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凸結合 | japedia.wiki

凸結合

J

Japedia 編集部

|更新日: 2026年7月27日

図に示すように平面上に3 つの点があるとすると、点は3 点の凸結合になりますが、はそうではありません。 $x_{1},x_{2},x_{3}$ $P$ $Q$
(ただし、3 点のアフィン結合であり、そのアフィン包は平面全体です。) $Q$

2次元ベクトル空間における 2点の凸結合をGeogebraのアニメーションで表したもの。 $v_{1},v_{2}\in \mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{2}$ $t\in [0,1]$ $K(t):=(1-t)\cdot v_{1}+t\cdot v_{2}$

アニメーションで、で示されるように、2次元ベクトル空間内の3 点の凸結合。Pが三角形の内側にある場合。そうでない場合、P が三角形の外側にある場合は、の少なくとも 1 つが負になります。 $v_{0},v_{1},v_{2}{\text{ of }}2{\text{-simplex}}\in \mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\alpha^{0}+\alpha^{1}+\alpha^{2}=1$ $P(\alpha ^{0},\alpha ^{1},\alpha ^{2})$ $:=\alpha ^{0}v_{0}+\alpha ^{1}v_{1}+\alpha ^{2}v_{2}$ $\alpha _{i}\geq 0$ $\alpha_{i}$

およびを使用した、 3 次元ベクトル空間の4 つの点の凸結合をGeogebraのアニメーションとして表示します。P が四面体の内側にある場合。そうでない場合、つまり P が四面体の外側にある場合は、の少なくとも 1 つが負になります。 $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\in \mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}=1$ $\sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}\cdot A_{i}=P$ $\alpha _{i}>=0$ $\alpha_{i}$

関数のベクトル空間におけるベクトルとしての 2 つの関数の凸結合 - オープンソースの Geogebra で視覚化され、最初の関数としてとが定義され、多項式が定義されます。2番目の関数として三角関数が選択されました。この図は、との凸結合を赤色のグラフとして示しています。 $[a,b]=[-4,7]$ $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ $f(x):={\frac {3}{10}}\cdot x^{2}-2$ $g:[a,b]\to \mathbb {R}$ $g(x):=2\cdot \cos(x)+1$ $K(t):=(1-t)\cdot f+t\cdot g$ $f$ $g$

凸幾何学とベクトル代数において、凸結合とは、すべての係数が非負で合計が1になるような点（ベクトル、スカラー、またはより一般的にはアフィン空間内の点）の線形結合である。 ^[1]言い換えれば、この演算は標準的な加重平均と同等であるが、その重みは標準的な加重平均のように重みの数の割合として表されるのではなく、合計重みのパーセントとして表される。

正式な定義

より正式には、実ベクトル空間内の有限個の点が与えられたとき、これらの点の凸結合は次の形の点である。 $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$

\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}

ここで、実数は^[1]を満たす。 $\alpha _{i}$ $\alpha _{i}\geq 0$ $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=1.$

具体的な例として、2点の凸結合はすべて、その点間の線分上に存在する。^[1]

集合が凸集合であるとは、その集合に含まれる点の凸結合がすべて含まれることを意味する。与えられた点の集合の凸包は、その点の凸結合すべての集合と同一である。^[1]

ベクトル空間には、線形結合では閉じていないが、凸結合では閉じている部分集合が存在します。たとえば、区間は凸ですが、線形結合では実数直線を生成します。別の例としては、確率分布の凸集合があります。線形結合は非負性も類似性も保持しない (つまり、全積分が 1 になる) ためです。 $[0,1]$

その他のオブジェクト

確率変数の確率密度関数がいわゆる成分密度の凸結合である場合、そのランダム変数は- 成分有限混合分布を持つと言われます。 $X$ $n$ $n$

関連する構造

円錐結合は、非負の係数を持つ線形結合です。点を変位ベクトルを定義するための参照原点として使用する場合、ゼロ変位がに対するそれぞれの変位ベクトルの非自明な円錐結合である場合に限り、は点の凸結合となります。 $x$ $x$ $n$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ $n$ $x$
加重平均は機能的には凸結合と同じですが、表記法が異なります。加重平均の係数 (重み) の合計は 1 である必要はなく、代わりに加重線形結合は重みの合計で明示的に除算されます。
アフィン結合は凸結合に似ていますが、係数は非負である必要はありません。したがって、アフィン結合は任意の体上のベクトル空間で定義されます。

参照

Wikiversityには凸結合に関する学習リソースがあります

参考文献

^ abcd Rockafellar, R. Tyrrell (1970)、凸解析、プリンストン数学シリーズ、第28巻、プリンストン大学出版局、プリンストン、ニュージャージー州、pp. 11–12、MR 0274683

外部リンク

三角形を使った凸和/組み合わせ - インタラクティブなイラスト
六角形の凸和/組み合わせ - インタラクティブなイラスト
テトラエッジによる凸和/結合 - インタラクティブなイラスト

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