ソボレフの不等式

数学において、数学解析にはソボレフ不等式と呼ばれるクラスがあり、ソボレフ空間のノルムを含むノルム間の関係を示しています。これらは、特定のソボレフ空間間の包含関係を示すソボレフ埋め込み定理や、やや強い条件の下でいくつかのソボレフ空間が他のソボレフ空間にコンパクトに埋め込まれることを示すレリッヒ・コンドラチョフ定理を証明するために用いられます。これらの不等式は、セルゲイ・リヴォヴィチ・ソボレフにちなんで名付けられました。

W ^k,p ( R ⁿ )を、R ⁿ上のすべての実数値関数からなるソボレフ空間とし、その関数のk階までの弱導関数はL ^pの関数であるとする。ここでkは非負整数であり、1 ≤ p < ∞ である。ソボレフ埋め込み定理の最初の部分は、k > ℓ、p < nかつ1 ≤ p < q < ∞が 2 つの実数である場合、

${\displaystyle {\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}={\frac {1}{q}}-{\frac {\ell }{n}},}$

（与えられた）${\displaystyle n}$、${\displaystyle p}$、${\displaystyle k}$そして${\displaystyle \ell }$これは一部の人にとっては満足である${\displaystyle q\in [1,\infty )}$提供された${\displaystyle (k-\ell )p<n}$）、 それから

${\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq W^{\ell ,q}(\mathbf {R} ^{n})}$

そして埋め込みは連続的である。${\displaystyle f\in W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})}$1つは ${\displaystyle f\in W^{l,q}(\mathbf {R} ^{n})}$、 そして

${\displaystyle {\biggl (}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\vert \nabla ^{\ell }f\vert ^{q}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}\leq C{\biggl (}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\vert \nabla ^{k}f\vert ^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}.}$

k = 1かつℓ = 0の特殊な場合、ソボレフ埋め込みにより

${\displaystyle W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}$

ここで、p ^∗はpのソボレフ共役であり、次式で与えられる。

${\displaystyle {\frac {1}{p^{*}}}={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{n}}}$

そしてすべての${\displaystyle f\in W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})}$1つは ${\displaystyle f\in L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}$そして

${\displaystyle {\biggl (}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\vert f\vert ^{p^{*}}{\biggr )}^{\frac {1}{p^{*}}}\leq C{\biggl (}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\vert \nabla f\vert ^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}.}$

このソボレフ埋め込みの特殊なケースは、ガリアルド・ニレンベルグ・ソボレフ不等式の直接的な結果である。この結果は、関数が${\displaystyle f}$で${\displaystyle L^{p}(\mathbf {R} ^{n})}$1 つの導関数を持つ$\displaystyle L^{p}}$、 それから${\displaystyle f}$それ自体が局所的な動作を改善したということは、それが空間に属していることを意味する${\displaystyle L^{p^{*}}}$どこ${\displaystyle p^{*}>p}$。 （ご了承ください${\displaystyle 1/p^{*}<1/p}$、 となることによって${\displaystyle p^{*}>p}$）したがって、${\displaystyle f}$通常の機能よりも穏やかでなければならない$\displaystyle L^{p}}$。

ソボレフ埋め込み定理の第2部は、ヘルダー空間C ^r,α ( R ⁿ )への埋め込みに適用されます。n < pkの場合、

$\displaystyle {\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}=-{\frac {r+\alpha }{n}},{\mbox{ または同等に }}r+\alpha =k-{\frac {n}{p}}}$

α ∈ (0, 1)の場合、埋め込みは次のようになります。

$\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\alpha }(\mathbf {R} ^{n}).$

言い換えれば、すべての${\displaystyle f\in W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})}$そして${\displaystyle x,y\in \mathbf {R} ^{n}}$1つは${\displaystyle f\in C^{r}(\mathbf {R} ^{n})}$、 加えて、

${\displaystyle \vert \nabla ^{r}f(x)-\nabla ^{r}f(y)\vert \leq C{\biggl (}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\vert \nabla ^{k}f\vert ^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}\vert x-y\vert ^{\alpha }.}$

ソボレフ埋め込みのこの部分は、モレーの不等式の直接的な結果である。直感的に言えば、この包含関係は、十分多くの弱微分が存在すると、古典微分の連続性が導かれるという事実を表している。${\displaystyle \alpha =1}$それから${\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}$すべての${\displaystyle \gamma \in (0,1)}$。

特に、${\displaystyle pk>n}$埋め込み基準は、${\displaystyle r=0}$そしていくつかの肯定的な価値${\displaystyle \alpha }$つまり、関数の場合${\displaystyle f}$の上${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$、 もし${\displaystyle f}$もっている${\displaystyle k}$デリバティブ${\displaystyle L^{p}}$そして${\displaystyle pk>n}$、 それから${\displaystyle f}$連続になります（実際には、ある正の指数でヘルダー連続です）${\displaystyle \alpha }$)

u はR ⁿ上で連続微分可能な実数値関数であり、コンパクトな台を持つと仮定する。このとき、1 ≤ p < nに対して、 nとpのみに依存する定数Cが存在し、

${\displaystyle \|u\|_{L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|Du\|_{L^{p}(\mathbf {R} ^{n})}.}$

