原子（測度論）

数学、より正確には測度論において、原子とは、正の測度を持ち、より小さな正の測度の集合を含まない可測集合のことである。原子を持たない測度は、非原子測度または無原子測度と呼ばれる。

測定可能な空間が与えられた場合${\displaystyle (X,\Sigma )}$そして 尺度${\displaystyle \mu }$その空間には、${\displaystyle A\subset X}$で${\displaystyle \Sigma }$は、次のような場合に 原子と呼ばれます。$${\displaystyle \mu (A)>0}$$ そして任意の測定可能な部分集合に対して${\displaystyle B\subseteq A}$、 どちらか${\displaystyle \mu (B)=0}$または${\displaystyle \mu (B)=\mu (A)}$[ ^{1 ]​}

同値類​${\displaystyle A}$定義される $${\displaystyle [A]:=\{B\in \Sigma$$ :\mu (A\Delta B)=0\},} ただし${\displaystyle \Delta }$は対称差分演算子です。${\displaystyle A}$が原子である場合、そのすべての部分集合は${\displaystyle [A]}$は原子であり、${\displaystyle [A]}$はアトミッククラスと呼ばれます。^{[ 2 ]}もし${\displaystyle \mu }$は${\displaystyle \sigma }$有限測度の場合、原子クラスは可算個存在する。

• 集合X = {1, 2, ..., 9, 10} を考え、シグマ代数を${\displaystyle \Sigma }$Xの冪集合とする。測度を定義する。${\displaystyle \mu }$集合の濃度、つまり集合内の要素の数をその集合の濃度とします。すると、i = 1, 2, ..., 9, 10 の各シングルトン{ i }はアトムです。
• 実数直線上のルベーグ測度を考えてみましょう。この測度には原子がありません。

A${\displaystyle \sigma }$有限測度${\displaystyle \mu }$測定可能な空間において${\displaystyle (X,\Sigma )}$は、正の測度を持つすべての可測集合が原子を含む場合、原子または純粋に原子であると呼ばれます。これは、の可算分割が存在すると言うことと同等です。${\displaystyle X}$ヌル集合までの原子によって形成される。^{[ 3 ]}${\displaystyle \sigma }$有限性は不可欠である。そうでなければ空間は${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),\nu )}$どこ${\displaystyle \nu }$は計数尺度を表します。この空間は原子空間であり、すべての原子は単一要素ですが、可算個の互いに素な原子の非交和に分割することはできません。${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$そして空集合${\displaystyle N}$可算な単元集合の和集合は可算集合であり、実数の非可算性から補集合は可算集合であることがわかる。${\textstyle N=\mathbb {R} \setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$数えられないものでなければならないので、${\displaystyle \nu }$-測度は無限になり、それが空集合であることと矛盾する。結果の妥当性${\displaystyle \sigma }$有限空間は、可算和集合の可算和集合が再び可算和集合であること、および空集合の可算和集合が空集合であることを観察することにより、有限測度空間の証明から導かれる。

A${\displaystyle \sigma }$-有限原子尺度${\displaystyle \mu }$任意の原子クラスの原子の共通部分が空でない場合、離散的であると呼ばれます。これは、次のことと同等です^{[ 4 ] 。}${\displaystyle \mu }$ は可算個のディラック測度の加重和であり、すなわち、数列が存在する。${\displaystyle x_{1},x_{2},...}$ポイント${\displaystyle X}$、そしてシーケンス${\displaystyle c_{1},c_{2},...}$正の実数（重み）で、${\textstyle \mu =\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}}$つまり、${\textstyle \mu (A)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}(A)}$すべての${\displaystyle A\in \Sigma }$各ポイントを選択できます${\displaystyle x_{k}}$原子の共通点となる${\displaystyle k}$第 番目の原子クラス。

離散的な尺度は原子的であるが、その逆の含意は成り立たない。${\displaystyle X=[0,1]}$、${\displaystyle \Sigma }$の${\displaystyle \sigma }$-可算部分集合と共可算部分集合の代数、 ${\displaystyle \mu =0}$可算部分集合と${\displaystyle \mu =1}$可算部分集合において。すると、可算部分集合によって形成される単一の原子クラスが存在する。${\displaystyle \mu }$は原子であるが、固有の原子クラスの原子の共通部分は空であり、${\displaystyle \mu }$ディラック測度の和として表すことはできません。

