マルコフ特性

確率論と統計学において、マルコフ性という用語は、確率過程の記憶のない性質を指し、将来の発展はその履歴とは無関係であることを意味する。これはロシアの数学者アンドレイ・マルコフにちなんで名付けられた。^[1]強いマルコフ性という用語はマルコフ性に似ているが、「現在」の意味が停止時間と呼ばれるランダム変数によって定義される点が異なる。

マルコフ仮定という用語は、隠れマルコフモデルなど、マルコフ特性が成立すると仮定されるモデルを表すために使用されます。

マルコフ確率場は、この特性を2次元以上に拡張したり、相互接続されたアイテムのネットワークに対して定義された確率変数に拡張したりします。^[2]このような場のモデルの例としては、イジングモデルがあります。

マルコフ性を満たす離散時間確率過程は、マルコフ連鎖として知られています。

確率過程は、過程の将来の状態の条件付き確率分布（過去と現在の値の両方を条件とする）が現在の状態にのみ依存する場合、つまり現在が与えられれば将来は過去に依存しない場合、マルコフ特性を持ちます。この特性を持つ過程はマルコフまたはマルコフ的であると言われ、マルコフ過程として知られています。マルコフ過程の 2 つの有名なクラスは、マルコフ連鎖とブラウン運動です。

定義の平易な英語の記述では、しばしば見落とされる微妙で、非常に重要な点があることに注意してください。つまり、プロセスの状態空間は時間を通じて一定であるということです。条件付き記述には、固定の「帯域幅」が含まれます。たとえば、この制限がなければ、任意のプロセスを、特定の初期条件からの完全な履歴を含むプロセスに拡張することができ、マルコフ的になります。ただし、状態空間は時間の経過とともに次元が増加するため、定義を満たしません。

を、ある（完全に順序付けられた）インデックス セットに対するフィルタリングを持つ確率空間とします。また、を測定可能な空間とします。フィルタリングに適応した値の確率過程は、 および の各に対して、というとき、マルコフ特性を持つと言われています。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{s},\ s\in I)}$${\displaystyle I}$${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$${\displaystyle X=\{X_{t}:\Omega \to S\}_{t\in I}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {S}}}$${\displaystyle s,t\in I}$${\displaystyle s<t}$

${\displaystyle P(X_{t}\in A\mid {\mathcal {F}}_{s})=P(X_{t}\in A\mid X_{s}).}$^[3]

が離散シグマ代数を持つ離散集合であり、の場合、これは次のように再定式化できます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle I=\mathbb {N} }$

${\displaystyle P(X_{n+1}=x_{n+1}\mid X_{n}=x_{n},\dots ,X_{1}=x_{1})=P(X_{n+1}=x_{n+1}\mid X_{n}=x_{n}){\text{ すべての }}n\in \mathbb {N} に対して。}$

あるいは、マルコフ特性は次のように定式化することもできます。

${\displaystyle \operatorname {E} [f(X_{t})\mid {\mathcal {F}}_{s}]=\operatorname {E} [f(X_{t})\mid \sigma (X_{s})]}$

すべてに対して有界かつ測定可能である。^[4]${\displaystyle t\geq s\geq 0}$${\displaystyle f:S\rightarrow \mathbb {R} }$

が自然濾過を伴う確率空間上の確率過程であると仮定する。すると、上の任意の停止時間に対して、次のように定義できる。 ${\displaystyle X=(X_{t}:t\geq 0)}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \オメガ}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }=\{A\in {\mathcal {F}}:\forall t\geq 0,\{\tau \leq t\}\cap A\in {\mathcal {F}}_{t}\}}$。

そして、各停止時間に対して、イベント を条件として、各 に対して、が与えられたから独立していることが成立する場合、 は強いマルコフ特性を持つと言われます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \{\tau <\infty \}}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle X_{\tau +t}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau}}$${\displaystyle X_{\tau}}$

強いマルコフ性は通常のマルコフ性を意味します。なぜなら、停止時間を取ることで通常のマルコフ性を推測できるからです。^[5]${\displaystyle \tau =t}$

予測モデリングや確率予測の分野では、マルコフ特性は、扱いにくさのために解決できない問題の推論と解決を可能にする可能性があるため、望ましいと考えられています。このようなモデルは、マルコフモデルとして知られています。

壷の中に赤いボールが 2 個と緑のボールが 1 個入っているとします。ボールの 1 つは昨日抽選され、もう 1 つは今日抽選され、最後のボールは明日抽選されます。抽選はすべて「無交換」です。

今日のボールが赤だったことはわかっているが、昨日のボールについては何も知らないとします。明日のボールが赤になる確率は 1/2 です。これは、このランダムな実験で残る結果が次の 2 つだけであるからです。

一方、今日と昨日のボールが両方とも赤だったことが分かっている場合は、明日は緑のボールが出ることが保証されます。

この矛盾は、明日の色の確率分布が現在の値だけでなく、過去の情報にも左右されることを示しています。観測された色のこの確率過程にはマルコフ特性はありません。上記と同じ実験を使用して、「無置換」サンプリングを「置換あり」サンプリングに変更すると、観測された色の過程はマルコフ特性を持つようになります。^[6]

マルコフ特性の一般化された応用は、ベイズ統計の文脈におけるマルコフ連鎖モンテカルロ計算です。

• 因果マルコフ条件
• チャップマン・コルモゴロフ方程式
• ヒステリシス
• マルコフブランケット
• マルコフ連鎖
• マルコフ決定過程
• マルコフモデル