と${\displaystyle 1/p^{*}=1/p-1/n}$事件${\displaystyle 1<p<n}$^{これはソボレフ[ 2 ]}とケースによるものです${\displaystyle p=1}$ガリアルドとニレンバーグはそれぞれ独立にそれを発見した。^{[ 3 ] [ 4 ]}ガリアルド-ニレンバーグ-ソボレフ不等式は、ソボレフ埋め込みを直接的に意味する。

${\displaystyle W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n}).}$

R ⁿ上の他の次数における埋め込みは、適切な反復によって得られる。

ソボレフの埋め込み定理の元の証明は、ハーディ・リトルウッド・ソボレフ分数積分定理として知られる以下の定理に基づいていた。同等の記述は、 （オービン 1982 、第 2 章）のソボレフの補題として知られている。証明は（スタイン 1970 、第 V 章、§1.3）にある。

0 < α < nおよび1 < p < q < ∞とする。I α = (−Δ) ^{− α /2を}R ⁿ上のリースポテンシャルとする。このとき、q は次のように定義される_。

${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{p}}-{\frac {\alpha }{n}}}$

pのみに依存する定数Cが存在し、

${\displaystyle \left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|f\|_{p}.}$

p = 1の場合、2 つの置換推定値が存在する。1 つ目は、より古典的な弱型推定値である。

${\displaystyle m\left\{x:\left|I_{\alpha }f(x)\right|>\lambda \right\}\leq C\left({\frac {\|f\|_{1}}{\lambda }}\right)^{q},}$

ここで1/ q = 1 − α / nである。あるいは、次元 n≥2 の場合、次の推定値が得られる。$${\displaystyle \left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|Rf\|_{1},}$$どこ${\displaystyle Rf}$はベクトル値のリース変換である（Schikorra、Spector 、 Van Schaftingen 2017参照） 。リース変換の有界性は、後者の不等式がリースポテンシャルの不等式の族を統一的に記述する方法を与えることを意味する。

ハーディ・リトルウッド・ソボレフの補題は、リース変換とリースポテンシャルの関係によって本質的にソボレフ埋め込みを意味する。

n < p ≤ ∞と仮定する。すると、 pとnのみに依存する定数Cが存在し、

${\displaystyle \|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})}}$

すべてのu ∈ C ¹ ( R ⁿ ) ∩ L ^p ( R ⁿ )に対して、

${\displaystyle \gamma =1-{\frac {n}{p}}.}$

したがって、u ∈ W ^{1, p} ( R ⁿ )の場合、uは実際には指数γのヘルダー連続であり、測度 0 の集合上で再定義される可能性があります。

同様の結果は、リプシッツ境界を持つ有界領域Uでも成り立つ。この場合、

${\displaystyle \|u\|_{C^{0,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(U)}}$

ここで定数C はn、p、Uに依存する。この不等式は、 W ^{1, p} ( U )のノルム保存拡張をW ^{1, p} ( R ⁿ )に適用することで、前の不等式から導かれる。この不等式はCharles B. Morrey Jr.にちなんで名付けられている。

U をR ⁿの有界な開部分集合とし、その境界をC ¹とする。（U は非有界であってもよいが、その場合、境界が存在するならば、その境界は十分に良好な性質を持たなければならない。）

u ∈ W ^k,p ( U )と仮定します。次に、次の2つのケースを検討します。

もし${\displaystyle u\in W^{1,n}(\mathbf {R} ^{n})}$すると、uは有界平均振動の関数となり、

${\displaystyle |u|_{\operatorname {BMO} (\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|Du\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})},}$

nのみに依存する定数Cについて。^{[ 5 ]： §I.2}この評価はポアンカレの不等式の系である。（左辺はBMO半ノルムであることも強調しておくべきである。）

前述の結果は任意の次数まで拡張できる。${\displaystyle k}$^{[ 6 ]： §12.2}。${\displaystyle k\geq 2}$、 もし${\displaystyle kp=n}$すると、すべての${\displaystyle u\in W^{k,n/k}(\mathbf {R} ^{n})}$多項式が存在する${\displaystyle P}$学位${\displaystyle k-1}$そのため

${\displaystyle \Vert u-P\circ u\Vert _{\operatorname {BMO} (\mathbf {R} ^{n})}\leq C\Vert D^{k}u\Vert _{L^{n/k}(\mathbf {R} ^{n})}}$

