オーギュスタン＝ルイ・コーシー

コーシーは、ルイ・フランソワ・コーシー（1760年 - 1848年）とマリー＝マドレーヌ・デゼストルの息子であった。コーシーには2人の兄弟がいた。アレクサンドル・ローラン・コーシー（1792年 - 1857年）は1847年に控訴院の部会の長となり、1849年には破毀院の判事となった。ウジェーヌ・フランソワ・コーシー（1802年 - 1877年）はジャーナリストであり、数学に関する著作もいくつか残している。コーシーは幼い頃から数学が得意だった。

コーシーは1818年にアロイズ・ド・ビュールと結婚した。彼女はコーシーの作品のほとんどを出版した出版社の近親者であった。二人の間にはマリー・フランソワーズ・アリシア（1819年）とマリー・マティルド（1823年）という二人の娘が生まれた。

コーシーの父はアンシャン・レジーム時代のパリ警察の高官でした が、オーギュスタン＝ルイが生まれる1か月前に勃発したフランス革命（1789年7月14日）によりその地位を失いました。 ^{[ b ]}コーシー一家は革命とそれに続く1793年から1794年の恐怖政治をアルクイユに逃れることで生き延び、そこでコーシーは父から最初の教育を受けました。^{[ 6 ]} 1794年にロベスピエールが処刑された後、一家はパリに戻ることが安全になりました。そこでルイ＝フランソワ・コーシーは1800年に官僚の仕事を見つけ、^{[ 7 ]}急速にキャリアを積み上げました。 1799年にナポレオンが権力を握ると、ルイ＝フランソワ・コーシーはさらに昇進し、ラプラス（現在は数学物理学の研究でよりよく知られている）の直属の部下として元老院事務総長になりました。数学者のラグランジュもコーシー家と親交があった。^{[ 4 ]} 

ラグランジュの助言により、オーギュスタン＝ルイは1802年の秋に、当時パリで最高の高等学校であったエコール・セントラル・デュ・パンテオンに入学した。 ^{[ 6 ]}カリキュラムの大部分は古典語で構成されており、野心的なコーシーは優秀な学生として、ラテン語と人文科学で多くの賞を受賞した。これらの成功にもかかわらず、コーシーは工学の道を選び、エコール・ポリテクニークの入学試験の準備を始めた。

1805年、彼はこの試験で293人の志願者中2位となり、入学を許可された。^{[ 6 ]}この学校の主な目的の1つは、将来の土木および軍事技術者に高度な科学および数学教育を提供することであった。学校は軍隊の規律の下で運営されていたため、コーシーは適応に多少苦労した。それでも、彼は1807年に18歳で課程を修了し、エコール・デ・ポン・エ・ショセ （橋梁道路学校）に進んだ。彼は土木工学を最高の成績で卒業した。

After finishing school in 1810, Cauchy accepted a job as a junior engineer in Cherbourg, where Napoleon intended to build a naval base. Here Cauchy stayed for three years, and was assigned the Ourcq Canal project and the Saint-Cloud Bridge project, and worked at the Harbor of Cherbourg.^[6] Although he had an extremely busy managerial job, he still found time to prepare three mathematical manuscripts, which he submitted to the Première Classe (First Class) of the Institut de France.^[c] Cauchy's first two manuscripts (on polyhedra) were accepted; the third one (on directrices of conic sections) was rejected.

In September 1812, at 23 years old, Cauchy returned to Paris after becoming ill from overwork.^[6] Another reason for his return to the capital was that he was losing interest in his engineering job, being more and more attracted to the abstract beauty of mathematics; in Paris, he would have a much better chance to find a mathematics related position. When his health improved in 1813, Cauchy chose not to return to Cherbourg.^[6] Although he formally kept his engineering position, he was transferred from the payroll of the Ministry of the Marine to the Ministry of the Interior. The next three years Cauchy was mainly on unpaid sick leave; he spent his time fruitfully, working on mathematics (on the related topics of symmetric functions, the symmetric group and the theory of higher-order algebraic equations). He attempted admission to the First Class of the Institut de France but failed on three different occasions between 1813 and 1815. In 1815 Napoleon was defeated at Waterloo, and the newly installed king Louis XVIII took the restoration in hand. The Académie des Sciences was re-established in March 1816; Lazare Carnot and Gaspard Monge were removed from this academy for political reasons, and the king appointed Cauchy to take the place of one of them. The reaction of Cauchy's peers was harsh; they considered the acceptance of his membership in the academy an outrage, and Cauchy created many enemies in scientific circles.

