量子力学の歴史

1670年に始まり30年以上にわたって、アイザック・ニュートンは粒子説を発展させ、擁護した。彼は、当時波動説では直進を証明できなかったため、完全にまっすぐな反射線が光の粒子性を証明すると主張した。^{[ 1 ]： 19}彼は、光の粒子がより密度の高い媒質に入ると横方向に加速すると仮定することで屈折を説明した。

ほぼ同時期に、ニュートンの同時代人であるロバート・フックとクリスティアーン・ホイヘンス、そして後にオーギュスタン＝ジャン・フレネルは、波動の観点を数学的に洗練させ、光が異なる媒質中で異なる速度で伝わるならば、屈折は光波の媒質依存的な伝搬として容易に説明できることを示した。結果として得られたホイヘンス＝フレネルの原理は、光の挙動を再現するのに非常に成功し、1801年にトーマス・ヤングが二重スリット実験で発見した光の波動干渉と一致していた。 ^{[ 5 ]}波動の観点は、すぐに光線と粒子の観点に取って代わったわけではないが、19世紀半ばには、他の観点では説明できない偏光現象を説明できたため、光に関する科学的思考を支配するようになった。^{[ 6 ]}

ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、以前に発見した方程式を少し修正して、振動する電場と磁場の自己伝播波を記述できることを発見しました。可視光、紫外線、赤外線はすべて周波数の異なる電磁波であることがすぐに明らかになりました。^{[ 1 ]： 272}この理論は量子力学の始まりにおいて重要な要素となりました。

19世紀初頭、ジョン・ドルトンとアメデオ・アボガドロによる化学研究は、物質の原子論に説得力を持たせ、ジェームズ・クラーク・マクスウェル、ルートヴィヒ・ボルツマンらがそれを発展させて気体分子運動論を確立した。気体分子運動論の成功は、物質が原子から構成されているという考えにさらなる信憑性を与えたが、この理論には量子力学の発展によってのみ解決される欠点もあった。^{[ 7 ]}原子の存在は物理学者や化学者の間で普遍的に受け入れられていたわけではなく、例えばエルンスト・マッハは熱心な反原子論者であった。 ^{[ 8 ]}

古典力学における問題の初期の兆候は、気体の性質の温度依存性に関連して提起された。^{[ 9 ]}ルートヴィヒ・ボルツマンは1877年に、分子などの物理システムのエネルギー準位は（連続的ではなく）離散的である可能性があると示唆した。ヨウ素ガスなどの分子に離散的なエネルギー準位が存在するというボルツマンの論理は、彼の統計熱力学と統計力学の理論に由来し、数学的な議論によって裏付けられていた。これは、20年後にマックス・プランクによって提唱された最初の量子論の場合にも当てはまる。

1800 年代末、JJ トムソンは、電子が水素イオンと同じだが反対の負の電荷を持ち、質量は 1000 分の 1 以下であることを確立した。このような電子は、すべての原子に多数関連していることが知られていた。 ^{[ 1 ] : 365} 1904 年までに、トムソンは、正の電荷の背景の中で循環する電子を使用した、いわゆるプラムプディングモデルを使用して、亜原子構成要素を持つ最初の原子モデルを提案した。^{[ 10 ]} トムソンの概念は、初期のベータ粒子散乱実験によって裏付けられていたが、1911 年までに、ハンス ガイガーとその学生アーネスト マースデンは、アルファ粒子の後方散乱を実証し、アーネスト ラザフォードは、正の電荷が現在原子核と呼ばれる小さな体積に集中しているという説得力のある証拠として解釈した。^{[ 11 ]}

1800年代を通して、多くの研究が炎、太陽、または赤熱した物体から放出される光の強度対周波数のスペクトルの詳細を調査した。 ^{[ 1 ]： 367}リュードベリの公式はスペクトルに見られる暗線を効果的に要約したが、リュードベリはそれらを説明する物理モデルを提供しなかった。赤熱した物体から放出されるスペクトルは、高波長または低波長で説明できたが、2つの理論は異なっていた。

