ディラックのデルタ関数

ディラックのデルタ関数の概念を厳密に捉える一つの方法は、部分集合を受け入れるディラック測度と呼ばれる測度を定義することである。${\displaystyle A}$実際のラインの${\displaystyle \mathbb {R} }$引数として、そして返します${\displaystyle \delta (A)=1}$もし${\displaystyle 0\in A}$、 そして${\displaystyle \delta (A)=0}$それ以外の場合。^{[ 28 ]}デルタ関数が0における理想化された点質量をモデル化していると概念化される場合、${\displaystyle \delta (A)}$セットに含まれる質量を表す${\displaystyle A}$すると、積分を定義できる。${\displaystyle \delta }$この質量分布に対する関数の積分として。形式的には、ルベーグ積分は必要な解析的手段を提供する。測度に関するルベーグ積分${\displaystyle \delta }$満たす $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=f(0)}$$ すべての連続コンパクトサポート関数に対して${\displaystyle f}$. 測定${\displaystyle \delta }$はルベーグ測度に関して絶対連続ではなく、実際には特異測度である。したがって、デルタ測度は（ルベーグ測度に関して） ラドン・ニコディム微分を持たない。つまり、この性質を満たす真の関数は存在しない。$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x)\,dx=f(0)}$$ 成り立つ。^{[ 29 ]}その結果、後者の表記は表記の便利な濫用であり、標準的な（リーマン積分またはルベーグ積分）ではない。^{[ 30 ]}

確率尺度として${\displaystyle \mathbb {R} }$デルタ尺度は、単位ステップ関数である累積分布関数によって特徴付けられます。^{[ 31 ]}$${\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\geq 0\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$ これはつまり${\displaystyle H(x)}$は累積指標関数の積分である。${\displaystyle \mathbb {1} _{(-\infty ,x]}}$措置に関して${\displaystyle \delta }$すなわち、 $${\displaystyle H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta (dt)=\delta \!\left((-\infty ,x]\right),}$$ 後者はこの区間の尺度である。したがって、特に、デルタ関数を連続関数に対して積分することは、リーマン・スティルチェス積分として適切に理解することができる。^{[ 32 ]}$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x).}$$

すべての高次の瞬間${\displaystyle \delta }$ゼロです。特に、特性関数とモーメント生成関数は両方とも1に等しくなります。^{[ 33 ]}

分布理論では、一般化関数はそれ自体が関数であるとは考えられず、他の関数に対して「積分」したときに他の関数にどのような影響を与えるかによってのみ定義されます。^{[ 34 ]}この考え方に沿って、デルタ関数を適切に定義するには、十分に「良い」テスト関数に対するデルタ関数の「積分」が何であるかを述べるだけで十分です。${\displaystyle \varphi }$[ ^{7 ]}デルタ関数が既に測度として理解されている場合、その測度に対するテスト関数のルベーグ積分が必要な積分を提供する^{。[ 35 ]}

典型的なテスト関数空間は、上のすべての滑らかな関数から構成される。${\displaystyle \mathbb {R} }$必要な数の導関数を持つコンパクトなサポートを備えています。分布として、ディラックのデルタはテスト関数の空間上の線形汎関数であり、次のように定義されます。

すべてのテスト関数について${\displaystyle \varphi }$[ ^{36 ]​}

のために${\displaystyle \delta }$分布として適切に機能するためには、テスト関数の空間上の適切な位相において連続でなければならない。一般に、線形関数の場合、${\displaystyle S}$分布を定義するテスト関数の空間において、すべての正の整数に対して、${\displaystyle N}$整数が存在する${\displaystyle M_{N}}$そして一定の${\displaystyle C_{N}}$、すべてのテスト関数に対して${\displaystyle \varphi }$不等式は次のようになる。 $${\displaystyle \left|S[\varphi ]\right|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}\left|\varphi ^{(k)}(x)\right|}$$ どこ${\displaystyle \sup }$至高を表す。${\displaystyle \delta }$分布では、次のような不等式が成り立ちます（${\displaystyle C_{N}=1}$と${\displaystyle M_{N}=0}$すべての人々のために${\displaystyle N}$。 したがって、${\displaystyle \delta }$これは次数ゼロの分布である。さらに、これはコンパクトな台を持つ分布であり、その台は${\displaystyle \{0\}}$[ ^{37 ]​}