1815年11月、エコール・ポリテクニークの准教授であったルイ・ポワンソは、健康上の理由で教職を免除してほしいと申し出た。当時、コーシーは数学界の新星として頭角を現していた。彼の当時の大きな功績の一つは、フェルマーの多角形数定理の証明であった。彼はエンジニアの職を辞し、エコール・ポリテクニークの2年生に数学を教える1年間の契約を得た。1816年、このボナパルト派の非宗教的な学校は再編され、数人の自由主義派の教授が解雇された。コーシーは正教授に昇進した。

コーシーが28歳のとき、彼はまだ両親と同居していた。父親は息子に結婚する時期だと考え、5歳年下のアロイズ・ド・ビュールというふさわしい花嫁を見つけた。ド・ビュール家は印刷業者兼書店主で、コーシーの作品のほとんどを出版していた。^{[ 8 ]}アロイズとオーギュスタンは1818年4月4日、サン・シュルピス教会で盛大なローマ・カトリックの儀式で結婚した。1819年に夫妻の長女マリー・フランソワーズ・アリシアが生まれ、1823年には次女で末娘のマリー・マティルドが生まれた。^{[ 9 ]}

1830年まで続いた保守的な政治情勢は、コーシーにとってまさにうってつけだった。1824年にルイ18世が崩御し、さらに保守的な弟シャルル10世が後を継いだ。この時期、コーシーは非常に精力的に研究を行い、重要な数学論文を次々と発表した。彼はコレージュ・ド・フランスとパリ科学部で兼任教授の職を得た。

1830年7月、フランスで七月革命が勃発した。シャルル10世は国外に逃亡し、ルイ・フィリップ1世が後を継いだ。パリのコーシーの自宅近くでは、制服を着たエコール・ポリテクニークの学生たちが積極的に参加する暴動が激化した。

これらの出来事はコーシーの人生における転換点であり、彼の数学的生産性の停滞を招いた。政府の崩壊に動揺し、権力を握ろうとしていた自由主義者たちへの深い憎しみに駆られたコーシーは、家族を残してフランスを離れ、国外へ向かった。^{[ 10 ]}彼はスイスのフリブー​​ルに短期間滞在し、そこで新体制への忠誠の誓いを立てるかどうかを決めなければならなかった。彼はこれを拒否し、その結果、誓いを必要としないアカデミー会員の地位を除いて、パリでのすべての職を失った。1831年、コーシーはイタリアの都市トリノに行き、しばらく滞在した後、サルデーニャ王（トリノと周辺のピエモンテ地方を統治していた）から、彼のために特別に創設された理論物理学の教授職の申し出を受け入れた。彼は1832年から1833年にかけてトリノで教鞭を執った。 1831年、彼はスウェーデン王立科学アカデミーの外国人会員に選出され、翌年にはアメリカ芸術科学アカデミーの外国人名誉会員に選出された。^{[ 11 ]}