熱放射とは、物体の内部エネルギーによって物体の表面から放出される電磁放射のことです。物体が十分に加熱されると、赤熱状態となり、可視光スペクトルの赤色側の光を放出し始めます。さらに加熱すると、放出される光の波長が次第に短く（周波数が高く）なるため、色は赤から黄色、白、青へと変化していきます。

完全な放射体は完全な吸収体でもあります。低温の状態で、そのような物体は入射する光をすべて吸収し、何も放出しないため、完全に黒く見えます。したがって、理想的な熱放射体は黒体と呼ばれ、そこから放出される放射は黒体放射と呼ばれます。

19世紀後半までに、熱放射は実験的にかなりよく特徴づけられるようになった。熱放射の特定の実験測定値を記述するいくつかの公式が開発された。ウィーンの変位則は、温度と放射が最も強い波長との関係を示し、ステファン・ボルツマンの法則は単位面積あたりに放出される総パワーを記述する。実験結果を最もよく理論的に説明したのはレイリー・ジーンズの法則であり、図に示すように、長波長（または同等に低周波数）では実験結果とよく一致するが、短波長（または高周波数）では大きく異なる。実際、短波長では、古典物理学は高温物体から無限の速度でエネルギーが放出されると予測していた。明らかに間違っているこの結果は、紫外線破局として知られている。物理学者たちは、すべての実験結果を説明できる単一の理論を探し求めた。

熱放射の全スペクトルを説明できる最初のモデルは、1900年にマックス・プランクによって提唱されました。^{[ 12 ]}彼は、熱放射が調和振動子の集合と平衡状態にあるという数学モデルを提案しました。実験結果を再現するために、彼は各振動子が任意の量のエネルギーを放出できるのではなく、その単一の固有周波数で整数単位のエネルギーを放出すると仮定する必要がありました。言い換えれば、振動子によって放出されるエネルギーは量子化されているということです。プランクによれば、光量子のエネルギー量子Eは、その周波数νに比例します。式で表すと次のようになります。 $${\displaystyle E=h\nu .}$$ これは現在ではプランクの関係式として知られており、比例定数hはプランク定数と呼ばれています。

プランクの法則は物理学における最初の量子論であり、プランクは「エネルギー量子の発見によって物理学の発展に貢献した功績」により1918年のノーベル物理学賞を受賞した。 ^{[ 13 ]}しかし当時、プランクの見解では、量子化は（現在考えられているように）世界に対する我々の理解の根本的な変化ではなく、純粋にヒューリスティックな数学的構成物であった。 ^{[ 14 ]}

1887年、ハインリヒ・ヘルツは、十分な周波数の光が金属表面に当たると、表面から陰極線が放出されることを観察した。^{[ 1 ] : I:362} 10年後、JJトムソンは、陰極線に関する多くの報告は実際には「微粒子」であり、それらはすぐに電子と呼ばれるようになったことを示した。1902年、フィリップ・レナードは、放出される電子の最大エネルギーは単色光の強度とは無関係であることを発見した。 ^{[ 15 ]}この観察結果は、電子のエネルギーは入射光の強度に比例すると予測する古典電磁気学と矛盾する。^{[ 16 ] : 24}

1905年、アルバート・アインシュタインは、光の連続モデルは時間平均された光学的現象には非常にうまく機能するものの、瞬間的な遷移においては、光のエネルギーは有限個のエネルギー量子に分解される可能性があると提唱した。

アインシュタインは、1905年3月に発表した論文「光の放出と変換に関する発見的観点について」の序論で、次のように述べている。

ここで検討する仮定によれば、光線が一点から広がるとき、エネルギーは無限に広がる空間に連続的に分布するのではなく、空間内の点に局在し、分割せずに移動し、全体としてのみ吸収または生成される有限個の「エネルギー量子」から構成される。^{[ 17 ]}