さらに、${\displaystyle j=1,\dots ,k-1}$、 我々は持っています

${\displaystyle \Vert D^{j}(u-P\circ u)\Vert _{L^{n/j}(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\Vert D^{k}u\Vert _{L^{n/k}(\mathbf {R} ^{n})}}$

特にこれは包含埋め込みを意味する

${\displaystyle W^{k,n/k}(\mathbf {R} ^{n})\hookrightarrow \operatorname {BMO} (\mathbf {R} ^{n})\cap W^{1,q_{1}}(\mathbf {R} ^{n})\cap \dots \cap W^{k-1,q_{k-1}}(\mathbf {R} ^{n})}$

すべての指数について${\displaystyle q_{j}}$満足${\displaystyle n/k\leq q_{j}\leq n/j}$、${\displaystyle j=1,\dots ,k-1}$。

ジョン・ナッシュ（1958 ）によって導入されたナッシュ不等式は、すべてのu ∈ L ¹ ( R ⁿ ) ∩ W ^1,2 ( R ⁿ )に対して、定数C > 0が存在し、 

${\displaystyle \|u\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}^{1+2/n}\leq C\|u\|_{L^{1}(\mathbf {R} ^{n})}^{2/n}\|Du\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}.}$

この不等式はフーリエ変換の基本的な性質から導かれる。実際、半径ρの球の補集合上で積分すると、

なぜなら${\displaystyle 1\leq |x|^{2}/\rho ^{2}}$一方、

${\displaystyle |{\hat {u}}|\leq \|u\|_{L^{1}}}$

これを半径ρの球体上で積分すると、

ここで、ωn_はn次元球の体積である。ρを( 1 )と( 2 )の和を最小化するように選択し、パーセバルの定理を適用すると、次のようになる。

${\displaystyle \|{\hat {u}}\|_{L^{2}}=\|u\|_{L^{2}}}$

不等式を与える。

n = 1の特殊な場合、ナッシュ不等式はL ^pの場合に拡張でき、その場合はガリアルド・ニレンベルグ・ソボレフ不等式の一般化となる ( Brezis 2011、第 8 章のコメント)。実際、I が有界区間である場合、すべての1 ≤ r < ∞およびすべての1 ≤ q ≤ p < ∞に対して、次の不等式が成り立つ。

${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(I)}\leq C\|u\|_{L^{q}(I)}^{1-a}\|u\|_{W^{1,r}(I)}^{a},}$

どこ：

${\displaystyle a\left({\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}}+1\right)={\frac {1}{q}}-{\frac {1}{p}}.}$

上で説明したソボレフ埋め込み定理の最も単純なものは、関数が${\displaystyle f}$で${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$1 つの導関数を持つ${\displaystyle L^{p}}$、 それから${\displaystyle f}$それ自体は${\displaystyle L^{p^{*}}}$、 どこ

${\displaystyle 1/p^{*}=1/p-1/n.}$

それは次のように見ることができる${\displaystyle n}$無限大に近づく、${\displaystyle p^{*}}$アプローチ${\displaystyle p}$したがって、次元が${\displaystyle n}$空間の${\displaystyle f}$が定義されるほど、局所的な挙動の改善は${\displaystyle f}$派生形を持つことから${\displaystyle L^{p}}$小さい（${\displaystyle p^{*}}$よりわずかに大きい${\displaystyle p}$特に、無限次元空間上の関数については、古典的なソボレフ埋め込み定理の直接的な類似物を期待することはできません。

しかしながら、レナード・グロス（Gross 1975）によって確立され、対数ソボレフ不等式として知られるタイプのソボレフ不等式が存在し、これは次元に依存しない定数を持つため、無限次元の設定でも成り立ちます。対数ソボレフ不等式は、おおよそ、関数が の場合、${\displaystyle L^{p}}$ガウス測度に関して、また導関数も 1 つあり、${\displaystyle L^{p}}$、 それから${\displaystyle f}$「${\displaystyle L^{p}}$-log」とは、${\displaystyle |f|^{p}\log |f|}$は有限である。この事実を表す不等式には、空間の次元に関係しない定数が含まれているため、無限次元空間上のガウス測度においても不等式は成り立つ。現在では、対数ソボレフ不等式はガウス測度だけでなく、多くの異なるタイプの測度に対して成り立つことが知られている。

一見すると${\displaystyle L^{p}}$-log 条件は、${\displaystyle L^{p}}$この改善により、関連するディリクレ形式演算子の超収縮性という重要な結果を導き出すのに十分である。この結果は、関数がディリクレ形式演算子の指数関数の範囲内にある場合、つまり、ある意味で関数が無限に多くの導関数を持つことを意味する。${\displaystyle L^{p}}$—その関数は${\displaystyle L^{p^{*}}}$一部の人にとって${\displaystyle p^{*}>p}$（グロス1975定理6）

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