1833 年 8 月、コーシーはトリノを離れプラハへ向かい、シャルル 10 世の孫で亡命中の皇太子、13 歳になるボルドー公アンリ ダルトワ(1820–1883) の科学家庭教師となった。 ^{[ 12 ]}エコール ポリテクニークの教授として、コーシーは講義が下手なことで悪名高く、ごく少数の優秀な学生しか到達できないレベルの理解を前提とし、割り当てられた時間に詰め込みすぎた教材を詰め込んでいた。アンリ ダルトワは数学にも科学にも趣味も才能もなかった。コーシーは自分の任務を非常に真剣に受け止めていたが、非常に不器用で、アンリ ダルトワに対する権限も驚くほど欠如していた。土木技師時代に、コーシーはパリの下水道の修理を短期間担当したことがあり、そのことを生徒に話してしまうという間違いを犯した。アンリ・ダルトワは、コーシーがパリの下水道でキャリアをスタートさせたと、悪意を込めて言いふらした。コーシーの家庭教師としての役割は、アンリ・ダルトワが18歳になる1838年9月まで続いた。^{[ 10 ]}コーシーはその5年間ほとんど研究を行わず、アンリ・ダルトワは生涯にわたって数学を嫌うようになった。コーシーは男爵の称号を与えられたが、コーシーはこの称号を非常に重んじていた。

1834年、彼の妻と2人の娘はプラハに移住し、コーシーは4年間の亡命生活を経て家族と再会を果たした。

コーシーは1838年後半にパリに戻り、科学アカデミーでの職に復帰した。^{[ 10 ]}彼は忠誠の誓いを立てることを拒否したため、教職を取り戻すことはできなかった。

1839年8月、経度局に欠員が生じた。この局はアカデミーといくらか似ており、例えば、メンバーを選任する権利を持っていた。さらに、局のメンバーは忠誠の誓いを「忘れてもよい」と考えられていたが、形式的にはアカデミー会員とは異なり、誓いを立てる義務があった。経度局は、海上での位置、特に経度座標を決定する問題を解決するために1795年に設立された組織である。緯度は太陽の位置から容易に決定できるためである。海上での位置は天体観測によって最もよく決定されると考えられていたため、経度局は天文学アカデミーに似た組織へと発展した。

1839年11月、コーシーは局員に選出されたが、宣誓の問題はそう簡単には済まなかった。宣誓がなければ、国王は彼の選出を承認しなかった。コーシーは4年間、選出されたものの承認されないという立場に置かれ、そのため局の正式なメンバーではなく、報酬も受け取れず、会議にも参加できず、論文を提出することもできなかった。それでもコーシーは宣誓を拒否したが、天体力学の研究に専念するだけの忠誠心は持ち合わせていた。1840年、彼はこのテーマに関する12本の論文をアカデミーに提出した。彼は、 1727年にジョン・コルソンがイギリスで発表した符号付き数字による数の表現について説明し、図解した。この混乱した局員構成は、コーシーがポワンソに交代した1843年末まで続いた。

19世紀を通じて、フランスの教育制度は政教分離をめぐって苦闘した。公教育制度の支配権を失ったカトリック教会は、独自の教育機関を設立しようと試み、コーシーを頼もしく名声ある味方として見出した。彼は、イエズス会が運営するパリの学校、エコール・ノルマル・エクレシアスティックに名声と知識を提供し、イエズス会系の大学の教員養成に尽力した。また、カトリック学院の設立にも参加した。この学院の目的は、フランスにおけるカトリック大学教育の欠如による影響を是正することであった。こうした活動は、概してフランス革命の啓蒙主義の理想を支持していた同僚たちの間でコーシーの人気を高めることはなかった。1843年にコレージュ・ド・フランスで数学の教授職が空席になった際、コーシーは応募したが、45票中わずか3票しか得られなかった。

1848年、ルイ・フィリップ国王はイギリスに亡命した。忠誠の誓いは廃止され、コーシーにとって大学での職への道が開かれた。1849年3月1日、彼は数学天文学の教授として理学部に復職した。1848年を通して政治的混乱が続いた後、フランスはナポレオン3世を大統領とする共和国になることを選択した。1852年初頭、大統領は自らフランス皇帝となり、ナポレオン3世と名乗った。