これは20世紀の物理学者が書いた最も「革命的な」文章と呼ばれており、主流の考え方を変えるようなアイデアを提示したことを意味する。^{[ 18 ]： 143} 周波数の単一光量子のエネルギー${\displaystyle f}$周波数にプランク定数を掛けたもので与えられる。${\displaystyle h}$:

${\displaystyle E=hf}$

アインシュタインは、光量子がそのエネルギーをすべて単一の電子に伝達し、電子に与えるエネルギーは最大でhfであると仮定した。したがって、電子に与えることができる最大エネルギーは光の周波数によってのみ決定され、光放出の強度は光ビームの強度に比例する。^{[ 17 ]}

アインシュタインは、金属から電子を取り除くには、仕事関数と呼ばれる一定量のエネルギー（φで表される）が必要だと主張した。 ^{[ 19 ]}このエネルギー量は金属ごとに異なる。光量子のエネルギーが仕事関数より小さい場合、金属から電子を取り除くのに十分なエネルギーを持たない。閾値周波数f ₀は、エネルギーが仕事関数に等しい光量子の周波数である。

${\displaystyle \varphi =hf_{0}.}$

fがf₀より大きい場合、エネルギーhf_は電子を放出するのに十分である。放出された電子の運動エネルギーEk_は、最大で光エネルギーから電子を金属から引き剥がすのに必要なエネルギーを引いた値に等しい。

${\displaystyle E_{\text{k}}=hf-\varphi =h(f-f_{0}).}$

アインシュタインは、光がエネルギー量子から構成されていると説明し、プランクの量子化エネルギーの概念を拡張しました。プランクの概念では、特定の周波数fの単一の量子は、不変量のエネルギーhfを放出します。アインシュタインは、「理論物理学への貢献、特に光電効果の法則の発見」により、1921 年のノーベル物理学賞を受賞しました。^{[ 20 ]}

自然界では、単一の量子はめったに見られません。太陽や19世紀に利用可能だった放射源は、毎秒膨大な量のエネルギーを放出しています。プランク定数hは非常に小さいため、各量子に含まれるエネルギー量hfは非常に小さいです。私たちが見る光には、そのような量子が何兆個も含まれています。アーサー・コンプトンによる電子散乱による光の散乱の実証は、物理学者に光子の存在を確信させました。^{[ 21 ]}コンプトンは、その発見により1927年のノーベル物理学賞を受賞しました。^{[ 22 ]} 「光子」という用語は、 1926年にギルバート・N・ルイスによって導入されました。^{[ 23 ]}

1911年にアーネスト・ラザフォードが原子核を発見したが、すぐに原子モデルが改訂されることはなかった。電子が循環する力学モデルは何年も前から提案されていたが、不安定であることが知られていた。^{[ 11 ]}

2つ目の関連する謎は、原子の発光スペクトルでした。気体を加熱すると、離散的な周波数でのみ光を発します。例えば、水素から放出される可視光は、下の図に示すように4つの異なる色から構成されています。異なる周波数における光の強度も異なります。対照的に、白色光は可視光の全周波数範囲にわたって連続的に放出されます。19世紀末までに、バルマーの式として知られる単純な法則によって、異なるスペクトル線の周波数が互いにどのように関連しているかが示されましたが、その理由や強度に関する予測は示されていませんでした。この式はまた、当時観測されていなかった紫外線と赤外線のいくつかの追加のスペクトル線も予測しました。これらの線は後に実験的に観測され、この式の妥当性に対する信頼が高まりました。