デルタ分布は、いくつかの同等な方法で定義することもできます。たとえば、ヘヴィサイド階段関数の分布微分です。これは、すべてのテスト関数φに対して、次の式が成り立つ ことを意味します。$${\displaystyle \delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx.}$$

直感的に、部分積分が許されるならば、後者の積分は次のように簡略化されるはずである。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,H'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,\delta (x)\,dx,}$$ そして実際、スティルチェス積分には部分積分が許容されており、その場合、次のようになる。 $${\displaystyle -\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dH(x).}$$

測度論の文脈では、ディラック測度は積分によって分布を生み出す。逆に、式（1）は、コンパクト台を持つすべての連続関数の空間上のダニエル積分を定義する。${\displaystyle \varphi }$これは、リース表現定理により、のルベーグ積分として表すことができる。${\displaystyle \varphi }$あるラドン測定に関して。^{[ 38 ]}

一般的に、ディラックデルタ関数という用語は、測度ではなく分布の意味で用いられます。ディラック測度は、測度論における対応する概念を表すいくつかの用語のうちの一つです。一部の文献では、ディラックデルタ分布という用語が用いられる場合もあります。

デルタ関数は、n次元ユークリッド空間R ⁿにおいて、次のような測度として定義できる。

$${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (d\mathbf {x} )=f(\mathbf {0} )}$$

コンパクト台を持つすべての連続関数fに対して。尺度として、n次元デルタ関数は、各変数における 1 次元デルタ関数の積尺度です。したがって、形式的には、 x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n )の場合、^{[ 39 ]となります。}

デルタ関数は、一次元の場合と同様に、分布の意味で定義することもできます。^{[ 40 ]}しかし、工学分野で広く使用されているにもかかわらず、分布の積は非常に狭い状況でのみ定義できるため、( 2 ) は慎重に扱う必要があります。^{[ 41 ] [ 42 ]}

ディラック測度の概念は任意の集合上で意味を持つ。^{[ 28 ]}したがって、Xが集合、x ₀ ∈ Xがマークされた点、Σ がXの部分集合の任意のシグマ代数である場合、集合A ∈ Σ上で定義される測度は、

$${\displaystyle \delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}x_{0}\in A\\0&{\text{if }}x_{0}\notin A\end{cases}}}$$

デルタは、x ₀に集中した単位質量の測定値です。

デルタ関数のもう一つの一般的な一般化は、微分可能な多様体への適用であり、微分可能な構造のおかげで、分布としての性質のほとんどを利用できます。点x ₀ ∈ Mを中心とする多様体M上のデルタ関数は、次の分布として定義されます。

M上のコンパクト台を持つ滑らかな実数値関数φに対して。^{[ 43 ]}この構成の一般的な特殊ケースは、 Mがユークリッド空間R ⁿの開集合である場合です。

局所的にコンパクトなハウスドルフ空間X上では、点xに集中したディラックのデルタ測度は、コンパクトな台を持つ連続関数φ上のダニエル積分 ( 3 ) に関連付けられたラドン測度である。^{[ 44 ]}このレベルの一般性では、微積分そのものはもはや不可能であるが、抽象解析からのさまざまな手法が利用可能である。たとえば、写像${\displaystyle x_{0}\mapsto \delta _{x_{0}}}$これは、X の曖昧な位相を備えた、X上の有限ラドン測度の空間へのXの連続埋め込みである。さらに、この埋め込みによるXの像の凸包は、X上の確率測度の空間で稠密である。^{[ 45 ]}

