displaystyle \rho (T)}$は、スペクトル半径を表すために使われることがある。${\displaystyle T}$）

もし${\displaystyle \lambda }$は、${\displaystyle T}$オペレーター${\displaystyle T-\lambda I}$は一対一ではないので、その逆もまた${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$は定義されていません。ただし、逆の命題は真ではありません。演算子${\displaystyle T-\lambda I}$逆関数を持たない場合もあるが、${\displaystyle \lambda }$は固有値ではない。したがって、演算子のスペクトルは常にそのすべての固有値を含むが、それらに限定されない。

例えば、ヒルベルト空間を考えてみよう。${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$実数のすべての双無限数列から構成される

${\displaystyle v=(\ldots ,v_{-2},v_{-1},v_{0},v_{1},v_{2},\ldots )}$

平方和が有限であるもの${\textstyle \sum _{i=-\infty }^{+\infty }v_{i}^{2}}$両シフトオペレーター${\displaystyle T}$単にシーケンスのすべての要素を 1 位置ずらします。つまり、${\displaystyle u=T(v)}$それから$u_i=v_i-1$すべての整数に対して${\displaystyle i}$固有値方程式${\displaystyle T(v)=\lambda v}$この空間には非ゼロの解はありません。なぜなら、すべての値が${\displaystyle v_{i}}$絶対値が同じである場合（${\displaystyle \vert \lambda \vert =1}$）または等比数列である（もし${\displaystyle \vert \lambda \vert \neq 1}$いずれにしても、それらの二乗の和は有限ではありません。しかし、演算子${\displaystyle T-\lambda I}$逆ではない場合${\displaystyle |\lambda |=1}$例えば、次のシーケンス${\displaystyle u}$そのため${\displaystyle u_{i}=1/(|i|+1)}$は${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$;しかし、順序はありません${\displaystyle v}$で${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$そのため${\displaystyle (TI)v=u}$（つまり、${\displaystyle v_{i-1}=u_{i}+v_{i}}$すべての人々のために${\displaystyle i}$)

有界作用素のスペクトル ${\displaystyle T}$ は常に複素平面の閉じた有界部分集合である。

スペクトルが空であれば、レゾルベント関数は

${\displaystyle R(\lambda )=(T-\lambda I)^{-1},\qquad \lambda \in \mathbb {C} ,}$

複素平面上のあらゆる場所で定義され、有界である。しかし、レゾルベント関数は${\displaystyle R}$は定義域で正則である。リウヴィルの定理のベクトル値版によれば、この関数は定数であり、無限遠でゼロであるため、どこでもゼロとなる。これは矛盾である。

スペクトルの有界性は、ノイマン級数展開から導かれる。${\displaystyle \lambda }$スペクトル${\displaystyle \sigma (T)}$境界は${\displaystyle \left\|T\right\|}$同様の結果は、スペクトルの閉鎖性を示している。

境界${\displaystyle \left\|T\right\|}$スペクトル上の値は多少改良できる。スペクトル半径、${\displaystyle r(T)}$、 の${\displaystyle T}$は、原点を中心としスペクトルを含む複素平面上の最小の円の半径です。${\displaystyle \sigma (T)}$その内部、つまり

${\displaystyle r(T)=\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (T)\}.}$

スペクトル半径の公式は^{[ 2 ]}、任意の要素に対して${\displaystyle T}$バナッハ環の、

${\displaystyle r(T)=\lim _{n\to \infty }\left\|T^{n}\right\|^{1/n}.}$

Xをバナッハ空間とし、${\displaystyle T:\,D(T)\to X}$定義域上で定義された線形演算子とする。${\displaystyle D(T)\subseteq X}$複素数λは、次の不等式のレゾルベント集合（正則集合とも呼ばれる）に含まれると言われます。${\displaystyle T}$オペレーターが

${\displaystyle T-\lambda I:\,D(T)\to X}$

有界な至るところで定義された逆演算子を持つ、すなわち有界な演算子が存在する場合

${\displaystyle S:\,X\rightarrow D(T)}$

そのため

${\displaystyle S(T-\lambda I)=I_{D(T)},\,(T-\lambda I)S=I_{X}.}$

複素数λがスペクトルに含まれるのは、λがレゾルベントセットに含まれていない場合である。

λがレゾルベント内にある（つまりスペクトル内にはない）ためには、有界の場合と同様に、${\displaystyle T-\lambda I}$両側逆元が存在する必要があるため、全単射でなければなりません。これまでと同様に、逆元が存在する場合は、その線形性はすぐにわかりますが、一般に有界ではない可能性があるため、この条件は別途確認する必要があります。