すべての原子がシングルトンと同等である場合、${\displaystyle \mu }$離散的であるのは、それが原子的である場合に限る。この場合、${\displaystyle x_{k}}$上記は原子のシングルトンなので、一意です。ボレル集合を備えた可分距離空間内の任意の有限測度は、この条件を満たします。^{[ 5 ]}

原子を持たない尺度は、非原子尺度または拡散尺度。言い換えれば、尺度${\displaystyle \mu }$任意の可測集合に対して、非原子的である。${\displaystyle A}$と${\displaystyle \mu (A)>0}$測定可能な部分集合が存在する${\displaystyle B}$の${\displaystyle A}$そのため $${\displaystyle \mu (A)>\mu (B)>0.}$$

少なくとも 1 つの正の値を持つ非原子尺度は、集合から始めると無限個の異なる値を持つ。${\displaystyle A}$と${\displaystyle \mu (A)>0}$可測集合の減少列を構築することができる $${\displaystyle A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots }$$ そのため $${\displaystyle \mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\cdots >0.}$$

これは、原子を含む尺度の場合には当てはまらない可能性があります。上記の最初の例を参照してください。

非原子尺度は実際には連続的な値を持つことが判明した。${\displaystyle \mu }$は非原子尺度であり、${\displaystyle A}$は測定可能な集合であり、${\displaystyle \mu (A)>0,}$すると任意の実数に対して${\displaystyle b}$満足 $${\displaystyle \mu (A)\geq b\geq 0}$$ 測定可能な部分集合が存在する${\displaystyle B}$の${\displaystyle A}$そのため $${\displaystyle \mu (B)=b.}$$

この定理はヴァツワフ・シェルピンスキによるものである。^{[ 6 ] [ 7 ]}これは連続関数の中間値の定理 を彷彿とさせる。

非原子測度に関するシェルピンスキーの定理の証明の概略。ただし、証明を容易にする、やや強い表現は、もし${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$は非原子測度空間であり、${\displaystyle \mu (X)=c,}$関数が存在する${\displaystyle S:[0,c]\to \Sigma }$これは包含に関して単調であり、右逆関数である。${\displaystyle \mu$ :\Sigma \to [0,c].} つまり、可測集合の1パラメータ族が存在する。${\displaystyle S(t)}$すべての${\displaystyle 0\leq t\leq t'\leq c}$$${\displaystyle {\begin{aligned}S(t)&\subseteq S(t'),\\\mu \left(S(t)\right)&=t.\end{aligned}}}$$ 証明は、すべての単調部分セクションの集合にゾルンの補題を適用することによって容易に導かれる。${\displaystyle \mu }$ : $${\displaystyle \Gamma$$ :=\{S:D\to \Sigma \;:\;D\subseteq [0,c],\,S\;\mathrm {monotone} ,{\text{ for all }}t\in D\;(\mu (S(t))=t)\},} グラフの包含順で順序付け、${\displaystyle \mathrm {graph} (S)\subseteq \mathrm {graph} (S').}$次に、すべてのチェーンが${\displaystyle \Gamma }$上限は${\displaystyle \Gamma ,}$そして、${\displaystyle \Gamma }$ドメインを持つ${\displaystyle [0,c],}$その主張を証明する。

• 原子（秩序理論） —秩序理論における類似概念
• ディラックのデルタ関数
• 基本事象、原子事象とも呼ばれる

• ブルックナー、アンドリュー・M. 、ブルックナー、ジュディス・B.、トムソン、ブライアン・S. (1997).実解析. アッパー・サドル・リバー、ニュージャージー州: プレンティス・ホール. p. 108. ISBN  0-13-458886-X。
• Butnariu, Dan; Klement, EP (1993). Triangular norm-b​​ased measures and games with fuzzy coalitions . Dordrecht: Kluwer Academic. p.  87. ISBN 0-7923-2369-6。
• ダンフォード、ネルソン；シュワルツ、ジェイコブ・T. (1988).線形演算子、パート1.ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 978-0-471-60848-6。
• カデッツ、ウラジミール（2018）。関数解析と測度論入門。Universitext。doi : 10.1007 /978-3-319-92004-7。ISBN 978-3-319-92003-0ISSN 0172-5939​​ 

• 原子（Atom）の項目（数学百科事典）