コーシー問題

数学におけるコーシー問題とは、領域内の超曲面上で与えられた特定の条件を満たす偏微分方程式の解を求める問題である。 ^{[ 1 ]}コーシー問題には初期値や境界値が含まれる場合がある。これはオーギュスタン＝ルイ・コーシーにちなんで名付けられた。

で定義された偏微分方程式$\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$そして滑らかなマニホールド$${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n+1}}$$寸法${\displaystyle n}$（${\displaystyle S}$はコーシー面と呼ばれ、コーシー問題は未知関数を求めることである。$u_1, u_N$独立変数に関する微分方程式${\displaystyle t,x_{1},\dots ,x_{n}}$^{[ 2 ]}を満たす$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{n_{i}}u_{i}}{\partial t^{n_{i}}}}=F_{i}\left(t,x_{1},\dots ,x_{n},u_{1},\dots ,u_{N},\dots ,{\frac {\partial ^{k}u_{j}}{\partial t^{k_{0}}\partial x_{1}^{k_{1}}\dots \partial x_{n}^{k_{n}}}},\dots \right)\\&{\text{for }}i,j=1,2,\dots ,N;\,k_{0}+k_{1}+\dots +k_{n}=k\leq n_{j};\,k_{0}<n_{j}\end{aligned}}}$$条件付きで、ある価値$t=t_0$、

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{k}u_{i}}{\partial t^{k}}}=\phi _{i}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{n})\quad {\text{for }}k=0,1,2,\dots ,n_{i}-1}$$

どこ${\displaystyle \phi _{i}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{n})}$表面上で定義された関数が与えられている${\displaystyle S}$（総称して問題のコーシーデータと呼ばれる）。0次の導関数は、関数自体が指定されていることを意味する。

コーシーとソフィア・コワレフスカヤにちなんで名付けられたコーシー・コワレフスカヤの定理は、次のように述べている。すべての関数が${\displaystyle F_{i}}$点の近傍で解析的である${\displaystyle (t^{0},x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,\phi _{j,k_{0},k_{1},\dots ,k_{n}}^{0},\dots )}$、そしてすべての関数が${\displaystyle \phi _{j}^{(k)}}$点の近傍で解析的である${\displaystyle (x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,x_{n}^{0})}$すると、コーシー問題は点の近傍で一意の解析解を持つ。${\displaystyle (t^{0},x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,x_{n}^{0})}$。

• コーシー境界条件
• コーシー地平線

• Hille, Einar (1956)[1954]. コーシーの問題のいくつかの側面 1954 ICM 論文集 第 III 巻 第 II 節 (解析 30 分招待講演) p.  109 ~ 16.
• 溝畑 茂(溝畑 茂 1965)。コーシー問題の講義。タタ基礎研究所。
• 溝畑茂（1985）「コーシー問題について」科学技術数学ノート・レポート3. Academic Press, Inc. ISBN 9781483269061
• アーレント、ヴォルフガング。バティ、チャールズ。ヒーバー、マティアス。 Neubrander、Frank (2001)、ベクトル値ラプラス変換とコーシー問題、Birkhauser。

• MathWorldのコーシー問題。