デルタ関数は、ゼロでないスカラーに対して次のスケーリング特性を満たす。${\displaystyle \alpha }$: ^{[ 46 ]}$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)f(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)f(u/\alpha )\,{\frac {du}{|\alpha |}}={\frac {f(0)}{|\alpha |}}}$$

など

特に、デルタ関数は、次のような意味で均等分布（対称性）である。

$${\displaystyle \delta (-x)=\delta (x)}$$

これは次数-1の同次関数である。

δとxの分布積はゼロに等しい。

$${\displaystyle x\,\delta (x)=0.}$$

より一般的には、${\displaystyle (x-a)^{n}\delta (x-a)=0}$すべての正の整数に対して${\displaystyle n}$。

逆に、fとgが分布である場合、xf ( x ) = xg ( x )であれば、

$${\displaystyle f(x)=g(x)+c\delta (x)}$$

ある定数cに対して。^{[ 47 ]}

任意の関数に時間遅延ディラックデルタを掛けた積分${\displaystyle \delta _{T}(t){=}\delta (t{-}T)}$は

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,\delta (t-T)\,dt=f(T).}$$

これは、ふるい分け特性^{[ 48 ]}またはサンプリング特性^{[ 49 ]}と呼ばれることもあります。デルタ関数は、 t = Tにおけるf(t)の値を「ふるい分ける」と言われています。^{[ 50 ]}

したがって、関数f ( t )を時間遅延ディラックデルタと畳み込む効果は、 f ( t )を同じ量だけ時間遅延させることである。^{[ 51 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f*\delta _{T})(t)\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (t-T-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (\tau -(t-T))\,d\tau \qquad {\text{since}}~\delta (-x)=\delta (x)~~{\text{by (4)}}\\&=f(t-T).\end{aligned}}}$$

ふるい分け特性は、f が緩増加分布であるという厳密な条件下で成り立つ（下記のフーリエ変換に関する議論を参照）。例えば、特殊な場合として、次の恒等式が成り立つ（分布の意味で）。

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\xi -x)\delta (x-\eta )\,dx=\delta (\eta -\xi ).}$$

より一般的には、デルタ分布は滑らかな関数g ( x )と合成することができ、その場合、おなじみの変数変換式が成り立つ（ここで${\displaystyle u=g(x)}$）、 それ

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\delta {\bigl (}g(x){\bigr )}f{\bigl (}g(x){\bigr )}\left|g'(x)\right|dx=\int _{g(\mathbb {R} )}\delta (u)\,f(u)\,du}$$

ただし、gは連続微分可能な関数であり、g ′はどこにもゼロではないという条件付きである。^{[ 52 ]}つまり、分布に意味を割り当てる方法は一意である。${\displaystyle \delta \circ g}$したがって、この恒等式はコンパクト台を持つすべてのテスト関数fに対して成り立つ。ゆえに、定義域はg ′ = 0 の点を除外するように分割されなければならない。この分布は、 gがどこにもゼロでない場合はδ ( g ( x )) = 0を満たし、そうでなければ、 g がx ₀で実根を持つ場合は、

$${\displaystyle \delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.}$$

したがって、連続微分可能な関数gの合成δ ( g ( x ))を次のように定義するのは自然である。

$${\displaystyle \delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}}$$

ここで、和はg ( x )のすべての根にわたって取られ、それらは単純であると仮定される。したがって、例えば

$${\displaystyle \delta \left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta \left(x+\alpha \right)+\delta \left(x-\alpha \right){\Big ]}.}$$

