製品寸法

数学において、2つの可測空間とその空間上の測度が与えられた場合、積可測空間とその空間上の積測度を求めることができる。概念的には、これは集合の直積や2つの位相空間の積位相を定義するのと似ているが、積測度には多くの自然な選択肢が存在する点が異なる。

させて ${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1})}$そして ${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2})}$2 つの測定可能な空間、つまり、$\displaystyle \Sigma _{1}}$そして$\displaystyle \Sigma _{2}}$シグマ代数は${\displaystyle X_{1}}$そして${\displaystyle X_{2}}$それぞれ、そして$\displaystyle \mu _{1}}$そして$\displaystyle \mu _{2}}$これらの空間上の尺度とする。 $\displaystyle \Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2}}$デカルト積のシグマ代数${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$形式の サブセットによって生成される$\displaystyle B_{1}\times B_{2}}$、 どこ $\displaystyle B_{1}\in \Sigma _{1}}$そして $\displaystyle B_{2}\in \Sigma _{2}}$:

$\displaystyle \Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2}=\sigma \left(\lbrace B_{1}\times B_{2}\mid B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\rbrace \right)}$

このシグマ代数は、積空間上の積σ代数と呼ばれる。

製品の測定値$\displaystyle \mu _{1}\times \mu _{2}}$ （また、${\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}}$多くの著者によって定義される）は、可測空間上の尺度である。 ${\displaystyle (X_{1}\times X_{2},\Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2})}$特性を満たす

${\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(B_{1}\times B_{2})=\mu _{1}(B_{1})\mu _{2}(B_{2})\qquad (B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2})}$。

（積の計算において、積の中には無限大のものもあるが、いずれかの因数がゼロであれば、積はゼロと定義する。）

実際、スペースが${\displaystyle \sigma }$-有限であり、積測度は一意に定義され、すべての可測集合Eに対して、

${\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(E)=\int _{X_{2}}\mu _{1}(E^{y})\,d\mu _{2}(y)=\int _{X_{1}}\mu _{2}(E_{x})\,d\mu _{1}(x),}$

どこ${\displaystyle E_{x}=\{y\in X_{2}|(x,y)\in E\}}$そして${\displaystyle E^{y}=\{x\in X_{1}|(x,y)\in E\}}$これらはどちらも測定可能な集合である。

この尺度の存在はハーン・コルモゴロフの定理によって保証される。積尺度の一意性は、両方が成り立つ場合にのみ保証される。${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1},\mu _{1})}$そして${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2},\mu _{2})}$σ有限である。

ユークリッド空間R ⁿ上のボレル測度は、実数直線R上のボレル測度のn個のコピーの積として得られる。

積空間を構成する2つの因子が完備測度空間であっても、積空間自体は完備測度空間ではない場合がある。そのため、ボレル測度をルベーグ測度に拡張したり、2つのルベーグ測度の積を拡張して積空間上のルベーグ測度を得たりするために、完備化の手順が必要となる。

2つの尺度の積を形成するのとは反対の構成は分解であり、これはある意味で、与えられた尺度を、元の尺度を与えるために積分できる尺度の族に「分割」する。

• 2つの測度空間が与えられたとき、それらの積には必ず一意の最大積測度μmaxが存在し、ある可測集合Aに対してμmax(A)が有限であれば、任意の積測度μに対してμmax(A) = μ(A)となる性質を持つ_。特に、_任意の可測集合_上でのその値は、他のどの積測度の値よりも大きい。これはカラテオドリの拡張定理によって得られる測度である。
• 場合によっては、μ _min ( S ) = sup _{A ⊂ S、μ max ( A ) finite} μ _max ( A )で与えられる一意の最小積測度 μ _{minも存在します。ここで、} AとSは可測であると仮定します。
• 積が複数の積測度を持つ例を以下に示します。積X × Yを考えます。ここで、Xはルベーグ測度を持つ単位区間、Yは計数測度を持つ単位区間であり、すべての集合は可測です。このとき、最小積測度の場合、集合の測度はその水平部分の測度の合計になります。一方、最大積測度の場合、集合の測度は無限大になります。ただし、集合がA × Bの形の可算個の集合の和に含まれる場合は除きます。ここで、Aのルベーグ測度は 0 であるか、Bは一点です。（この場合、測度は有限または無限大になる可能性があります。）特に、対角線の測度は、最小積測度では 0 であり、最大積測度では無限大になります。

• フビニの定理

• ロエヴェ、ミシェル（1977）。「8.2. 積測度と反復積分」。確率論 第1巻（第4 版）。シュプリンガー。135-137頁。ISBN  0-387-90210-4。
• ハルモス、ポール（1974）。「35. 積の尺度」。『測度論』。シュプリンガー。143-145頁。ISBN  0-387-90088-8。

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