有界作用素

関数解析と作用素論において、有界線形作用素は、無限次元において特に重要な特殊な線形変換の一種です。有限次元では、線形変換は有界集合を別の有界集合に写像します（例えば、平面上の長方形は、線形変換を適用すると平行四辺形または有界線分に写像されます）。しかし、無限次元では、有界集合が有界であり続けることを保証するために線形性だけでは不十分です。したがって、有界線形作用素とは、有界集合を有界集合に写像する線形変換のことです。

形式的には、これは線形変換である。${\displaystyle L:X\to Y}$位相ベクトル空間（TVS）間${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$境界付き部分集合をマッピングする${\displaystyle X}$有界部分集合へ${\displaystyle Y.}$ もし${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$ノルムベクトル空間（TVSの特殊なタイプ）である場合、${\displaystyle L}$が有界であるのは、ある が存在する場合に限る。${\displaystyle M\geq 0}$すべての${\displaystyle x\in X,}$$${\displaystyle \|Lx\|_{Y}\leq M\|x\|_{X}.}$$ 最小値${\displaystyle M}$は、​${\displaystyle L}$そして、${\displaystyle \|L\|.}$ ノルム空間間の線形作用素が連続であるのは、それが有界である場合に限る。

有界線形作用素の概念は、ノルム空間からすべての位相ベクトル空間へと拡張されてきた。

関数解析以外では、関数が${\displaystyle f:X\to Y}$「有界」と呼ばれる場合、通常はその像が${\displaystyle f(X)}$は、その値域の有界部分集合である。線形写像がこの性質を持つのは、それが恒等写像である場合のみである。${\displaystyle 0.}$ したがって、関数解析において、線形作用素が「有界」と呼ばれる場合、それは決して抽象的な意味（有界な像を持つという意味）で使われることはない。

すべての有界作用素は、${\displaystyle 0.}$

ヒルベルト空間は内積によって誘導されるノルムを持つ完備ノルム空間であるため、前述のことはここでも当てはまります。特に、有界線形作用素の空間は${\displaystyle L(H)}$ヒルベルト空間 H 上では、C*-環、特に作用素空間となる。作用素 T に対しては、さまざまな異なる有界性の概念を定義することが可能である。

例えば、T は次のような場合にべき乗制限されていると呼ばれます。${\displaystyle \|T^{n}\|_{L(H)}<\infty }$すべての自然数 n に対して。この条件は、もちろん T が有界であることを意味しますが、その逆は必ずしも真ではありません。

もう一つの有界条件は多項式有界性である。L(H) 上の作用素 T は、正の定数が存在する場合に多項式有界である。${\displaystyle K}$（Tのみに依存する）$$\displaystyle \|p(T)\|_{L(H)}\leq K\sup _{|z|\leq 1}|p(z)|}$$閉じた単位円盤上で定義されたすべての（解析的）多項式 p について${\displaystyle {\overline {\mathbb {D} }}}$繰り返しますが、この条件はべき乗の有界性とノルムの有界性を意味しますが、その逆は必ずしも真ではありません。

さらに、オペレーター${\displaystyle T\colon H\to H}$は、正の定数 K が存在して、$$\displaystyle \|P(T)\|_{M_{n\times n}(B(H))}\leq K\sup _{|z|\leq 1}\|P(z)\|_{M_{n\times n}}}$$（解析的）多項式のすべての行列について${\displaystyle P=(p_{ij})_{1\leq i,j\leq n}}$そしてすべての自然数 n に対して。ここで、それぞれの行列ノルムは、空間の構造によって自然に誘導される。${\displaystyle n\times n}$行列と${\displaystyle P(T)}$これは多項式関数計算として理解できる。完全に多項式的に有界な演算子はすべて、多項式的にもべき乗的にも有界であり、ノルムも有界であるが、一般にその逆は成り立たない。

完全に多項式的に有界な作用素の肯定的な例としては、縮小作用素 T ^{[ 2 ]}があり、それは次の条件を満たすものです。$$\|T\|_{L(H)}\leq 1$$真実である。

線形演算子${\displaystyle F:X\to Y}$2 つの位相ベクトル空間(TVS)間の線形演算子は、次の場合に有界線形演算子または単に有界と呼ばれます。${\displaystyle B\subseteq X}$は​​${\displaystyle X}$それから${\displaystyle F(B)}$は${\displaystyle Y.}$ TVS の部分集合は、原点のすべての近傍がその部分集合を吸収する場合、有界（より正確にはフォン・ノイマン有界）と呼ばれます。ノルム空間（および半ノルム空間）では、部分集合がフォン・ノイマン有界であるのは、それがノルム有界である場合に限ります。したがって、ノルム空間においては、フォン・ノイマン有界集合の概念は、通常のノルム有界部分集合の概念と同一です。

• 2 つの有限次元ノルム空間間の任意の線形演算子は有界であり、そのような演算子はある固定行列による乗算と見なすことができる。
• 有限次元ノルム空間上で定義された線形作用素はすべて有界である。
• シーケンス空間において${\displaystyle c_{00}}$最終的にゼロになる実数列を、$\displaystyle \ell ^{1}}$ノルム、実数への線形演算子で、数列の和を返す演算子ノルムは、1 で有界です。同じ空間を${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ノルムでは、同じ演算子は有界ではありません。
• 多くの積分変換は有界線形演算子です。例えば、 $${\displaystyle K:[a,b]\times [c,d]\to \mathbb {R} }$$ は連続関数であり、演算子は${\displaystyle L}$空間上で定義される${\displaystyle C[a,b]}$連続関数の${\displaystyle [a,b]}$均一な規範と空間内の値を持つ${\displaystyle C[c,d]}$と${\displaystyle L}$式で与えられる $${\displaystyle (Lf)(y)=\int _{a}^{b}\!K(x,y)f(x)\,dx,}$$ この演算子は有界である。実際、この演算子はコンパクト演算子である。コンパクト演算子は、有界演算子の重要なクラスを形成する。
• ラプラス演算子$${\displaystyle \Delta :H^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\,}$$ （その定義域はソボレフ空間であり、二乗可積分関数の空間の値をとる）は有界である。
• Lp空間上の片側シフト演算子$\displaystyle \ell ^{2}}$すべてのシーケンス${\displaystyle \left(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \right)}$実数の${\displaystyle x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots <\infty ,\,}$$${\displaystyle L(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=\left(0,x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \right)}$$ は有界である。その作用素ノルムは容易に次のようになることがわかる。${\displaystyle 1.}$

• 有界集合（位相ベクトル空間）－有界性の一般化 
• 縮約（作用素論）－単位ノルムが小さい有界作用素 
• 不連続線形マップ
• 連続線形演算子– 位相ベクトル空間間の関数 
• 局所的な境界
• ノルム（数学）– ベクトル空間における長さ 
• 作用素代数– 関数解析の一分野 
• 演算子ノルム– 線形演算子の「大きさ」を測る尺度 
• 作用素論― 線形作用素の数学的研究 
• セミノルム– 数学関数 
• 非有界作用素– 稠密な線形部分空間上で定義された線形作用素 

• 「有界作用素」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• クレイジグ、エルヴィン：入門的関数解析とその応用、ワイリー、1989年
• ナリチ、ローレンス；ベッケンシュタイン、エドワード（2011）。位相ベクトル空間。純粋および応用数学（第2 版）。フロリダ州ボカラトン：CRC Press。ISBN 978-1584888666OCLC 144216834。​ 
• ウィランスキー、アルバート（2013）。位相ベクトル空間における現代的手法。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-49353-4OCLC 849801114。​