積分形式では、一般化されたスケーリング特性は次のように記述できます。

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}.}$$

定数の場合${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$そして「性質の良い」任意の実数値関数y ( x )、 $${\displaystyle \displaystyle {\int }y(x)\delta (x-a)dx=y(a)H(x-a)+c,}$$ ここで、H ( x )はヘヴィサイド階段関数であり、cは積分定数である。

n次元空間におけるデルタ分布は、代わりに以下のスケーリング特性を満たす。 $${\displaystyle \delta (\alpha {\boldsymbol {x}})=|\alpha |^{-n}\delta ({\boldsymbol {x}})~,}$$ したがって、δは次数−nの均一分布である。

任意の反射または回転ρの下で、デルタ関数は不変である。 $${\displaystyle \delta (\rho {\boldsymbol {x}})=\delta ({\boldsymbol {x}})~.}$$

1変数の場合と同様に、δと双リプシッツ関数^{[ 53 ]} g : R ⁿ → R ⁿの合成を一意に定義することができ、次の式が成り立つ。 $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta (g({\boldsymbol {x}}))\,f(g({\boldsymbol {x}}))\left|\det g'({\boldsymbol {x}})\right|d{\boldsymbol {x}}=\int _{g(\mathbb {R} ^{n})}\delta ({\boldsymbol {u}})f({\boldsymbol {u}})\,d{\boldsymbol {u}}}$$ コンパクトにサポートされているすべての関数fについて。

幾何学的測度論の共面積公式を用いると、デルタ関数と、あるユークリッド空間から次元の異なる別のユークリッド空間への沈み込みとの合成を定義することもできる。その結果は一種の電流である。連続的に微分可能な関数g : R ⁿ → Rの勾配がどこにもゼロでない特殊な場合、次の恒等式が成り立つ^{[ 54 ]}。 $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f({\boldsymbol {x}})\,\delta (g({\boldsymbol {x}}))\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{g^{-1}(0)}{\frac {f({\boldsymbol {x}})}{|{\boldsymbol {\nabla }}g|}}\,d\sigma ({\boldsymbol {x}})}$$ ここで、右辺の積分は、ミンコフスキー内容測度に関してg ( x ) = 0で定義される( n − 1)次元曲面g ⁻¹ (0)に関するものです。これは単純層積分として知られています。

より一般的に言えば、S がR ⁿの滑らかな超曲面である場合、 S上にコンパクト台を持つ任意の滑らかな関数gを積分する分布をSに関連付けることができます。 $${\displaystyle \delta _{S}[g]=\int _{S}g({\boldsymbol {s}})\,d\sigma ({\boldsymbol {s}})}$$

ここでσはSに関連付けられた超曲面測度です。この一般化は、S上の単純層ポテンシャルのポテンシャル理論に関連しています。Dが滑らかな境界Sを持つR ⁿの領域である場合、δ _{S は}分布の意味でDの指示関数の法線微分に等しくなります。

$${\displaystyle -\int _{\mathbb {R} ^{n}}g({\boldsymbol {x}})\,{\frac {\partial 1_{D}({\boldsymbol {x}})}{\partial n}}\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{S}\,g({\boldsymbol {s}})\,d\sigma ({\boldsymbol {s}}),}$$

ここでnは外向き法線である。^{[ 55 ] [ 56 ]}

3次元では、デルタ関数は${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})=(\sin \theta _{0}\cos \phi _{0},\sin \theta _{0}\sin \phi _{0},\cos \theta _{0})r_{0}}$球面座標では次のように表されます。

$${\displaystyle \delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0})={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0})\delta (\phi -\phi _{0}),&x_{0}^{2}+y_{0}^{2}>0;\\\displaystyle {\frac {1}{2\pi r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0}),&x_{0}=y_{0}=0,\ z_{0}=\pm r_{0}\neq 0;\\\displaystyle {\frac {1}{4\pi r^{2}}}\delta (r-r_{0}),&x_{0}=y_{0}=z_{0}=r_{0}=0.\end{cases}}}$$

