ラプラス方程式

ドメインの場合$${\displaystyle D\subset \mathbf {R} ^{n}}$$ラプラス方程式の最も一般的な境界値問題は、未知関数の境界値が規定されているディリクレ問題と、その外向き法線微分が規定されているノイマン問題である。 ^{[ 4 ] [ 5 ]}

もし${\displaystyle D}$が有界かつ連結である場合、調和関数はディリクレ境界値によって一意に決定されます。これは最大値原理から導かれます。^{[ 4 ]}ノイマン問題の場合、一意性は加法定数を除いてのみ成り立ちます。さらに、${\displaystyle u}$調和的である${\displaystyle D}$すると、発散定理は適合条件を意味する。 $${\displaystyle \int _{\partial D}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,dS=0.}$$ したがって、規定されたフラックスを持つノイマン問題の解法可能性の必要条件は次のようになる。${\displaystyle g}$は $${\displaystyle \int _{\partial D}g\,dS=0.}$$^{[ 4 ]} 3つ目の古典的な境界条件はロビン境界条件、境界上で関数とその法線微分の線形結合を規定する。 ^{[ 4 ]}

特殊な領域では、解は積分公式によって明示的に記述できます。単位円盤の場合${\displaystyle \mathbb {D} \subset \mathbf {C} }$連続境界データを持つディリクレ問題の解${\displaystyle f}$ポアソンカーネル公式 によって与えられる$${\displaystyle u(re^{i\theta })={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos(\theta -\varphi )+r^{2}}}\,f(e^{i\varphi })\,d\varphi .}$$ 同様に、上半空間では${\displaystyle \mathbf {R} _{+}^{n}=\{(x',x_{n})\in \mathbf {R} ^{n-1}\times \mathbf {R} :x_{n}>0\}}$適切な境界データを持つ調和関数はポアソン積分によって表される。 $${\displaystyle u(x',x_{n})=c_{n}\int _{\mathbf {R} ^{n-1}}{\frac {x_{n}}{{\bigl (}|x'-y|^{2}+x_{n}^{2}{\bigr )}^{n/2}}}\,f(y)\,dy.}$$これらのカーネルは、これらのモデル領域における境界測度に関する調和測度 の密度である。 ^{[ 5 ]}

ラプラス方程式のディリクレ問題に対する古典的なアプローチはペロン法であり、これは規定された境界データより下にあるすべての劣調和関数の上限として候補解を構築する。^{[ 6 ]}結果として得られるペロン解は領域内で調和的である。微妙な問題は、それがすべての境界点で望ましい境界値を達成するかどうかである。

これにより、正則境界点の概念が導かれる。境界点が正則であるとは、ディリクレ問題の解がそこで規定された境界値に収束する場合をいう。十分条件は、その点に障壁が存在すること、すなわち、その点でゼロになり、境界付近の他の場所では正となる超調和関数が存在することである。^{[ 7 ]}

ラプラス方程式の場合、境界点の正則性は古典的なウィーナー基準によって特徴付けられ、容量に関して必要十分条件を与えます。このようにして、ディリクレ問題の可解性は境界の微細な幾何学的構造と結びついています。^{[ 8 ]}