閉グラフ定理により、${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$Tが閉じている場合、その存在から直接導かれる。そして、有界の場合と同様に、複素数λ が閉じた作用素Tのスペクトルに含まれるのは、次の場合に限る。${\displaystyle T-\lambda I}$全単射ではありません。閉じた演算子のクラスには、すべての有界演算子が含まれることに注意してください。

非有界作用素のスペクトルは一般に複素平面の閉じた、場合によっては空のサブセットである。作用素Tが閉じていない場合、${\displaystyle \sigma (T)=\mathbb {C} }$。

次の例は、非閉演算子が空のスペクトルを持つ可能性があることを示しています。${\displaystyle T}$微分演算子を表す${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ドメインは、${\displaystyle C_{c}^{\infty }((0,1])}$に関して${\displaystyle H^{1}}$-ソボレフ空間ノルム。この空間は、すべての関数が${\displaystyle H^{1}([0,1])}$ゼロの${\displaystyle t=0}$。 それから、${\displaystyle Tz}$この領域には自明なカーネルがあり、${\displaystyle H^{1}([0,1])}$-そのカーネル内の関数は定数倍です${\displaystyle e^{zt}}$これは、${\displaystyle t=0}$恒等的にゼロである場合に限ります。したがって、スペクトルの補数は、${\displaystyle \mathbb {C} .}$

演算子が単射でない場合（つまり、T ( x ) = 0となるような非ゼロのxが存在する_{場合）、明らかに可逆ではありません。したがって、} λがTの固有値であれば、必ずλ ∈ σ ( T )となります。Tの固有値の集合は、 Tの点スペクトルとも呼ばれ、 σp ( T )で表されます。一部の著者は、点スペクトルの閉包を純粋点スペクトルと呼んでいます。    ${\displaystyle \sigma _{pp}(T)={\overline {\sigma _{p}(T)}}}$一方、他の人は単に$\displaystyle \sigma _{pp}(T):=\sigma _{p}(T).$^{[ 4 ] [ 5 ]}

より一般的には、有界逆行列定理により、T が下界を持たない場合、つまり、すべてのx ∈ Xに対して || Tx || ≥ c || x ||となるc  > 0 が存在しない場合、T は可逆ではありません。したがって、スペクトルには近似固有値の集合が含まれます。これは、T - λI が下界を持たないようなλです。言い換えれば、それは、単位ベクトルの列x ₁、x ₂、 ...が存在し、   

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|Tx_{n}-\lambda x_{n}\|=0}$。

近似固有値の集合は近似点スペクトルとして知られており、で表される。${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ap} }(T)}$。

固有値が近似点スペクトルに含まれることは容易にわかる。

例えば、両側シフトWについて考えてみましょう。${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z} )}$定義される

${\displaystyle W:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\quad j\in \mathbb {Z} ,}$

どこ${\displaystyle {\big (}e_{j}{\big )}_{j\in \mathbb {N} }}$は、${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z} )}$直接計算すると、W には固有値がないが、すべてのλには${\displaystyle |\lambda |=1}$は近似固有値です。ベクトルをx _{nとします。}

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}(\dots ,0,1,\lambda ^{-1},\lambda ^{-2},\dots ,\lambda ^{1-n},0,\dots )}$

すべてのnに対して || x _n || = 1であることがわかりますが、

${\displaystyle \|Wx_{n}-\lambda x_{n}\|={\sqrt {\frac {2}{n}}}\to 0.}$

Wはユニタリ演算子であるため、そのスペクトルは単位円上に存在する。したがって、Wの近似点スペクトルは、その全スペクトルとなる。

この結論は、より一般的なクラスの演算子にも当てはまります。ユニタリ演算子は正規です。スペクトル定理により、ヒルベルト空間 H 上の有界演算子は、それが ( Hを同一視した後) と等価である場合に限り正規です。${\displaystyle L^{2}}$空間) を乗算演算子に渡す。有界乗算演算子の近似点スペクトルは、そのスペクトルに等しいことが示される。

離散スペクトルは、正規固有値の集合、または同等に、対応するリース射影演算子が有限ランクとなるようなスペクトルの孤立点の集合として定義されます。このように、離散スペクトルは点スペクトルの厳密な部分集合です。${\displaystyle \sigma _{d}(T)\subset \sigma _{p}(T).}$

λの集合は、${\displaystyle T-\lambda I}$は単射であり、稠密な像を持つが、全射ではない。 はTの連続スペクトルと呼ばれ、 で表される。 ${\displaystyle \sigma _{\mathbb {c} }(T)}$したがって、連続スペクトルは、固有値ではなく、残差スペクトルにも含まれない近似固有値から構成される。つまり、