より一般的には、n次元ユークリッド空間の開集合U上で${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$点a ∈ Uを中心とするディラックのデルタ分布は^{[ 61 ]}で定義される。$${\displaystyle \delta _{a}[\varphi ]=\varphi (a)}$$ すべての人々のために${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)}$U上のコンパクトな台を持つすべての滑らかな関数の空間。${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$は、​${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$そして${\displaystyle \partial ^{\alpha }}$は関連する混合偏微分演算子を表し、δ _aのα次微分∂ ^α δ _aは^{[ 61 ]}で与えられる。

$${\displaystyle \left\langle \partial ^{\alpha }\delta _{a},\,\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle \delta _{a},\partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }\varphi (x){\Big |}_{x=a}\quad {\text{ for all }}\varphi \in C_{c}^{\infty }(U).}$$

つまり、δ _aのα階微分とは、任意のテスト関数φ上での値が、 aにおけるφのα階微分（適切な正または負の符号付き）となる分布のことである。

デルタ関数の一次偏微分は、座標平面に沿った二重層として考えられます。より一般的には、表面上に支持された単純な層の法線微分は、その表面上に支持された二重層であり、層状磁気単極子を表します。デルタ関数の高次微分は、物理学では多重極子として知られています。^{[ 62 ]}

高階微分は、点サポートを持つ分布の完全な構造の構成要素として、数学に自然に登場します。S が、単一の点からなる集合 { a } 上にサポートされる U 上の任意の分布である場合、整数mと係数c αが存在し、 [ 61 _] ^{[ 63 ]となります}。$${\displaystyle S=\sum _{|\alpha |\leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }\delta _{a}.}$$

近似デルタ関数η _εは次のように構成できます。ηを全積分1のR上の絶対積分可能な関数とし、次のように定義します 。$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}$$

n次元では、代わりにスケーリングを使用する $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-n}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}$$

すると、簡単な変数変換により、η _εも積分1 を持つことがわかります。 ( 5 ) はすべての連続コンパクト台関数fに対して成り立つことが示され、^{[ 64 ]}したがって、η _{ε は}測度の意味でδに弱収束します。

このようにして構築された η ε は、恒等式の近似として知られています。[ ₆₅ ]この^用語は、絶対積分可能な関数の空間L ¹ ( R )が関数の畳み込み演算に関して閉じているためです。つまり、 fとgがL ¹ ( R )に含まれるときはいつでもf ∗ g ∈ L ¹ ( R )です。しかし、畳み込み積に対してL ¹ ( R )には恒等式はありません。つまり、すべてのfに対してf ∗ h = fとなるような要素hは存在しません。それにもかかわらず、数列η _εは、次のような意味でそのような恒等式を近似します。

$${\displaystyle f*\eta _{\varepsilon }\to f\quad {\text{as }}\varepsilon \to 0.}$$

この極限は平均収束（L ¹での収束）の意味で成り立つ。η εに関するさらなる条件、例えばそれがコンパクト台関数に関連付けられたモルファイアであること^{[ 66 ]}_は、ほぼ至る所で点ごとの収束を保証するために必要である。

初期値η = η ₁が滑らかでコンパクトな台を持つ場合、その数列はモルファイアと呼ばれます。標準的なモルファイアは、 ηを適切に正規化したバンプ関数として選択することによって得られます。例えば、

$${\displaystyle \eta (x)={\begin{cases}{\frac {1}{I_{n}}}\exp {\Big (}-{\frac {1}{1-|x|^{2}}}{\Big )}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1.\end{cases}}}$$ （${\displaystyle I_{n}}$合計積分が1になるようにする。

数値解析などの状況では、恒等式の区分的線形近似が望ましい。これは、η ₁をハット関数とすることで得られる。このη ₁の選択により、次の式が得られる。

$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\max \left(1-\left|{\frac {x}{\varepsilon }}\right|,0\right)}$$

