フーリエ逆変換定理

フーリエ逆変換定理の最も一般的な表現は、逆変換を積分として表すことである。任意の積分可能な関数に対して、${\displaystyle g}$そしてすべて${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$セット

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

そしてすべての${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$我々は持っています

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

この定理は次のように言い換えることができる。

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

上記の両辺の実部^{[ 1 ]を取ると、}

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }\cos(2\pi (x-y)\cdot \xi )\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

任意の関数${\displaystyle g}$反転演算子を定義する^{[ 2 ]}${\displaystyle R}$による

${\displaystyle Rg(x):=g(-x).}$

すると、代わりに次のように定義できます

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f:=R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}Rf.}$

フーリエ変換と反転演算子の定義から、両方とも${\displaystyle R{\mathcal {F}}f}$そして${\displaystyle {\mathcal {F}}Rf}$の積分定義に一致する${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$⁠、特に互いに等しく、以下を満たす。${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$⁠ .

以来${\displaystyle Rf=R{\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}f=RR{\mathcal {FF}}f={\mathcal {F}}^{2}f}$我々は持っています${\displaystyle R={\mathcal {F}}^{2}}$そして​${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{3}}$⁠ .

前述のフーリエ逆変換定理の形式は、一般的に次のとおりである。

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

言い換えると、${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$はフーリエ変換の左逆関数です。ただし、フーリエ変換の右逆関数でもあります。

${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(\xi )=f(\xi ).}$

以来${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$とても似ている${\displaystyle {\mathcal {F}}}$これはフーリエ逆変換定理（変数変換）から非常に容易に導かれる。${\displaystyle \zeta$ :=-\xi } ⁠ ):

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)\\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi \\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi ix\cdot \zeta }\,e^{2\pi iy\cdot \zeta }\,f(y)\,dy\,d\zeta \\[6pt]&={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x).\end{aligned}}}$

あるいは、これは次の関係から見ることができる。${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$そして、反転演算子と関数合成の結合法則は、

${\displaystyle f={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)={\mathcal {F}}R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f).}$

フーリエ逆定理は、すべてのシュワルツ関数（大まかに言えば、滑らかで減衰が速く、かつすべての階数の導関数が減衰が速い関数）に対して成り立ちます。この条件の利点は、関数に関する基本的な直接的な記述であること（フーリエ変換に条件を課すのではなく）、そしてフーリエ変換とその逆関数を定義する積分が絶対積分可能であることです。この定理のバージョンは、緩増加超関数に対するフーリエ逆定理の証明で使用されます（下記参照）。

フーリエ逆定理は、絶対積分可能なすべての連続関数（すなわち、${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$⁠ ) 絶対積分可能なフーリエ変換を持つ。これにはすべてのシュワルツ関数が含まれるため、これは前述の定理よりも厳密に強い形式である。この条件は、上記の記述セクションで使用されているものである。

少し異なる方法として、関数の条件を削除する方法があります。${\displaystyle f}$連続である必要があるが、フーリエ変換も絶対積分可能である必要がある。${\displaystyle f=g}$gが連続関数であるほぼすべての場所で、${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=g(x)}$すべての⁠${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$⁠ .

区分的に滑らか。一次元

関数が1次元で絶対積分可能であれば（つまり、${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$⁠ ) かつ区分的に滑らかである場合、フーリエ逆変換定理の変形が成り立つ。この場合、次のように定義する。

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{-R}^{R}e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

そしてすべての${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)={\frac {1}{2}}(f(x_{-})+f(x_{+})),}$

つまり${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$左端と右端の平均に等しい${\displaystyle f}$で​${\displaystyle x}$⁠ . 地点では${\displaystyle f}$これは連続であり、単純に に等しい。${\displaystyle f(x)}$⁠ .

この定理のより高次元版も成立するが、フォランド（1992）によれば「かなりデリケートで、あまり役に立たない」とのことである。

区分的に連続。一次元

関数が1次元で絶対積分可能であれば（つまり、${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$⁠ ) ただし、単に区分的に連続である場合、フーリエ逆変換定理の変形版が依然として成り立ちます。この場合、逆フーリエ変換の積分は、鋭いカットオフ関数ではなく滑らかなカットオフ関数を用いて定義されます。具体的には、次のように定義します。

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} }\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\xi ^{2}}.}$

したがって、この定理の結論は、上で議論した区分的に滑らかな場合と同じである。

連続的。次元数は任意。

もし${\displaystyle f}$連続かつ絶対積分可能である${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$すると、フーリエ逆変換を滑らかなカットオフ関数で定義する限り、フーリエ逆変換定理は依然として成り立つ。

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\vert \xi \vert ^{2}}.}$

結論は、すべての人にとって${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

規則性条件なし。次元数は任意。

（区分的）連続性に関するすべての仮定を捨てれば${\displaystyle f}$そして、それが絶対積分可能であると仮定するだけで、定理のあるバージョンが依然として成り立つ。逆変換は再び滑らかなカットオフで定義されるが、結論は次のようになる。

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$

ほぼすべての${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$⁠ .

この場合、フーリエ変換は絶対収束しない可能性があるため、積分として直接定義することはできません。そのため、代わりに密度論証によって定義されます（フーリエ変換§Lp 空間についてを参照）。例えば、

${\displaystyle g_{k}(\xi ):=\int _{\{y\in \mathbb {R} ^{n}:\left\vert y\right\vert \leq k\}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,\qquad k\in \mathbb {N} ,}$

設定できます${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}f:=\lim _{k\to \infty }g_{k}}$極限は${\displaystyle L^{2}}$-ノルム。逆変換は、密度によって同じように定義することも、フーリエ変換と反転演算子を用いて定義することもできます。すると、次のようになります。

${\displaystyle f(x)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x)={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$

平均二乗ノルムにおいて。1次元（かつ1次元のみ）では、ほぼすべてのに対して収束することも示せる。${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$これはカールソンの定理ですが、平均二乗ノルムの収束よりも証明するのがはるかに難しいです。

フーリエ変換は、緩増加超関数の空間上で定義することができる。${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$シュワルツ関数の空間におけるフーリエ変換の双対性によって。具体的には、${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$すべてのテスト機能について${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$私たちは設定しました

${\displaystyle \langle {\mathcal {F}}f,\varphi \rangle$ :=\langle f,{\mathcal {F}}\varphi \rangle ,}

どこ${\displaystyle {\mathcal {F}}\varphi }$は積分公式を用いて定義される。^{[ 3 ]}もし${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$するとこれは通常の定義と一致する。逆変換を次のように定義できる。${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}:{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$⁠、シュワルツ関数の逆変換による双対性によって同様に定義するか、またはフリップ演算子（ここでフリップ演算子は双対性によって定義される）を用いて定義するかのいずれかである。すると、次のようになる。

${\displaystyle {\mathcal {F}}{\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}.}$