たわみ（工学）

構造工学において、たわみとは、長い構造要素（梁など）の一部が荷重を受けて横方向（長手方向の軸に直交する方向）に変形する度合いを指します。たわみは、角度（角変位）または距離（直線変位）で定量化できます。長手方向の変形（軸方向）は伸びと呼ばれます。

荷重を受けた部材のたわみ距離は、その荷重を受けた部材のたわみ形状の傾斜を数学的に表す関数を積分することによって計算できます。一般的な梁構成と個別の位置での荷重ケースのたわみについては、標準式が存在します。それ以外の場合は、仮想仕事、直接積分、カスティリアーノ法、マコーレー法、直接剛性法などの方法が使用されます。梁要素のたわみは通常、オイラー・ベルヌーイ梁方程式に基づいて計算されますが、プレートまたはシェル要素のたわみは、プレート理論またはシェル理論を使用して計算されます。

この文脈におけるたわみの使用例としては、建築工事が挙げられます。建築家やエンジニアは、さまざまな用途に合わせて材料を選択します。

梁の形状と構成は多種多様です。たとえば、梁は直線の場合もあれば、曲線の場合もあります。一定の断面の場合もあれば、先細りの場合もあります。完全に同じ材料 (均質) で作られている場合もあれば、異なる材料 (複合材) で構成されている場合もあります。これらの要素のいくつかは解析を困難にしますが、多くのエンジニアリング アプリケーションではそれほど複雑ではありません。解析は、次の場合に簡素化されます。

• 梁はもともとまっすぐで、テーパーはわずかである
• 梁は線形弾性変形のみを受ける
• 梁は細い（長さと高さの比が10より大きい）
• 小さなたわみのみが考慮されます（最大たわみはスパンの 1/10 未満）。

この場合、梁のたわみ ( ) を支配する方程式は次のように近似できます。 ここで、 (は梁の長さに沿った水平位置) に関するたわんだ形状の 2 次導関数は曲率として解釈され、はヤング率、は断面の断面慣性モーメント、は梁の 内部曲げモーメントです。${\displaystyle w}$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle E}$${\displaystyle I}$${\displaystyle M}$

さらに、梁がテーパー状ではなく均質であり、分布荷重が作用する場合、上記の式は次のように表すことができます。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle EI~{\frac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)}$

この方程式は、さまざまな荷重条件と境界条件で解くことができます。以下にいくつかの簡単な例を示します。ここで示す式は、たわみが小さく、線形弾性特性を持つ、長くて細い均質な角柱梁用に開発された近似値です。これらの制限の下では、近似値は実際のたわみの 5% 以内の結果になるはずです。

片持ち梁は片端が固定されているため、その端の傾斜とたわみはゼロでなければなりません。

例示画像における自由端での弾性たわみとたわみ角度（ラジアン）: 端荷重のある（無重量の）片持ち梁は、（自由端Bで）次式を使用して計算できます。^[1] ここで ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{B}&={\frac {FL^{3}}{3EI}}\\[1ex]\phi _{B}&={\frac {FL^{2}}{2EI}}\end{aligned}}}$$

スパンが2倍になると、たわみは8倍に増加することに注意してください。端部荷重を受けた片持ち梁のスパンに沿った任意の点におけるたわみは、次式を使用して計算できます。^[1]${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{x}&={\frac {Fx^{2}}{6EI}}(3L-x)\\[1ex]\phi _{x}&={\frac {Fx}{2EI}}(2L-x)\end{aligned}}}$$

注: (梁の端) では、および方程式は上記のおよび方程式と同一です。 ${\displaystyle x=L}$${\displaystyle \delta _{x}}$${\displaystyle \phi _{x}}$${\displaystyle \delta _{B}}$${\displaystyle \phi _{B}}$

均一な荷重を受ける片持ち梁の自由端Bにおけるたわみは次のように表される: ^[1] ここで $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{B}&={\frac {qL^{4}}{8EI}}\\[1ex]\phi _{B}&={\frac {qL^{3}}{6EI}}\end{aligned}}}$$

均一荷重を受ける片持ち梁のスパンに沿った任意の点におけるたわみは、次式で計算できる: ^[1]${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{x}&={\frac {qx^{2}}{24EI}}\left(6L^{2}-4Lx+x^{2}\right)\\[1ex]\phi _{x}&={\frac {qx}{6EI}}\left(3L^{2}-3Lx+x^{2}\right)\end{aligned}}}$$