これらはすべて連続的でコンパクトに支持されているが、滑らかではないため、軟化剤ではない。

確率論の文脈では、恒等関数の近似における初期値 η ₁が正であるという追加条件を課すのが自然です。なぜなら、そのような関数は確率分布を表すからです。確率分布との畳み込みは、出力が入力値の凸結合であり、入力関数の最大値と最小値の間に収まるため、オーバーシュートやアンダーシュートが発生しないことから、場合によっては好ましいです。η ₁を任意の確率分布とし、上記のようにη _ε ( x ) = η ₁ ( x / ε )/ εとすると、恒等関数の近似が得られます。一般に、 η の平均が0であり、高次モーメントが小さい場合、これはデルタ関数に急速に収束します。たとえば、η ₁が一様分布である場合、${\textstyle \left[-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right]}$矩形関数とも呼ばれる場合、次のようになります。^{[ 67 ]}$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{\varepsilon }},&-{\frac {\varepsilon }{2}}<x<{\frac {\varepsilon }{2}},\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

別の例としては、ウィグナー半円分布が挙げられる。$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {2}{\pi \varepsilon ^{2}}}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-x^{2}}},&-\varepsilon <x<\varepsilon ,\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

これは連続的でしっかりと支持されているが、滑らかではないため、軟化剤ではない。

デルタ関数の近似は、畳み込み半群として現れることが多い_{。[68] これは、ηεとηδ}の畳み込み^{が満たさなけれ}ばならないというさらなる制約に相当する _。$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }*\eta _{\delta }=\eta _{\varepsilon +\delta }}$$

すべてのε、δ > 0に対して。デルタ関数を近似するL ¹の畳み込み半群は、常に上記の意味で恒等関数の近似ですが、半群条件はかなり強い制約です。

実際には、デルタ関数を近似する半群は、物理的に動機づけられた楕円型または放物型偏微分方程式の基本解またはグリーン関数として現れる。応用数学の文脈では、半群は線形時不変システムの出力として現れる。抽象的に言えば、Aがxの関数に作用する線形演算子である場合、畳み込み半群は初期値問題を解くことによって生じる。

$${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\eta (t,x)=A\eta (t,x),\quad t>0\\[5pt]\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\eta (t,x)=\delta (x)\end{cases}}}$$

ここで、極限は通常通り弱い意味で理解される。η ε ( x ) = η ( ε , x )と設定すると_、対応する近似デルタ関数が得られる。

このような基本解から生じる物理的に重要な畳み込み半群の例としては、以下のようなものがある。

熱核

熱核は^{[ 69 ]}で定義される。$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \varepsilon }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\varepsilon }}}}$$は、時刻t > 0 における無限導線内の温度を表します。ただし、時刻t = 0において導線の始点に単位熱エネルギーが蓄えられているものとします。この半群は、一次元熱方程式に従って変化します。 $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$$

確率論において、ηε ( x )は分散ε、平均0の正規分布です。これは、標準ブラウン運動に従って原点から出発する粒子の位置の時刻t=εにおける確率密度を表します_。この文脈では、半群条件はブラウン運動のマルコフ性を表すものとなります。

高次元ユークリッド空間R ⁿでは、熱核は $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }={\frac {1}{(2\pi \varepsilon )^{n/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x\cdot x}{2\varepsilon }}},}$$そして、多少の違いは あるものの、同じ物理的解釈を持つ。また、 ε → 0のとき分布の意味でη _ε → δとなるという意味で、デルタ関数の近似値も表している。

波動伝播や波動力学といった物理学の分野では、関連する方程式は双曲型であり、特異解が多く存在する可能性がある。その結果、関連するコーシー問題の基本解として現れる近似デルタ関数は、一般に振動積分となる。例えば、遷音速気体力学のオイラー・トリコミ方程式の解^{[ 72 ]}から得られる、スケール変換されたエアリー関数が挙げられる。$${\displaystyle \varepsilon ^{-1/3}\operatorname {Ai} \left(x\varepsilon ^{-1/3}\right).}$$