複素解析関数の実部と虚部はどちらもラプラス方程式を満たします。つまり、z = x + iyの場合、そして $${\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y),}$$f ( z )が解析的である ための必要条件は、 uとvが微分可能であり、かつコーシー・リーマン方程式が満たされることである。 $${\displaystyle u_{x}=v_{y},\quad v_{x}=-u_{y}}$$ ここで、u _xはuのxに関する1階偏微分である。したがって、 $${\displaystyle u_{yy}=(-v_{x})_{y}=-(v_{y})_{x}=-(u_{x})_{x}.}$$ したがって、u はラプラス方程式を満たします。同様の計算により、vもラプラス方程式を満たすことがわかります。逆に、調和関数が与えられた場合、それは解析関数f ( z )の実部です(少なくとも局所的には)。試行形式が $${\displaystyle f(z)=\varphi (x,y)+i\psi (x,y),}$$ すると、コーシー・リーマン方程式は、 $${\displaystyle \psi _{x}=-\varphi _{y},\quad \psi _{y}=\varphi _{x}.}$$ この関係はψそのものを決定するものではなく、その増分のみを決定する。 $${\displaystyle d\psi =-\varphi _{y}\,dx+\varphi _{x}\,dy.}$$φ に関するラプラス方程式は、 ψに関する積分可能性条件が満たされることを意味する。 $${\displaystyle \psi _{xy}=\psi _{yx},}$$ したがって、ψ は線積分によって定義できます。積分可能性条件とストークスの定理は、 2 点を結ぶ線積分の値が経路に依存しないことを意味します。結果として得られるラプラス方程式の解のペアは、共役調和関数と呼ばれます。この構成は局所的にのみ有効であり、経路が特異点の周りをループしない場合に限ります。たとえば、rとθが極座標で、 $${\displaystyle \varphi =\log r,}$$ すると、対応する解析関数は次のようになる。 $${\displaystyle f(z)=\log z=\log r+i\theta .}$$

しかし、角度θが単一の値をとるのは、原点を囲まない領域に限られる。

ラプラス方程式と解析関数との密接な関係は、ラプラス方程式の解にはあらゆる階数の導関数が存在し、少なくとも特異点を囲まない円の内部ではべき級数展開が可能であることを意味する。これは、一般的に正則性が低い波動方程式の解とは大きく異なる。

べき級数とフーリエ級数には密接な関係があります。半径Rの円内で関数fをべき級数に展開すると、次のようになります。 $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n},}$$ 適切な係数が定義され、その実部と虚部は次のように与えられる。 $${\displaystyle c_{n}=a_{n}+ib_{n}.}$$ したがって $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\cos n\theta -b_{n}r^{n}\sin n\theta \right]+i\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\sin n\theta +b_{n}r^{n}\cos n\theta \right],}$$これはf のフーリエ級数です。これらの三角関数は、複数の角度の公式を使用して展開できます。

2次元の定常非圧縮性非回転流の速度場の水平成分と垂直成分を それぞれuとvとする。非圧縮性流の連続条件は次のとおりである。$${\displaystyle u_{x}+v_{y}=0,}$$ そして流れが非回転であるという条件は $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {V} =v_{x}-u_{y}=0.}$$ 関数ψの微分を次のように 定義する。$${\displaystyle d\psi =u\,dy-v\,dx,}$$ すると、連続条件はこの微分に対する積分可能性条件となる。結果として得られる関数は流れ線に沿って一定であるため、流れ関数と呼ばれる。ψの1階微分は次のように与えられる。 $${\displaystyle \psi _{x}=-v,\quad \psi _{y}=u,}$$ また、非回転条件は、ψがラプラス方程式を満たすことを意味する。ψと共役な調和関数φは速度ポテンシャルと呼ばれる。コーシー・リーマン方程式は、 $${\displaystyle \varphi _{x}=\psi _{y}=u,\quad \varphi _{y}=-\psi _{x}=v.}$$ したがって、すべての解析関数は、平面内の定常的な非圧縮性、非回転性、非粘性流体の流れに対応する。実部は速度ポテンシャルであり、虚部は流れ関数である。

マクスウェル方程式によれば、時間に依存しない2次元空間の 電場( u , v )は、$${\displaystyle \nabla \times (u,v,0)=(v_{x}-u_{y}){\hat {\mathbf {k} }}=\mathbf {0} ,}$$ そして $${\displaystyle \nabla \cdot (u,v)=\rho ,}$$ ここでρは電荷密度である。最初のマクスウェル方程式は微分方程式の積分可能性条件である。 $${\displaystyle d\varphi =-u\,dx-v\,dy,}$$ したがって、電位φは次のように構成できる。 $${\displaystyle \varphi _{x}=-u,\quad \varphi _{y}=-v.}$$ マクスウェル方程式の2番目は、次のことを意味する。 $${\displaystyle \varphi _{xx}+\varphi _{yy}=-\rho ,}$$ これはポアソン方程式です。ラプラス方程式は、静電気学や流体流れにおける3次元問題にも、2次元の場合と同様に適用できます。