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {c} }(T)=\sigma _{\mathrm {ap} }(T)\setminus (\sigma _{\mathrm {r} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T))}$。

例えば、${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$、${\displaystyle e_{j}\mapsto e_{j}/j}$、${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$は単射であり、稠密な値域を持つが、${\displaystyle \mathrm {Ran} (A)\subsetneq l^{2}(\mathbb {N} )}$実際、もし${\textstyle x=\sum _{j\in \mathbb {N} }c_{j}e_{j}\in l^{2}(\mathbb {N} )}$と${\displaystyle c_{j}\in \mathbb {C} }$そのため${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }|c_{j}|^{2}<\infty }$必ずしも${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }\left|jc_{j}\right|^{2}<\infty }$、 その後${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }jc_{j}e_{j}\notin l^{2}(\mathbb {N} )}$。

セット${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$そのために${\displaystyle T-\lambda I}$密な範囲を持たないものは、T の圧縮スペクトルとして知られており、で表されます。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cp} }(T)}$。

セット${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$そのために${\displaystyle T-\lambda I}$は単射であるが、稠密な範囲を持たない。はTの残余スペクトルとして知られ、で表される。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)}$:

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)=\sigma _{\mathrm {cp} }(T)\setminus \sigma _{\mathrm {p} }(T).}$

演算子は単射であっても、下限があっても、可逆ではない場合がある。${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$、${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$、${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\,j\in \mathbb {N} }$はそのような例です。このシフト演算子は等長変換なので、1 で下から制限されます。しかし、全射ではないので可逆ではありません (${\displaystyle e_{1}\not \in \mathrm {Ran} (R)}$）さらに${\displaystyle \mathrm {Ran} (R)}$密度が高くない${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$ （${\displaystyle e_{1}\notin {\overline {\mathrm {Ran} (R)}}}$)

演算子の周辺スペクトルは、そのスペクトル半径に等しい絶対値を持つスペクトル内の点の集合として定義される。^{[ 6 ]}

閉じた密に定義された線形演算子の本質スペクトルには、5つの類似した定義がある。${\displaystyle A:\,X\to X}$満たす

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)\subset \sigma (A).}$

これらのスペクトルすべて${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(A),\ 1\leq k\leq 5}$自己共役演算子の場合、これらは一致する。

