振動積分

数学解析において、振動積分は分布の一種である。振動積分は、一見すると発散積分を用いているように見える多くの議論を厳密に証明する。多くの微分方程式の近似解演算子を振動積分で表現することが可能である。

振動積分${\displaystyle f(x)}$正式には次のように書かれる

${\displaystyle f(x)=\int e^{i\phi (x,\xi )}\,a(x,\xi )\,\mathrm {d} \xi ,}$

どこ${\displaystyle \phi (x,\xi )}$そして${\displaystyle a(x,\xi )}$は、で定義された関数です。$\displaystyle \mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N}}$以下の特性を持つ：

1. 機能${\displaystyle \phi }$は実数値で、次数1の正同次関数 であり、から無限に微分可能である。${\displaystyle \{\xi =0\}}$また、我々は以下のことを想定する。${\displaystyle \phi }$サポートに関する批判的な点はありません${\displaystyle a}$.そのような関数は、${\displaystyle \phi }$は通常、位相関数と呼ばれます。文脈によっては、より一般的な関数が考慮され、それでも位相関数と呼ばれることがあります。
2. 機能${\displaystyle a}$シンボルクラスの1つに属する${\displaystyle S_{1,0}^{m}(\mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N})}$一部の人にとって${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$直感的に言えば、これらの記号クラスは次数が正の同次関数という概念を一般化したものである。${\displaystyle m}$位相関数と同様に${\displaystyle \phi }$場合によっては関数${\displaystyle a}$より一般的な、あるいは単に異なるクラスに分類される。

いつ${\displaystyle m<-N}$形式積分を定義する${\displaystyle f(x)}$すべての${\displaystyle x}$、定義についてこれ以上議論する必要はありません${\displaystyle f(x)}$しかし、${\displaystyle m\geq -N}$振動積分は依然として分布として定義される$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$積分が収束しない場合でも、分布は${\displaystyle f(x)}$は、以下の事実を用いて定義される。${\displaystyle a(x,\xi )\in S_{1,0}^{m}(\mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N})}$指数関数的に減衰する関数で近似できる${\displaystyle \xi }$これを実現する一つの方法は、

${\displaystyle f(x)=\lim \limits _{\epsilon \to 0^{+}}\int e^{i\phi (x,\xi )}\,a(x,\xi )e^{-\epsilon |\xi |^{2}/2}\,\mathrm {d} \xi ,}$

ここで極限は緩増加超関数の意味で取られる。部分積分を用いると、この極限が適切に定義され、微分作用素が存在することを示すことができる。${\displaystyle L}$結果として得られる分布${\displaystyle f(x)}$いかなる行動においても${\displaystyle \psi }$シュワルツ空間では、

${\displaystyle \langle f,\psi \rangle =\int e^{i\phi (x,\xi )}L{\big (}a(x,\xi )\,\psi (x){\big )}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} \xi ,}$

この積分が絶対収束する場所。演算子${\displaystyle L}$は一意に定義されるものではなく、位相関数のみに依存するように選択することができる。${\displaystyle \phi }$注文${\displaystyle m}$シンボルの${\displaystyle a}$、 そして${\displaystyle N}$実際、任意の整数が与えられた場合${\displaystyle M}$演算子を見つけることが可能です${\displaystyle L}$したがって、上記の被積分関数は以下によって制限される。${\displaystyle C(1+|\xi |)^{-M}}$のために${\displaystyle |\xi |}$十分に大きい。これがシンボルクラスの定義の主な目的である。

多くのよく知られた分布は、振動積分として表すことができる。

フーリエ逆変換定理は、デルタ関数が、${\displaystyle \delta (x)}$に等しい

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }\,\mathrm {d} \xi .}$

上記の振動積分を定義する最初の方法とガウス関数のフーリエ変換を適用すると、デルタ関数を近似するよく知られた関数列が得られます。

${\displaystyle \delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }e^{-\varepsilon |\xi |^{2}/2}\mathrm {d} \xi =\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{({\sqrt {2\pi \varepsilon }})^{n}}}e^{-|x|^{2}/(2\varepsilon )}.}$

オペレーター${\displaystyle L}$この場合は、例えば次のように与えられる。

${\displaystyle L={\frac {(1-\Delta _{x})^{k}}{(1+|\xi |^{2})^{k}}},}$

どこ${\displaystyle \Delta _{x}}$は、​${\displaystyle x}$変数、そして${\displaystyle k}$より大きい整数${\displaystyle (n-1)/2}$実際、これによって${\displaystyle L}$我々は持っています

${\displaystyle \langle \delta ,\psi \rangle =\psi (0)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }L(\psi )(x,\xi )\,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} x,}$

そしてこの積分は絶対収束する。

任意の微分演算子のシュワルツ核は振動積分として記述できる。実際、

${\displaystyle L=\sum \limits _{|\alpha |\leq m}p_{\alpha }(x)D^{\alpha },}$

どこ${\displaystyle D^{\alpha }=\partial _{x}^{\alpha }/i^{|\alpha |}}$すると、${\displaystyle L}$は

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\xi \cdot (x-y)}\sum \limits _{|\alpha |\leq m}p_{\alpha }(x)\,\xi ^{\alpha }\,\mathrm {d} \xi .}$

任意のラグランジュ分布は、局所的に振動積分によって表現できる（Hörmander (1983)を参照）。逆に、任意の振動積分はラグランジュ分布である。これにより、振動積分として表現できる分布の種類が正確に記述される。

• リーマン・ルベーグの補題
• ファン・デル・コルプトの補題
• 振動積分演算子

• Hörmander、Lars (1983)、The Analysis of Linear Partial Differential Operators IV、Springer-Verlag、ISBN 0-387-13829-3
• Hörmander , Lars (1971), "フーリエ積分作用素 I", Acta Math. , 127 : 79–183 , doi : 10.1007/bf02392052