水素の発光スペクトル。水素ガスは励起されると、可視光スペクトル内の4つの異なる色（スペクトル線）の光を発するほか、赤外線および紫外線領域にも多数の線を発する。

1913年、HMハンセンはニールス・ボーアにバルマーの公式について尋ねた。ボーアは「バルマーの公式を見た途端、すべてがすぐに理解できた」と回想している。^{[ 25 ]}ボーアは「原子と分子の構成について」の中で、量子化された電子軌道を含む原子の新しいモデルを提案した。ボーアモデルでは、水素原子は、軽くて負に帯電した電子が周回する重くて正に帯電した原子核として描かれている。電子は、角運動量でラベル付けされた特定の離散的に分離された軌道にのみ存在でき、角運動量は換算プランク定数の整数倍に制限されている。^{[ 26 ]}電子は、対応する周波数の光子を吸収または放出することによって、より高い軌道またはより低い軌道に移動する。

これらの軌道は、角運動量の値が固定または量子化されており、これはジョン・ウィリアム・ニコルソンが原子核モデルで提唱し、ボーアが自身のモデルで採用した概念である。^{[ 27 ] : 169}原子がエネルギーを放出（または吸収）すると、電子は古典的に予想されるように、原子核の周りの1つの軌道から別の軌道へと連続的な軌道で移動するのではなく、ある軌道から別の軌道へと瞬時にジャンプし、放出された光を光子の形で放出する。^{[ 28 ]}各元素から放出される光子の可能なエネルギーは、軌道間のエネルギーの差によって決定され、したがって各元素の放出スペクトルには多数の線が含まれる。^{[ 29 ]}

このモデルの重要な成功は、電子の軌道間の遷移を利用して原子水素のスペクトル発光線のリュードベリ公式を説明した点にある。 ^{[ 30 ]： 276}リュードベリ公式は実験的に知られていたが、ボーアモデルが導入されるまで理論的な根拠は得られなかった。ボーアモデルはリュードベリ公式の構造の理由を説明しただけでなく、公式の経験的結果を構成する基本的な物理定数の正当性も提供した。

ボーアモデルは、軌道が従わなければならない規則に関するたった一つの単純な仮定から出発し、水素の発光スペクトルで観測されるスペクトル線を既知の定数と関連付けることができた。ボーアモデルでは、電子は連続的にエネルギーを放出して原子核に衝突することは許されず、許容される最も近い軌道に入ると、永久に安定すると考えられていた。ボーアモデルは、なぜ軌道がこのように量子化されるべきなのかを説明できず、複数の電子を持つ原子について正確な予測を行うことも、一部のスペクトル線が他のスペクトル線よりも明るい理由を説明することもできなかった。

ボーアモデルのいくつかの基本的な仮定はすぐに誤りであることが証明されましたが、発光スペクトルの離散的な線は原子内の電子の量子化という性質に起因するという重要な結論は正しいです。電子の実際の振る舞いは、ボーアの原子モデルや、私たちが日常生活で経験する世界とは著しく異なります。この現代の量子力学的原子モデルについては、以下で説明します。

さらに、プランクの量子論を電子に適用することで、 1911年から1913年にかけてシュテファン・プロコピウが、そしてその後1913年にニールス・ボーアが、電子の磁気モーメント（後に「マグネトン」と呼ばれる）を計算することができた。同様の量子計算は、その後、陽子と中性子の磁気モーメントについても可能になったが、数値的にはかなり異なる値となり、その値は電子の磁気モーメントよりも3桁小さい。

これらの理論は成功したものの、厳密には現象論的なものであった。この時期には、おそらくアンリ・ポアンカレが1912年の論文「量子論について」でプランクの理論について論じたことを除けば、量子化の厳密な正当化はなかった。^{[ 31 ] [ 32 ]}これらはまとめて旧量子論として知られている。ボーアは「原子の構造とそこから放出される放射線の研究における功績」により、1922年のノーベル物理学賞を受賞した。^{[ 33 ]}