単純支持梁は、端部の下に回転は許すがたわみは許さない支持部を備えています。

中央荷重を受ける単純支持梁のスパンに沿った任意の点におけるたわみは、次式で計算できる: ^[1 ] ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \delta _{x}={\frac {Fx}{48EI}}\left(3L^{2}-4x^{2}\right)}$$$${\displaystyle 0\leq x\leq {\frac {L}{2}}}$$

中央に荷重がかかり、2つの単純な支持部で支えられた梁の中点Cにおける弾性たわみの特殊なケースは次のように表される: ^[1] ここで $${\displaystyle \delta _{C}={\frac {FL^{3}}{48EI}}}$$

2つの単純な支持で支えられた梁の最大弾性たわみは、最も近い支持から離れた位置に荷重がかかった場合、次のように表される: ^[1] ここで ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \delta _{\text{max}}={\frac {Fa\left(L^{2}-a^{2}\right)^{3/2}}{9{\sqrt {3}}LEI}}}$$

この最大たわみは最も近い支持部からの距離で発生し、次のように表される: ^[1]${\displaystyle x_{1}}$ $${\displaystyle x_{1}={\sqrt {\frac {L^{2}-a^{2}}{3}}}}$$

2つの単純な支持部で支えられた梁の弾性たわみ（中点C）は、均一な荷重（図参照）の下で次のように表されます。^[1] ここで $${\displaystyle \delta _{C}={\frac {5qL^{4}}{384EI}}}$$

均一荷重を受ける単純支持梁のスパンに沿った任意の点におけるたわみは、次式を使用して計算できます。 ^[1]${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \delta _{x}={\frac {qx}{24EI}}\left(L^{3}-2Lx^{2}+x^{3}\right)}$$

単純な荷重の組み合わせによる梁のたわみは、重ね合わせの原理を使用して計算できます。

たわみ関数がすべての場合についてわかっている場合、無荷重梁の線に沿って投影された梁の長さの変化は、傾斜関数を積分することによって計算できます。 ${\displaystyle \Delta L}$${\displaystyle \theta _{x}}$${\displaystyle \delta _{x}}$${\displaystyle x}$

どこ：

梁が均一で、任意の点におけるたわみがわかっている場合は、梁の他の特性を知らなくても計算できます。

上記の計算式では、一貫した単位を使用する必要があります。計算のほとんどは国際単位系(SI) または米国慣用単位で行われますが、他の単位系も多数あります。

• 力: ニュートン ( )${\displaystyle \mathrm {N} }$
• 長さ: メートル ( )${\displaystyle \mathrm {m} }$
• 弾性係数:${\displaystyle \mathrm {\frac {N}{m^{2}}} =\mathrm {Pa} }$
• 慣性モーメント:${\displaystyle \mathrm {m^{4}} }$

• 力: ポンド力 ( )${\displaystyle \mathrm {lbf} }$
• 長さ: インチ ( )${\displaystyle \mathrm {in} }$
• 弾性係数:${\displaystyle \mathrm {\frac {lbf}{in^{2}}} }$
• 慣性モーメント:${\displaystyle \mathrm {in^{4}} }$

一貫性があれば、他の単位も使用できます。たとえば、荷重を測定するためにキログラム重 ( ) 単位が使用されることがあります。このような場合、弾性係数を に変換する必要があります。 ${\displaystyle \mathrm {kgf} }$${\displaystyle \mathrm {\frac {kgf}{m^{2}}} }$

建築基準法では、最大たわみを通常スパンの割合（1/400 または 1/600 など）として定めています。強度限界状態（許容応力）または耐用限界状態（たわみの考慮など）のいずれかによって、必要な部材の最小寸法が決まる場合があります。

構造上、たわみを考慮する必要があります。ガラスパネルを保持する鉄骨フレームを設計する場合、ガラスの 破損を防ぐために、たわみは最小限に抑える必要があります 。

梁のたわみ形状は、モーメント図で表すことができます。モーメント図は、支持条件を強化するために 2 回回転および平行移動して積分されます。

• 傾斜偏向法

• 梁のたわみ
• ビームの偏向
• 梁のたわみと傾斜を計算するツール