双曲型偏微分方程式

数学において、次の双曲型偏微分方程式${\displaystyle n}$これは偏微分方程式（PDE）であり、大まかに言えば、最初の項に対して適切に定式化された初期値問題を持つ。${\displaystyle n-1}$導関数。より正確には、コーシー問題は任意の非特性超曲面に沿って任意の初期データに対して局所的に解くことができる。力学の多くの方程式は双曲型であり、そのため双曲型方程式の研究は現代において非常に興味深い。モデル双曲型方程式は波動方程式である。1次元空間では、これは $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$$この方程式は、 uとその時間微分が、直線t = 0上で任意に指定された初期データ (十分な滑らかさの特性を持つ) である場合、すべての時間tに対して解が存在する という性質を持っています。

双曲型方程式の解は「波状」です。双曲型微分方程式の初期データに摂動が加えられた場合、空間のすべての点が同時にその摂動を感じるわけではありません。固定された時間座標に対して、摂動は有限の伝播速度を持ちます。摂動は方程式の特性に沿って伝播します。この特徴は、双曲型方程式を楕円型偏微分方程式や放物型偏微分方程式と質的に区別するものです。楕円型または放物型方程式の初期（または境界）データの摂動は、領域内のほぼすべての点で同時に感じられます。

双曲性の定義は基本的に定性的なものですが、検討対象となる微分方程式の種類に応じて、厳密な基準が存在します。線形微分作用素については、ラース・ガーディングによるマイクロローカル解析の文脈において、十分に発展した理論があります。非線形微分方程式は、その線形化がガーディングの意味で双曲的であれば、双曲的であると言えます。保存則系から生じる1階方程式系については、やや異なる理論が存在します。

偏微分方程式は、ある点で双曲型である。${\displaystyle P}$ただし、コーシー問題は近傍で一意に解けるものとする。${\displaystyle P}$非特性超曲面を通過する任意の初期データに対して${\displaystyle P}$[ ^{1 ]ここで規定された初期データは、} 微分方程式の次数より1つ少ない次数までの、表面上の関数のすべての（横方向）導関数から構成される。

線形変数変換により、次の形式の任意の方程式 $$${\displaystyle A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\text{(低階微分項)}}=0}$$$判別式 付き$${\displaystyle B^{2}-AC>0}$$方程式の定性的な理解に不可欠ではない低次の項を除いて、波動方程式 に変換することができる。 ^{[ 2 ]： 400}この定義は平面双曲線 の定義に類似している。

一次元波動方程式： $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}$$ これは双曲型方程式の一例である。2次元および3次元の波動方程式も双曲型偏微分方程式の範疇に属する。この種の2階双曲型偏微分方程式は、1階双曲型微分方程式系に変換することができる。^{[ 2 ]： 402}

以下は、1階偏微分方程式のシステムである。${\displaystyle s}$未知の関数${\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},\ldots ,u_{s})}$、${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {u}}({\vec {x}},t)}$、どこ$\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}}$:

どこ${\displaystyle {\vec {f}}^{j}\in C^{1}(\mathbb {R} ^{s},\mathbb {R} ^{s})}$これらは、一般的には非線形であるが、連続的に微分可能な関数である。

次に、各${\displaystyle {\vec {f}}^{j}}$定義する${\displaystyle s\times s}$ヤコビ行列$${\displaystyle A^{j}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{s}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{s}}}\end{pmatrix}},{\text{ for }}j=1,\ldots ,d.}$$

システム（∗）は、すべてのに対して以下の条件を満たす場合に双曲型である。$\alpha_1, \ldots, \alpha_d \in \mathbbR }$マトリックス${\displaystyle A:=\alpha _{1}A^{1}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}}$実数の固有値 のみを持ち、対角化可能である。

行列が${\displaystyle A}$s 個の異なる実固有値を持つので、対角化可能であることがわかります。この場合、システム ( ∗ ) は厳密に双曲型と呼ばれます。

行列が${\displaystyle A}$対称であるため、対角化可能であり、固有値は実数である。この場合、システム（∗）は対称双曲型と呼ばれる。

• 楕円型偏微分方程式
• 準楕円型演算子
• 放物型偏微分方程式

• AD ポリアニーン著、『エンジニアと科学者のための線形偏微分方程式ハンドブック』、チャップマン＆ホール/CRCプレス、ボカラトン、2002年。ISBN 1-58488-299-9

• 「双曲型偏微分方程式、数値解法」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• EqWorld（数学方程式の世界）の線形双曲型方程式。
• EqWorld（数学方程式の世界）における非線形双曲型方程式。