電子の軌道角運動量の量子化と電子の磁気モーメントの組み合わせは、磁気モーメントを持つ原子は磁場中で量子化された挙動を示すはずであることを示唆した。1922年、オットー・シュテルンとヴァルター・ゲルラッハはこの理論を検証しようとした。彼らは一連の狭いスリットが整列した真空管内で銀を加熱し、銀原子の分子ビームを生成した。彼らはこのビームを不均一な磁場に通した。銀原子の連続したパターンではなく、2つの束を発見した。^{[ 34 ]}

古典力学では、磁石は北極を基準として、上向き、下向き、あるいはその中間を向いている場合、磁場に投げ込まれると、上向きまたは下向きにわずかな距離または大きな距離だけ偏向する可能性がある。シュテルンとゲルラッハが磁場に打ち込んだ原子も同様の挙動を示した。しかし、磁石は様々な距離だけ偏向するのに対し、原子は常に一定の距離だけ上向きまたは下向きに偏向した。これは、磁石の向きに対応する原子の性質が量子化され、任意の角度から自由に選択できるのではなく、2つの値（上向きまたは下向き）のいずれかを取る必要があることを意味していた。

シュテルン＝ゲルラッハ実験で使用される磁場の向きは任意である。ここに示したアニメーションでは、磁場は垂直方向であるため、原子は上向きまたは下向きに偏向する。磁石を4分の1回転させると、原子は左向きまたは右向きに偏向する。垂直磁場を使用すると、垂直軸に沿ったスピンが量子化されることが示され、水平磁場を使用すると、水平軸に沿ったスピンが量子化されることが示される。

シュテルン＝ゲルラッハ実験の結果はセンセーションを巻き起こした。特に、アインシュタインやポール・エーレンフェストといった一流の科学者たちが、実験条件下では銀原子はランダムな向きになるはずであり、量子化は観測されないはずだと主張したためである。^{[ 34 ]}この謎が解明されるまでには少なくとも5年を要した。量子化は観測されたが、それは軌道角運動量によるものではなかった。ヴォルフガング・パウリの排他原理によれば、2つの電子だけが同時に同じ量子状態を占めることができ、それらのスピンは反対でなければならない。パウリは「排他原理、すなわちパウリの原理という新しい自然法則の発見による決定的な貢献」により、1945年のノーベル物理学賞を受賞した。^{[ 35 ]}

1925年、ラルフ・クローニッヒは、電子が軸を中心に自転、つまり「スピン」しているかのように振る舞うと提唱した。^{[ 36 ] : 56}スピンは、スペクトル線の原因となるエネルギー準位を分裂させる微小な磁気モーメントを生成し、既存の測定結果と一致する。同じ軌道にある2つの電子が反対方向に「スピン」すると、異なる量子状態を占めることになり、排他原理が満たされる。残念ながら、この理論には2つの重大な欠陥があった。クローニッヒが計算した2つの値が2倍ずれていた。クローニッヒの先輩たちは彼の研究を思いとどまらせ、この研究は出版されることはなかった。

10か月後、ライデン大学のオランダ人物理学者ジョージ・ウーレンベックとサミュエル・グーズミットは、電子の自己回転の理論を発表した。^{[ 37 ]}このモデルは、クロニッヒのモデルと同様に本質的には古典的であったが、量子的な予測をもたらした。

1924年、ルイ・ド・ブロイは画期的な仮説を発表した。物質は波動性を持つというものだ。光電効果は量子化されたエネルギー伝達を用いて記述できるというアインシュタインの提案と、特殊相対性理論における静止質量はエネルギーに等しいというアインシュタインの別の提案に基づいて、${\displaystyle E=m_{0}c^{2}}$ド・ブロイは、運動する物質には波長を持つ波が伴うように見えると提唱した。${\displaystyle \lambda =h/p}$どこ${\displaystyle p}$物質の運動量は運動から生じる。^{[ 38 ] [ 39 ]} 波長が原子を一周することを要求することで、ボーア軌道の量子化を説明した。^{[ 1 ] : 217}同時に、これは光の波動性が本質的に量子効果であることを示した。^{[ 1 ] : 216}

