指標のラプラシアン

このセクションでは、指標のラプラシアンが表面デルタプライム関数であることを証明します。表面デルタ関数については後述します。

まず、区間 ( a , b )内の関数fについて、微積分学の基本定理を思い出してください。

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {\partial f(x)}{\partial x}}\,dx={\underset {x\nearrow b}{\lim }}f(x)-{\underset {x\searrow a}{\lim }}f(x),}$

fが局所的に積分可能であると仮定する。ここでa  < bの場合、ヒューリスティックな手順で、 

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\partial ^{2}\mathbf {1} _{a<x<b}}{\partial x^{2}}}\,f(x)\;dx&=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathbf {1} _{a<x<b}{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x^{2}}}\;dx,\\&=\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x^{2}}}\;dx,\\&=\displaystyle {\Big (}{\underset {x\nearrow b}{\lim }}-{\underset {x\searrow a}{\lim }}{\Big )}{\frac {\partial f(x)}{\partial x}}.\end{aligned}}}$

ここで、1 _{a < x < b}は領域a < x < bの指示関数です。指示関数は、添え字の条件が満たされるときに 1 になり、そうでない場合は 0 になります。この計算では、2 つの部分積分(上記のように微積分学の基本定理と組み合わせる) により、最初の等式が成り立つことがわかります。境界項は、aとbが有限の場合、またはf が無限大でゼロになるときに 0 になります。最後の等式は、境界点aとbにわたる外向き法線微分の和を示しており、符号は外向きの方向 (つまり、bに対しては正、 aに対しては負) に従います。指示関数の導関数は形式的には存在しませんが、通常の部分積分の規則に従うと「正しい」結果が得られます。有限のd次元領域Dを考えると、外向き法線微分の和は積分になると予想され、これは次のように確認できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2}\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\;dx&=\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathbf {1} _{x\in D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx,\\&=\int _{D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx,\\&=\oint _{\partial D}\,{\underset {x\to \beta }{\lim }}n_{\beta }\cdot \nabla _{x}f(x)\;d\beta .\end{aligned}}}$

ここで、極限は領域D の内部から表面 β に近づく x であり、n _βは表面 β に垂直な単位ベクトルであり、∇ _xは多次元勾配演算子です。これまでと同様に、最初の等式は 2 つの部分積分によって得られます (高次元では、これはグリーンの第 2 恒等式によって行われます)。境界項は、領域Dが有限であるか、またはf が無限大でゼロである限り消えます。たとえば、領域Dが有限の場合、 R ^dの「境界」で評価すると、1 _{x ∈ D}と ∇ _x 1 _{x ∈ D}の両方がゼロになります。3 番目の等式は発散定理によって得られ、すべての境界位置にわたる外向き法線微分の和 (この場合は積分) を再び示します。発散定理は区分的に滑らかな領域Dに対して有効であるため、D は区分的に滑らかである必要があります。

したがって、曲面デルタプライム関数（別名ディラックのδ'関数）は区分的に滑らかな曲面上に存在し、その区分的に滑らかな曲面によって囲まれた領域Dの指示関数のラプラシアンに等しい。当然ながら、一次元では点と曲面の区別はなくなる。

静電気学では、表面双極子（または二重層電位）は、指示薬のラプラシアンの極限分布によってモデル化することができる。

上記の計算は、量子物理学における経路積分に関する研究から得られたものである。^{[ 2 ]}

このセクションでは、指標の（内向き）法線微分が曲面デルタ関数であることを証明します。

有限領域Dの場合、またはf が無限遠でゼロになる場合、発散定理により次のことが導かれる。

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2}\left(\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\right)\;dx=0.}$

積の法則により、

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\,\nabla _{x}^{2}\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\;dx+\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathbf {1} _{x\in D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx=-2\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\cdot \nabla _{x}f(x)\;dx.}$

上記のセクションの分析から、左辺の2つの項は等しく、したがって

${\displaystyle \oint _{\partial D}\,{\underset {\alpha \to \beta }{\lim }}n_{\beta }\cdot \nabla _{\alpha }f(\alpha )\;d\beta =-\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\cdot \nabla _{x}f(x)\;dx.}$

指標の勾配は、Dの境界付近を除いてあらゆる場所でゼロになります。境界付近では、勾配は法線方向を指します。したがって、∇ _x f ( x ) の法線方向の成分のみが関係します。境界付近で、∇ _x f ( x ) がn _x g ( x )に等しいと仮定します。ここで、gは別の関数です。すると、次のことが導かれます。

${\displaystyle \oint _{\partial D}\,g(\beta )\;d\beta =-\int _{\mathbf {R} ^{d}}\,\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\,\cdot \,n_{x}\,g(x)\;dx.}$

外向き法線n _{x は}元々は表面上のxに対してのみ定義されていましたが、すべてのxに対して定義することもできます。たとえば、xに最も近い境界点の外向き法線を取ることによって定義できます。

上記の解析から、− n _x ⋅ ∇ _x 1 _{x ∈ D}は、1 次元ディラックのデルタ関数の表面一般化とみなせることがわかる。関数gを 1 に設定すると、指標の内向き法線微分がDの表面積に積分されることがわかる。

静電気学では、表面電荷密度（または単一境界層）は、上記の表面デルタ関数を用いてモデル化できます。表面が球形の場合など、場合によっては通常のディラックのデルタ関数を使用することもできます。一般に、ここで説明した表面デルタ関数は、あらゆる形状の表面上の表面電荷密度を表すために使用できます。

上記の計算は、量子物理学における経路積分に関する研究から得られたものである。^{[ 2 ]}

量子力学では、点相互作用はよく知られており、この主題に関する文献は膨大である。一次元特異ポテンシャルのよく知られた例は、ディラックデルタポテンシャルを持つシュレーディンガー方程式である。^{[ 5 ] [ 6 ]}一方、一次元ディラックデルタプライムポテンシャルは論争を引き起こした。 ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}この論争は独立した論文によって解決されたように見えたが、^{[ 10 ]}この論文でさえ後に批判を受けた。^{[ 2 ] [ 11 ]}

最近、1 次元ディラック デルタ プライム ポテンシャルに多くの注目が集まっている。^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]}

1 次元の直線上の点は、点としても曲面としても考えることができます。点としては、2 つの領域の境界を示します。したがって、ディラックのデルタ関数の高次元への 2 つの一般化が行われました。多次元点への一般化^{[ 29 ] [ 30 ]}と多次元曲面への一般化^{[ 2 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]です。}

前者の一般化は点相互作用として知られており、後者は「デルタ球相互作用」や「表面デルタ相互作用」など、さまざまな名称で知られています。後者の一般化では、ここで説明するように、指標の導関数、または動径座標rの関数としての1 次元ディラックδ関数が使用される場合があります。

指標のラプラシアンは、流体力学において、例えば異なる媒体間の界面をモデル化するために使用されています。^{[ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]}

分子動力学では、制御体積を分子コーシー応力テンソルに適用する文脈で指標の発散が発生することが示されており、これは連続体力学と分子動力学の間の橋渡しとなる^{[ 41 ]。}

指標の発散と指標のラプラシアン（または指標として知られている特性関数のラプラシアン）は、表面を再構築できるサンプル情報として使用されてきました。^{[ 42 ] [ 43 ]}