フーリエ変換を用いるものの、ある意味では半群を生成することは容易にわかる。ただし、これは絶対積分可能ではないため、上記の強い意味での半群を定義することはできない。振動積分として構成される多くの近似デルタ関数は、測度の意味ではなく、分布の意味においてのみ収束する（下記のディリクレ核はその一例である）。

別の例としては、 R ¹⁺¹の波動方程式のコーシー問題があります。^{[ 73 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{-2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u&=0\\u=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}=\delta &\qquad {\text{for }}t=0.\end{aligned}}}$$

解uは、原点に初期擾乱が加わった無限弾性弦の平衡位置からの変位を表す。

この種の恒等式の近似としては、sinc関数（電子工学や電気通信分野で広く用いられている） などが挙げられる。$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{\frac {1}{\varepsilon }}\cos(kx)\,dk}$$

ベッセル関数$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}J_{\frac {1}{\varepsilon }}\left({\frac {x+1}{\varepsilon }}\right).}$$

線形偏微分方程式の研究へのアプローチの一つ $${\displaystyle L[u]=f,}$$

ここで、LはR ⁿ上の微分作用素であり、まず基本解を求めることは、方程式の解である。 $${\displaystyle L[u]=\delta .}$$

Lが特に単純な場合、この問題はフーリエ変換を直接使用することで解決できることが多い（既に述べたポアソンカーネルや熱カーネルの場合のように）。より複雑な演算子の場合、まず次の形式の方程式を考える方が簡単な場合がある。 $${\displaystyle L[u]=h}$$

ここでhは平面波関数であり、その形式は次のようになる。 $${\displaystyle h=h(x\cdot \xi )}$$

あるベクトルξに対して、このような方程式は、（ Lの係数が解析関数である場合）コーシー・コワレフスカヤの定理によって、または（ Lの係数が定数である場合）求積法によって解くことができる。したがって、デルタ関数が平面波に分解できる場合、原理的には線形偏微分方程式を解くことができる。

デルタ関数を平面波に分解するこの方法は、ヨハン・ラドンによって最初に導入され、その後フリッツ・ジョン（1955）によってこの形で発展した一般的な手法の一部であった。^{[ 74 ]} n + kが偶数になるようにkを選び、実数sに対して、 $${\displaystyle g(s)=\operatorname {Re} \left[{\frac {-s^{k}\log(-is)}{k!(2\pi i)^{n}}}\right]={\begin{cases}{\frac {|s|^{k}}{4k!(2\pi i)^{n-1}}}&n{\text{ odd}}\\[5pt]-{\frac {|s|^{k}\log |s|}{k!(2\pi i)^{n}}}&n{\text{ even.}}\end{cases}}}$$

次に、単位球面S ^{n −1}内のξに対するg ( x · ξ )の単位球面測度dωに関する積分にラプラシアンのべき乗を適用することによりδが得られます。 $${\displaystyle \delta (x)=\Delta _{x}^{(n+k)/2}\int _{S^{n-1}}g(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}$$

ここでのラプラシアンは弱微分として解釈されるため、この式は任意のテスト関数φに対して、 $${\displaystyle \varphi (x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\varphi (y)\,dy\,\Delta _{x}^{\frac {n+k}{2}}\int _{S^{n-1}}g((x-y)\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}$$

この結果は、ニュートンポテンシャル（ポアソン方程式の基本解）の公式から導かれる。これは本質的にラドン変換の逆公式の一種であり、超平面上の積分からφ ( x )の値を復元する。 ^{[ 75 ]}例えば、nが奇数でk =1の場合、右辺の積分は次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\iint _{S^{n-1}}\varphi (y)|(y-x)\cdot \xi |\,d\omega _{\xi }\,dy\\[5pt]&\qquad =c_{n}\Delta _{x}^{(n+1)/2}\int _{S^{n-1}}\,d\omega _{\xi }\int _{-\infty }^{\infty }|p|R\varphi (\xi ,p+x\cdot \xi )\,dp\end{aligned}}}$$

