シュワルツ空間

数学において、シュワルツ空間$\displaystyle {\mathcal {S}}}$は、あらゆる階の導関数が急速に減少するすべての関数の関数空間です。この空間は、フーリエ変換がこの空間上の自己同型写像​​であるという重要な性質を持っています。この性質により、双対性によって、双対空間の要素に対するフーリエ変換を定義することができます。$\displaystyle {\mathcal {S}}^{*}}$の⁠$\displaystyle {\mathcal {S}}}$つまり、緩増加分布の場合です。シュワルツ空間の関数は、シュワルツ関数と呼ばれることもあります。

シュワルツ空間は、フランスの数学者ローラン・シュワルツにちなんで名付けられた。

させて${\displaystyle \mathbb {N} }$は非負整数の集合であり、任意の に対して である。${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$⁠、$\displaystyle \mathbb {N} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} } _{n{\text{ 回}}}}$になる${\displaystyle n}$⁠ -カルテシアン積を折り畳みます。

シュワルツ空間または急速に減少する関数の空間$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$関数空間は$${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} \right):=\left\{f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )\mid \forall {\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {N} ^{n},\|f\|_{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}<\infty \right\},}$$どこ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )}$は、滑らかな関数の関数空間です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$へ​${\displaystyle \mathbb {C} }$⁠、そして$${\displaystyle \|f\|_{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}:=\sup _{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}\left|{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}({\boldsymbol {D}}^{\boldsymbol {\beta }}f)({\boldsymbol {x}})\right|.}$$ここ、${\displaystyle \sup }$は上限を表し、多重インデックス表記法を使用しました。${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}:=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}$そして​${\displaystyle D^{\boldsymbol {\beta }}:=\partial _{1}^{\beta _{1}}\partial _{2}^{\beta _{2}}\ldots \partial _{n}^{\beta _{n}}}$⁠ .

この定義を分かりやすく説明すると、急速に減少する関数は本質的に関数であると考えることができる。${\displaystyle f}$そのため、${\displaystyle f(x)}$⁠、 ⁠${\displaystyle f'(x)}$⁠、 ⁠${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)}$⁠、...すべてはあらゆる場所に存在します${\displaystyle \mathbb {R} }$そしてゼロになる${\displaystyle x\rightarrow \pm \infty }$の逆数よりも速い${\displaystyle x}$特に、${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} \right)}$はの部分空間です${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )}$⁠ .

• もし${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$は多重インデックスであり、aは正の実数である。${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}e^{-a\vert {\boldsymbol {x}}\vert ^{2}}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$⁠ .
• 任意の滑らかな関数${\displaystyle f}$コンパクトなサポートは${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$これは、${\displaystyle f}$継続的であり、以下のサポートによって支えられています。${\displaystyle f}$⁠、だから${\displaystyle ({\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}{\boldsymbol {D}}^{\boldsymbol {\alpha }})f}$最大値は${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$極値定理により。
• シュワルツ空間はベクトル空間であるため、任意の多項式${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}})}$係数を掛けることができます${\displaystyle e^{-a\vert {\boldsymbol {x}}\vert ^{2}}}$のために${\displaystyle a>0}$実定数は、シュワルツ空間の要素を与える。特に、多項式をシュワルツ空間に埋め込むことができる。

• バンプ機能
• シュワルツ・ブルハット関数
• 核空間