ラプラス方程式の 基本解は以下を満たす。$${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=-\delta (x-x',y-y',z-z'),}$$ ここで、ディラックのデルタ関数δ は、点( x ′, y ′, z ′)に集中した単位ソースを表します。このような性質を持つ関数は存在しません。実際には関数ではなく分布ですが、空間積分が 1 であり、サポート (関数がゼロでない領域) が一点に縮小する関数の極限と考えることができます (弱解を参照)。この方程式では、基本解を定義する際に通常用いる符号規約とは異なる符号規約を用いるのが一般的です。−Δ は正の演算子であるため、この符号の選択はしばしば扱いやすいです。したがって、基本解の定義は、ソース点を囲む任意の体積で uのラプラシアンを積分すると、$${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \nabla u\,dV=-1.}$$

ラプラス方程式は座標回転によって変化しないため、ソース点からの距離rのみに依存する解の中から基本解が得られると予想でき ます。ソース点の周りの半径aの球を体積として選択すると、ガウスの発散定理は、$${\displaystyle -1=\iiint _{V}\nabla \cdot \nabla u\,dV=\iint _{S}{\frac {du}{dr}}\,dS=\left.4\pi a^{2}{\frac {du}{dr}}\right|_{r=a}.}$$

したがって、 $${\displaystyle {\frac {du}{dr}}=-{\frac {1}{4\pi r^{2}}},}$$ソース点を中心とする 半径r の球面上にあり、したがって$${\displaystyle u={\frac {1}{4\pi r}}.}$$

なお、物理学で用いられる逆符号規約を用いると、これはポアソン方程式の解に現れる逆二乗法則の力に対して、点粒子によって生成されるポテンシャルである。同様の議論により、2次元では次のようになることがわかる。 $${\displaystyle u=-{\frac {\log(r)}{2\pi }}.}$$ ここでlog( r )は自然対数を表します。符号の規則を逆にすると、これは点状シンク(点粒子を参照)によって生成されるポテンシャルであり、 2 次元非圧縮性流れにおけるオイラー方程式の解であることに注意してください。

グリーン関数は、体積Vの境界S上で適切な条件も満たす基本解です。例えば、 $${\displaystyle G(x,y,z;x',y',z')}$$ 満たす可能性がある $${\displaystyle \nabla \cdot \nabla G=-\delta (x-x',y-y',z-z')\qquad {\text{in }}V,}$$$${\displaystyle G=0\quad {\text{if}}\quad (x,y,z)\qquad {\text{on }}S.}$$

ここで、 u がVにおけるポアソン方程式の解である場合： $${\displaystyle \nabla \cdot \nabla u=-f,}$$

また、u がS上で境界値gを取ると、グリーンの恒等式(発散定理の結果)を適用できます。

$${\displaystyle \iiint _{V}\left[G\,\nabla \cdot \nabla u-u\,\nabla \cdot \nabla G\right]\,dV=\iiint _{V}\nabla \cdot \left[G\nabla u-u\nabla G\right]\,dV=\iint _{S}\left[Gu_{n}-uG_{n}\right]\,dS.\,}$$

u _nとG _{n は}S上の法線微分を表す。uとGが満たす条件を考慮すると、この結果は次のように簡略化される。

$${\displaystyle u(x',y',z')=\iiint _{V}Gf\,dV-\iint _{S}G_{n}g\,dS.\,}$$

したがって、グリーン関数は、データfとgが( x ′, y ′, z ′)に及ぼす影響を表します。半径aの球の内部の場合、グリーン関数は反射によって得られます( Sommerfeld 1949 ) 。球の中心から距離ρにあるソース点Pは、その半径線に沿って、距離 ρ にある点P'に反射されます。

