拡散過程

確率論および統計学において、拡散過程は、ほぼ確実に連続なサンプルパスを持つ連続時間マルコフ過程の一種です。拡散過程は本質的に確率的であるため、多くの現実世界の確率システムをモデル化するために使用されます。ブラウン運動、反射ブラウン運動、オルンシュタイン・ウーレンベック過程は、拡散過程の例です。統計物理学、統計解析、情報理論、データサイエンス、ニューラルネットワーク、金融、マーケティングなどの分野で広く利用されています。

拡散過程のサンプルパスは、流体中に埋め込まれた粒子が、他の粒子との衝突によってランダムな変位を受ける軌跡をモデル化したもので、これはブラウン運動と呼ばれます。粒子の位置はランダムであり、空間と時間の関数としての確率密度関数は、対流拡散方程式によって記述されます。

拡散過程は、連続サンプルパスを持つマルコフ過程であり、そのコルモゴロフ前方方程式はフォッカー・プランク方程式である。^{[ 1 ]}

拡散過程は、以下の性質によって定義される。${\displaystyle a^{ij}(x,t)}$一様に連続な係数であり、${\displaystyle b^{i}(x,t)}$有界であり、ボレル可測なドリフト項である。確率測度のユニークな族が存在する。$\displaystyle \mathbb {P} _{a;b}^{\xi ,\tau }}$（のために$\tau \geq 0$、$\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{d}}$) 正準空間上${\displaystyle \Omega =C([0,\infty ),\mathbb {R} ^{d})}$ボレル${\displaystyle \sigma }$-代数、ただし次のとおり：

1. (初期条件) プロセスは以下から始まります。${\displaystyle \xi }$その時$\displaystyle \tau }$:${\displaystyle \mathbb {P} _{a;b}^{\xi ,\tau }[\psi \in \Omega$ \psi (t)=\xi {\text{ for }}0\leq t\leq \tau ]=1.}

2. (ローカルマーチンゲールプロパティ)${\displaystyle f\in C^{2,1}(\mathbb {R} ^{d}\times [\tau ,\infty ))}$プロセス

${\displaystyle M_{t}^{[f]}=f(\psi (t),t)-f(\psi (\tau ),\tau )-\int _{\tau }^{t}{\bigl (}L_{a;b}+{\tfrac {\partial }{\partial s}}{\bigr )}f(\psi (s),s)\,ds}$ はローカルマルチンゲールである$\displaystyle \mathbb {P} _{a;b}^{\xi ,\tau }}$のために$t ≥ τ$、 と${\displaystyle M_{t}^{[f]}=0}$のために$t ≤ τ$。

この家族$\displaystyle \mathbb {P} _{a;b}^{\xi ,\tau }}$と呼ばれる${\displaystyle {\mathcal {L}}_{a;b}}$-拡散。

明らかに、${\displaystyle {\mathcal {L}}_{a;b}}$-拡散、すなわち$\displaystyle (X_t)_t\geq 0$の上${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {F}}_{t},\mathbb {P} _{a;b}^{\xi ,\tau })}$、 それから${\displaystyle X_{t}}$SDEを満たす${\displaystyle dX_{t}^{i}={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{d}\sigma _{k}^{i}(X_{t})\,dB_{t}^{k}+b^{i}(X_{t})\,dt}$対照的に、この拡散は、以下の条件を満たす場合に、そのSDEから構築することができる。${\displaystyle a^{ij}(x,t)=\sum _{k}\sigma _{i}^{k}(x,t)\,\sigma _{j}^{k}(x,t)}$そして$\displaystyle \sigma ^{ij}(x,t)}$、${\displaystyle b^{i}(x,t)}$はリプシッツ連続である。これを確認するには、${\displaystyle X_{t}}$から始まるSDEを解く${\displaystyle X_{\tau }=\xi }$。 のために${\displaystyle f\in C^{2,1}(\mathbb {R} ^{d}\times [\tau ,\infty ))}$伊藤の公式を適用する：${\displaystyle df(X_{t},t)={\bigl (}{\frac {\partial f}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{d}b^{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}+v\sum _{i,j=1}^{d}a^{ij}\,{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}{\bigr )}\,dt+\sum _{i,k=1}^{d}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,\sigma _{k}^{i}\,dB_{t}^{k}.}$並べ替えると${\displaystyle f(X_{t},t)-f(X_{\tau },\tau )-\int _{\tau }^{t}{\bigl (}{\frac {\partial f}{\partial s}}+L_{a;b}f{\bigr )}\,ds=\int _{\tau }^{t}\sum _{i,k=1}^{d}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,\sigma _{k}^{i}\,dB_{s}^{k},}$その右辺は局所マルチンゲールであり、拡散の定義における局所マルチンゲール特性に一致する。${\displaystyle X_{t}}$定義する$\displaystyle \mathbb {P} _{a;b}^{\xi ,\tau }}$の上${\displaystyle \Omega =C([0,\infty ),\mathbb {R} ^{d})}$正しい初期条件と局所マルチンゲール特性を持つ。一意性は、リプシッツ連続性から導かれる。${\displaystyle \sigma \!,\!b}$。 実際には、${\displaystyle L_{a;b}+{\tfrac {\partial }{\partial s}}}$無限小発生器と一致する${\displaystyle {\mathcal {A}}}$このプロセスの。${\displaystyle X_{t}}$SDEを解くと、${\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)\in C^{2}(\mathbb {R} ^{d}\times \mathbb {R} ^{+})}$発電機${\displaystyle {\mathcal {A}}}$は${\displaystyle {\mathcal {A}}f(\mathbf {x} ,t)=\sum _{i=1}^{d}b_{i}(\mathbf {x} ,t)\,{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}+v\sum _{i,j=1}^{d}a_{ij}(\mathbf {x} ,t)\,{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}.}$

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