官僚の間で、大学教授を含むすべての国家公務員に再び忠誠宣誓を義務付けることが有益であるという考えが持ち上がった。今回は、ある閣僚が皇帝を説得し、コーシーを宣誓から免除させることができた。1853年、コーシーはアメリカ哲学協会の国際会員に選出された。^{[ 13 ]}コーシーは67歳で亡くなるまで大学の教授を務めた。彼は終油の秘蹟 を受け、 1857年5月23日午前4時に気管支疾患で亡くなった。^{[ 10 ]}

彼の名前は、エッフェル塔に刻まれた72人の名前のうちの1人である。

コーシーの天才性は、1805年に発見したアポロニウスの問題（与えられた3つの円に接する円を描く問題）の簡単な解法、1811年の多面体に関するオイラーの公式の一般化、その他いくつかの洗練された問題に表れている。さらに重要なのは、1816年にフランス科学アカデミー大賞を受賞した波動伝播に関する論文である。コーシーの著作は注目すべきトピックを扱っている。級数の理論では、収束の概念を発展させ、 q級数の多くの基本公式を発見した。数と複素量の理論では、複素数を実数のペアとして定義した最初の人物である。また、群論と置換論、関数論、微分方程式と行列式についても執筆している。^{[ 4 ]}

光の理論では、フレネルの波動理論と光の分散と偏光について研究した。また、力学の研究にも貢献し、物質の連続性の原理の代わりに幾何学的変位の連続性の概念を導入した。^{[ 14 ]}彼は棒と弾性膜の平衡と弾性媒体中の波について書いた。彼は現在コーシー応力テンソルとして知られる3×3の対称行列を導入した。^{[ 15 ]}弾性学では、応力理論を創始し、彼の成果はシメオン・ポアソンの成果とほぼ同等の価値がある。^{[ 4 ]}

その他の重要な貢献としては、フェルマーの多角形数定理を初めて証明したことが挙げられる。

コーシーは、複素関数論を独力で発展させたことで最も有名である。コーシーが証明した最初の重要な定理は、現在コーシーの積分定理として知られており、次のとおりである。

${\displaystyle \oint _{C}f(z)dz=0,}$

ここで、f ( z )は複素平面上にある自己交差しない閉曲線C（経路）上および内部で正則な複素数値関数である。経路積分は経路Cに沿って行われる。この定理の基礎は、24歳のコーシーが1814年8月11日に科学アカデミー（当時はまだ「第一級研究所」と呼ばれていた）に提出した論文にすでに見られる。定理の完全な形は1825年に与えられた。^{[ 16 ]}

1826年、コーシーは関数の留数の正式な定義を与えた。 ^{[ 17 ]}この概念は、極（孤立した特異点、すなわち関数が正または負の無限大になる点）を持つ関数に関するものである。複素数値関数f ( z ) が 特異点aの近傍で次のように展開できる場合、

${\displaystyle f(z)=\varphi (z)+{\frac {B_{1}}{za}}+{\frac {B_{2}}{(za)^{2}}}+\cdots +{\frac {B_{n}}{(za)^{n}}},\quad B_{i},z,a\in \mathbb {C} ,}$

φ( z )が解析的（すなわち、特異点のない良好な性質を持つ）である場合、fは点aにおいてn位の極を持つと言われる。n=1の場合、極は単純極と呼ばれる。係数B1_{は、コーシーによって関数}fの点aにおける留数と呼ばれる。fが点aで非特異である場合、 fの留数は点aでゼロとなる。明らかに、単純極の場合、留数は次のようになる。

${\displaystyle {\underset {z=a}{\mathrm {Res} }}f(z)=\lim _{z\rightarrow a}(za)f(z),}$

ここで、 B _{1 を}現代の剰余表記に置き換えた。

1831年、コーシーはトリノ滞在中に、トリノ科学アカデミーに2つの論文を提出した。最初の論文^{[ 18 ]}では、現在コーシーの積分公式として知られる公式を提案した。

${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{za}}dz,}$

ここで、f ( z )はC上で解析的であり、経路Cで囲まれた領域内で、複素数aはこの領域のどこかにある。経路積分は反時計回りに行われる。明らかに、被積分関数はz = aに単純極を持つ。2番目の論文^{[ 19 ]}では、彼は留数定理を提示した。