$${\displaystyle \rho '={\frac {a^{2}}{\rho }}.\,}$$

Pが球の内部にある場合、 P ′は球の外部にあることに注意してください。グリーン関数は次のように与えられます。 $${\displaystyle {\frac {1}{4\pi R}}-{\frac {a}{4\pi \rho R'}},\,}$$ ここで、R はソース点Pまでの距離、R ′ は反射点P ′までの距離を表します。グリーン関数のこの式の結果として、ポアソン積分公式が得られます。ρ 、θ、φをソース点Pの球面座標とします。ここで、 θ は垂直軸との角度を表し、これは通常のアメリカの数学表記とは異なりますが、ヨーロッパの標準的な物理表記と一致します。すると、球の内部でディリクレ境界値gを持つラプラス方程式の解は、( Zachmanoglou & Thoe 1986 、p. 228)で与えられます。$${\displaystyle u(P)={\frac {1}{4\pi }}a^{3}\left(1-{\frac {\rho ^{2}}{a^{2}}}\right)\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {g(\theta ',\varphi ')\sin \theta '}{(a^{2}+\rho ^{2}-2a\rho \cos \Theta )^{\frac {3}{2}}}}d\theta '\,d\varphi '}$$ どこ $${\displaystyle \cos \Theta =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ')}$$は( θ , φ )と( θ ′, φ ′) の間の角度のコサインです。この公式の単純な帰結として、u が調和関数である場合、球の中心におけるuの値は、球上のその値の平均値になります。この平均値の性質は、非定数調和関数が内部の点で最大値をとることができないことを直ちに意味します。

球面座標におけるラプラス方程式は次のとおりです。^{[ 10 ]}

$${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.}$$

f ( r , θ , φ ) = R ( r ) Y ( θ , φ )の形の解を求める問題を考えます。変数分離法により、ラプラス方程式を課すことで、2 つの微分方程式が得られます。

$${\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)=\lambda ,\qquad {\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=-\lambda .}$$

2 番目の式は、 Y がY ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ )の形であると仮定すると、簡略化できます。2 番目の式に再び変数分離法を適用すると、次の微分方程式の組が得られます。

$${\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}}$$$${\displaystyle \lambda \sin ^{2}\theta +{\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)=m^{2}}$$

ある数mに対して。 先験的に、mは複素定数ですが、Φ は周期が2πを割り切る周期関数でなければならないため、m は必然的に整数であり、Φは複素指数関数e ^{± imφ}の線形結合です。 解関数Y ( θ , φ )は、 θ = 0, πである球の極で正則です。領域の境界点で、第 2 式の解Θにこの正則性を課すことは、パラメータλがℓ ≥ | m |を満たす非負の整数に対してλ = ℓ ( ℓ + 1)の形になることを強制するシュトゥルム・リウヴィル問題です。これは、軌道角運動量の観点からも以下で説明されています。 さらに、変数変換t = cos θにより、この方程式はルジャンドル方程式に変換され、その解は関連するルジャンドル多項式P _ℓ ^m (cos θ )の倍数になります。最後に、 Rの方程式はR ( r ) = A r ^ℓ + B r ^{− ℓ − 1}の形の解を持ち、 R ³全体で解が正則である必要があるため、B = 0 となります。^{[注 2 ]}

ここでは、解はY ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ )という特別な形式を持つと仮定した。 ℓの値が与えられた場合、この形式の独立した解は2 ℓ + 1個あり、それぞれ− ℓ ≤ m ≤ ℓを満たす整数mごとに 1 つずつ存在する。 これらの角度解は、ここでは複素指数関数で表される三角関数と、関連するルジャンドル多項式の 積である。$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=Ne^{im\varphi }P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })}$$ 満たす $${\displaystyle r^{2}\nabla ^{2}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=-\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}$$

ここで、^Yℓmは_次数ℓ、位数mの球面調和関数、 Pℓmはルジャンドル多項式_、 Nは正規化定数、θとφはそれぞれ余緯度と経度を表します。特に、余緯度θ （極角）^は北極で0 、赤道でπ /2 、南極でπまで変化し、経度φ（方位角）は0 ≤ φ < 2πのすべての値をとることができます。固定された整数ℓに対して、固有値問題の すべての解Y ( θ , φ )は$${\displaystyle r^{2}\nabla ^{2}Y=-\ell (\ell +1)Y}$$Y ℓ m は、Y _ℓ ^mの線形結合 です。実際、そのような解のr ^ℓ Y ( θ , φ )は、調和的な同次多項式の球面座標での表現であり(下記参照)、次元を数えると、そのような多項式が2 ℓ + 1個あることがわかります。