1. 本質的なスペクトル${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$は点の集合として定義される${\displaystyle \lambda }$スペクトルの${\displaystyle A-\lambda I}$半フレドホルム演算子ではない。（演算子が半フレドホルム演算子であるのは、その値域が閉集合であり、かつその核または余核（あるいはその両方）が有限次元である場合である。）例1：${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$オペレーター向け${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$、${\displaystyle A:\,e_{j}\mapsto e_{j}/j,~j\in \mathbb {N} }$（この演算子の範囲は閉じられていないため：範囲にはすべての${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$ただし、その閉鎖はそうではありません）。例2：${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(N)}$のために${\displaystyle N:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$、${\displaystyle N:\,v\mapsto 0}$いかなる場合でも${\displaystyle v\in l^{2}(\mathbb {N} )}$（この演算子の核と余核はどちらも無限次元であるため）。
2. 本質的なスペクトル${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)}$は点の集合として定義される${\displaystyle \lambda }$スペクトルの演算子が${\displaystyle A-\lambda I}$無限次元の核を持つか、閉じていない値域を持つ。ワイルの基準によって特徴付けることもできる。すなわち、数列が存在する。${\displaystyle (x_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$空間Xにおいて、${\displaystyle \Vert x_{j}\Vert =1}$、${\textstyle \lim _{j\to \infty }\left\|(A-\lambda I)x_{j}\right\|=0,}$そしてそのような${\displaystyle (x_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$収束する部分列を含まない。このような数列は特異数列（または特異ワイル数列）と呼ばれる。例：${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(B)}$オペレーター向け${\displaystyle B:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$、${\displaystyle B:\,e_{j}\mapsto e_{j/2}}$jが偶数で${\displaystyle e_{j}\mapsto 0}$jが奇数の場合（カーネルは無限次元、コカーネルはゼロ次元）。${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(B)}$。
3. 本質的なスペクトル${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)}$は点の集合として定義される${\displaystyle \lambda }$スペクトルの${\displaystyle A-\lambda I}$フレドホルム演算子ではない。（演算子がフレドホルム演算子であるのは、その値域が閉集合であり、核と余核の両方が有限次元である場合である。）例：${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(J)}$オペレーター向け${\displaystyle J:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$、${\displaystyle J:\,e_{j}\mapsto e_{2j}}$（カーネルはゼロ次元、コカーネルは無限次元です。）${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(J)}$。
4. 本質的なスペクトル${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)}$は点の集合として定義される${\displaystyle \lambda }$スペクトルの${\displaystyle A-\lambda I}$は指数ゼロのフレドホルムではない。また、コンパクトな摂動によって保存されるAのスペクトルの最大部分として特徴付けることもできる。言い換えれば、${\textstyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)=\bigcap _{K\in B_{0}(X)}\sigma (A+K)}$; ここ${\displaystyle B_{0}(X)}$は、 X上のすべてのコンパクト演算子の集合を表します。例:${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(R)}$どこ${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$右シフトオペレーターは、${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$、${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1}}$のために${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$（その核はゼロ、余核は一次元です。）${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(R)}$。
5. 本質的なスペクトル${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)}$は${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$すべてのコンポーネントを含む${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$分解集合と交差しないもの${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma (A)}$また、次のように特徴づけることもできます。${\displaystyle \sigma (A)\setminus \sigma _{\mathrm {d} }(A)}$例：演算子を考えてみましょう${\displaystyle T:\,l^{2}(\mathbb {Z} )\to l^{2}(\mathbb {Z} )}$、${\displaystyle T:\,e_{j}\mapsto e_{j-1}}$のために${\displaystyle j\neq 0}$、${\displaystyle T:\,e_{0}\mapsto 0}$。 以来${\displaystyle \Vert T\Vert =1}$1つは${\displaystyle \sigma (T)\subset {\overline {\mathbb {D} _{1}}}}$どのような場合でも${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$と${\displaystyle |z|=1}$範囲${\displaystyle T-zI}$は密ではあるが閉じていないため、単位円盤の境界は本質スペクトルの第一のタイプに属する。${\displaystyle \partial \mathbb {D} _{1}\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$どのような場合でも${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$と${\displaystyle |z|<1}$、${\displaystyle T-zI}$閉域、一次元カーネル、一次元コカーネルを持つので、${\displaystyle z\in \sigma (T)}$それでも${\displaystyle z\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)}$のために${\displaystyle 1\leq k\leq 4}$; したがって、${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)=\partial \mathbb {D} _{1}}$のために${\displaystyle 1\leq k\leq 4}$2つの構成要素があります${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$:${\displaystyle \{z\in \mathbb {C}$ :\,|z|>1\}} および${\displaystyle \{z\in \mathbb {C}$ :\,|z|<1\}} 。コンポーネント${\displaystyle \{|z|<1\}}$定義により、レゾルベント集合との交差はありません。${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)=\sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)\cup \{z\in \mathbb {C}$ :\,|z|<1\}=\{z\in \mathbb {C}  :\,|z|\leq 1\}} .

Tがコンパクト作用素、あるいはより一般的には非本質作用素である場合、スペクトルが可算であり、ゼロが唯一の可能な集積点であり、スペクトル内のゼロでないλはすべて固有値であることが示せる。

有界作用素${\displaystyle A:\,X\to X}$準冪零であるのは、${\displaystyle \lVert A^{n}\rVert ^{1/n}\to 0}$として${\displaystyle n\to \infty }$（言い換えれば、Aのスペクトル半径がゼロの場合）。このような演算子は、以下の条件によって等価的に特徴付けられる。

${\displaystyle \sigma (A)=\{0\}.}$

そのような演算子の例としては、${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$、${\displaystyle e_{j}\mapsto e_{j+1}/2^{j}}$のために${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$。

Xがヒルベルト空間であり、T が自己共役作用素(または、より一般的には正規作用素)である場合、スペクトル定理として知られる注目すべき結果により、正規有限次元作用素 (例えばエルミート行列) に対する対角化定理の類似物が得られます。

自己共役作用素の場合、スペクトル測度を用いて、スペクトルを絶対連続部分、純点部分、特異部分に分解することができる。

連続線形演算子の実スペクトル${\displaystyle T}$実際のバナッハ空間上で作用する${\displaystyle X}$、と表記される${\displaystyle \sigma _{\mathbb {R} }(T)}$は、すべての集合として定義されます。${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$そのために${\displaystyle T-\lambda I}$有界線形作用素の実代数において可逆性を示さない${\displaystyle X}$この場合、${\displaystyle \sigma (T)\cap \mathbb {R} =\sigma _{\mathbb {R} }(T)}$実スペクトルは複素スペクトルと一致する場合もあれば、一致しない場合もあることに注意してください。特に、実スペクトルが空である可能性もあります。