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}f(z)dz=\sum _{k=1}^{n}{\underset {z=a_{k}}{\mathrm {Res} }}f(z),}$

ここで、和は、経路C上および経路 C 内のf ( z ) のすべてのn個の極について取られます。コーシーのこれらの結果は、今日物理学者や電気技師に教えられている複素関数論の中核を成しています。コーシーの同時代人は、彼の理論が複雑すぎると考え、しばらくの間、彼の理論を無視していました。1840 年代になってようやくこの理論が反応を示し始め、コーシー以外で初めて実質的な貢献をした数学者はピエール アルフォンス ローランでした (現在ローラン級数として知られる彼の研究は1843 年に発表されました)。

コーシーは著書『解析学講義』の中で、解析における厳密性の重要性を強調した。この場合の厳密性とは、代数学の一般性原理（オイラーやラグランジュなどの初期の著者によるもの）を否定し、幾何学と無限小に置き換えることを意味した。^{[ 20 ]}ジュディス・グラビナーは、コーシーを「ヨーロッパ全土に厳密な解析を教えた人物」と評した。^{[ 21 ]} この本は、不等式と等式が初めて登場した本としてしばしば挙げられる。${\displaystyle \delta -\varepsilon }$微積分に引数が導入されました。ここでコーシーは連続性を次のように定義しました。関数 f(x) は、与えられた範囲において、変数の無限小の増加が常に関数自体の無限小の増加をもたらす場合、x に関して連続である。

M. Barany は、エコールがコーシーの良識に反して無限小法の導入を義務付けたと主張している。^{[ 22 ]} Gilain は、1825 年に代解析 に充てられるカリキュラムの部分が削減されたとき、コーシーは微分積分の冒頭に連続関数 (したがって無限小も) のトピックを置くことを主張したと指摘している。^{[ 23 ]} Laugwitz (1989) と Benis-Sinaceur (1973) は、コーシーが 1853 年まで自身の研究で無限小を使い続けていたことを指摘している。

コーシーは、ゼロに収束する数列を用いて無限小を明示的に定義した。コーシーの「無限小量」の概念については膨大な文献が書かれており、それらは通常の「イプシロンティック」定義から非標準解析の概念まであらゆるものにつながると論じられている。コーシーは、彼が用いた無限小量の正確な意味を明確にするために重要なアイデアを省略または暗黙のうちに残したというのが共通認識である。^{[ 24 ]}

彼はテイラーの定理を厳密に証明した最初の人物であり、彼のよく知られた剰余の形式を確立した。^{[ 4 ]}彼はエコール・ポリテクニークの学生向けに教科書^{[ 25 ]}（図を参照）を執筆し、その中で数学解析の基本定理を可能な限り厳密に展開した。この本の中で、彼は極限の存在に必要な十分条件を、現在も教えられている形式で与えた。また、コーシーの絶対収束のよく知られた判定法であるコーシー凝縮判定法もこの本に由来する。1829年、彼は別の教科書で初めて複素変数の複素関数を定義した。^{[ 26 ]}これらのにもかかわらず、コーシー自身の研究論文では、しばしば厳密な方法ではなく直感的な方法を用いた。^{[ 27 ]}そのため、彼の定理の1つはアーベルによって「反例」に晒され、後に一様連続性の概念の導入によって解決された。

コーシーが亡くなる2年前の1855年に発表された論文の中で、彼はいくつかの定理について論じており、そのうちの1つは、現代の複素解析の教科書に数多く見られる「偏角の原理」に類似している。現代の制御理論の教科書では、コーシーの偏角の原理は、負帰還増幅器や負帰還制御システムの安定性を予測するために用いられるナイキスト安定判別法を導出する際に頻繁に利用されている。このように、コーシーの研究は純粋数学と実用工学の両方に大きな影響を与えている。