原点を中心とする球におけるラプラス方程式の一般解は、適切なスケール係数r ^ℓを掛けた球面調和関数の線形結合である。 $${\displaystyle f(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),}$$ ここで、f _ℓ ^mは定数であり、因子r ^ℓ Y _ℓ ^mはソリッドハーモニクスとして知られています。このような展開は球体において有効です。$${\displaystyle r<R={\frac {1}{\limsup _{\ell \to \infty }|f_{\ell }^{m}|^{{1}/{\ell }}}}.}$$

のために${\displaystyle r>R}$、負のパワーを持つ固体高調波${\displaystyle r}$代わりに が選択されます。その場合、ローラン級数(約 )の既知領域の解を展開する必要があります。${\displaystyle r=\infty }$) の代わりにテイラー級数(約${\displaystyle r=0}$）用語を照合して見つける${\displaystyle f_{\ell }^{m}}$。

させて${\displaystyle \mathbf {E} }$電場とする。${\displaystyle \rho }$を電荷密度とし、${\displaystyle \varepsilon _{0}}$を自由空間の誘電率とする。すると、電気に関するガウスの法則（マクスウェルの第一方程式）は微分形式で^{[ 11 ]と表される。}$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.}$$

電場は電位の負の勾配として表すことができる。${\displaystyle V}$、 $${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V,}$$ 磁場が非回転の場合、${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =\mathbf {0} }$非回転性${\displaystyle \mathbf {E} }$静電条件とも呼ばれる。^{[ 11 ]}

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla V)=-\nabla ^{2}V}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}V=-\nabla \cdot \mathbf {E} }$$

この関係をガウスの法則に代入すると、電気のポアソン方程式が得られます。^{[ 11 ]}$${\displaystyle \nabla ^{2}V=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.}$$

ソースのない領域の場合、${\displaystyle \rho =0}$そしてポアソン方程式は電位に関するラプラス方程式に帰着する。^{[ 11 ]}

静電ポテンシャル${\displaystyle V}$領域の境界上に指定される${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ならば、それは一意に決定されます。${\displaystyle {\mathcal {R}}}$特定の電荷密度を持つ導電性材料に囲まれている${\displaystyle \rho }$合計料金が${\displaystyle Q}$が分かっている場合、${\displaystyle V}$また、ユニークでもある。^{[ 12 ]}

磁場については、自由電流がない場合、$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {0} .}$$したがって、磁気スカラーポテンシャルψを次のように定義できます。 $${\displaystyle \mathbf {H} =-\nabla \psi .}$$Hの定義によれば： $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =\mu _{0}\nabla \cdot \left(\mathbf {H} +\mathbf {M} \right)=0,}$$ したがって、 $${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =-\nabla \cdot \mathbf {H} =\nabla \cdot \mathbf {M} .}$$

静電気学と同様に、ソースのない領域では、${\displaystyle \mathbf {M} =0}$そしてポアソン方程式は磁気スカラーポテンシャルのラプラス方程式に帰着する。 $${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =0}$$

ラプラス方程式と境界条件の両方を満たさないポテンシャルは、無効な静電ポテンシャルまたは磁気スカラーポテンシャルである。

境界領域の場合${\displaystyle D\subset \mathbf {R} ^{n}}$そしてポイント${\displaystyle x\in D}$境界データ付きディリクレ問題の解${\displaystyle f}$形式で表すことができる $${\displaystyle u(x)=\int _{\partial D}f(\xi )\,d\omega _{D}^{x}(\xi ),}$$ どこ${\displaystyle \omega _{D}^{x}}$確率尺度は${\displaystyle \partial D}$調和尺度と呼ばれる${\displaystyle D}$ポールで${\displaystyle x}$このように、調和測度は境界値が内部解に与える影響を符号化する。^{[ 17 ]}

円盤や球などの古典的な領域では、調和測度は表面測度に関して絶対連続であり、その密度はポアソン核である。確率論的には、調和測度はブラウン運動が始まった点の分布である。${\displaystyle x}$まずドメインから退出します。^{[ 18 ]}