ここで、 Rφ ( ξ , p )はφのラドン変換である。 $${\displaystyle R\varphi (\xi ,p)=\int _{x\cdot \xi =p}f(x)\,d^{n-1}x.}$$

平面波分解の別の等価表現は次のとおりです。^{[ 76 ]}$${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}{\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}(x\cdot \xi )^{-n}\,d\omega _{\xi }&n{\text{ even}}\\{\frac {1}{2(2\pi i)^{n-1}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}\delta ^{(n-1)}(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }&n{\text{ odd}}.\end{cases}}}$$

デルタ関数は緩増加分布であり、したがって明確に定義されたフーリエ変換を持つ。形式的には、 ^{[ 77 ]}が成り立つ。

$${\displaystyle {\widehat {\delta }}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ix\xi }\,\delta (x)dx=1.}$$

厳密に言えば、分布のフーリエ変換は、双対ペアリングの下で​​のフーリエ変換の自己共役性を課すことによって定義される。${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$シュワルツ関数を持つ緩増加分布の。したがって${\displaystyle {\widehat {\delta }}}$は、以下の条件を満たす一意の緩和分布として定義される。

$${\displaystyle \langle {\widehat {\delta }},\varphi \rangle =\langle \delta ,{\widehat {\varphi }}\rangle }$$

すべてのシュワルツ関数φについて。そして実際、これから次のことが導かれる。${\displaystyle {\widehat {\delta }}=1.}$

この恒等式の結果として、デルタ関数と他の任意の緩増加分布Sとの畳み込みは単純にSになります。

$${\displaystyle S*\delta =S.}$$

つまり、δは緩増加分布の畳み込みにおける単位元であり、実際、畳み込みによるコンパクト台分布の空間は、単位元がデルタ関数である結合代数です。この性質は信号処理において基本的であり、緩増加分布との畳み込みは線形時不変システムであり、線形時不変システムを適用することでそのインパルス応答が測定されます。インパルス応答は、 δの適切な近似を選択することで任意の精度で計算でき、一度 δ が分かれば、システムを完全に特徴付けることができます。LTIシステム理論の § インパルス応答と畳み込みを参照してください。

緩徐分布f ( ξ ) = 1の逆フーリエ変換はデルタ関数である。形式的には、これは次のように表される。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =\delta (x)}$$ さらに厳密に言えば、 $${\displaystyle \langle 1,{\widehat {f}}\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle }$$ すべてのシュワルツ関数fについて。

このように、デルタ関数は、R上のフーリエカーネルの直交性に関する示唆に富む記述を提供する。形式的には、次のようになる。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left[e^{i2\pi \xi _{2}t}\right]^{*}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi (\xi _{1}-\xi _{2})t}\,dt=\delta (\xi _{1}-\xi _{2}).}$$

これはもちろん、緩徐分布のフーリエ変換が $${\displaystyle f(t)=e^{i2\pi \xi _{1}t}}$$ は $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi _{2})=\delta (\xi _{1}-\xi _{2})}$$ これは、フーリエ変換の自己共役性を課すことによって再び導かれる。

フーリエ変換の解析接続により、デルタ関数のラプラス変換は次のようになることがわかった^{[ 78 ]}$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\delta (t-a)\,e^{-st}\,dt=e^{-sa}.}$$

ディラックのデルタ分布は、二乗可積分関数のヒルベルト空間L ²上で稠密に定義された非有界線形汎関数です。^{[ 81 ]}実際、滑らかなコンパクト台を持つ関数はL ²で稠密であり、そのような関数に対するデルタ分布の作用は明確に定義されます。多くの応用において、 L ²の部分空間を特定し、デルタ関数が有界線形汎関数を定義するより強い位相を与えることが可能です。