ド・ブロイは、原子核の周りを軌道運動する電子が波動性を持つと考えることができることを示すことで、ボーアの原子モデルを拡張しました。特に、電子は原子核の周りに定常波を許容する状況でのみ観測されます。定常波の例としては、両端が固定され振動させることができるバイオリンの弦があります。弦楽器によって発生する波は、その場で振動しているように見え、上下運動で山から谷へと移動します。定常波の波長は、振動する物体の長さと境界条件に関係しています。たとえば、バイオリンの弦は両端が固定されているため、波長の定常波を伝達することができます。${\textstyle {\frac {2l}{n}}}$ここで、lは長さ、nは正の整数である。

ド・ブロイは、許容される電子軌道は、軌道の円周が波長の整数倍になる軌道であると提唱した。したがって、電子の波長によって、原子核から特定の距離にあるボーア軌道のみが可能となる。逆に、原子核からある値よりも小さい距離では、軌道を確立することは不可能である。原子核からの最小可能距離はボーア半径と呼ばれる。^{[ 40 ]}ド・ブロイのボーア原子の扱いは最終的には成功しなかったが、彼の仮説はシュレーディンガーの波動方程式の出発点となった。

物質が波のように振る舞うことは、最初に実験的に実証されました。電子ビームは、光線や水面の波のように回折を示すことができます。ド・ブロイが仮説を発表してから3年後、2つの異なるグループが電子回折を実証しました。アバディーン大学では、ジョージ・パジェット・トムソンとアレクサンダー・リードが電子ビームを薄いセルロイドフィルム、その後金属フィルムに通し、予測された干渉パターンを観察しました。（トムソンの大学院生であったアレクサンダー・リードは最初の実験を行いましたが、その後すぐにオートバイ事故で亡くなり^{[ 41 ]}、ほとんど言及されていません。）ベル研究所では、クリントン・ジョセフ・デイヴィソンとレスター・ハルバート・ゲルマーが実験でニッケルサンプルから電子ビームを反射し、結晶から戻ってくる波動モデルによって予測された明確なビームを観察しました。^{[ 1 ] : II:218}ド・ブロイは、その仮説により1929年にノーベル物理学賞を受賞しました。^{[ 42 ]}トムソンとデイヴィソンは、実験研究により1937年にノーベル物理学賞を共同受賞した。^{[ 43 ]}

1925年、ヴェルナー・ハイゼンベルクは、ボーアモデルが未解決のまま残した問題の一つ、水素の発光スペクトルにおける様々な線の強度を説明する問題に取り組んだ。彼は一連の数学的類推を通して、強度の古典的な計算に対する量子力学的類推を書き出した。^{[ 49 ]}その後まもなく、ハイゼンベルクの同僚マックス・ボルンは、ハイゼンベルクの異なるエネルギー準位間の遷移確率を計算する方法は、行列という数学的概念を用いることで最もよく表現できることに気づいた。

ハイゼンベルクは1927年に不確定性原理の初期バージョンを定式化し、電子の位置と運動量を同時に測定しようとする思考実験を分析した。しかし、ハイゼンベルクはこれらの測定における「不確定性」が何を意味するのかを数学的に正確に定義しなかった。このステップは、アール・ヘッセ・ケナード、ヴォルフガング・パウリ、ヘルマン・ワイルによってすぐに踏み出された。^{[ 50 ] [ 51 ]}

1926年前半、エルヴィン・シュレーディンガーはド・ブロイの仮説に基づいて、量子力学的波の振る舞いを記述する方程式を開発した。^{[ 52 ]}この数学モデルは、考案者の名にちなんでシュレーディンガー方程式と呼ばれ、量子力学の中心であり、量子系の許容される定常状態を定義し、物理系の量子状態が時間とともにどのように変化するかを記述する。^{[ 53 ]}波自体は、「波動関数」として知られる数学関数によって記述される。シュレーディンガーは、波動関数は「測定結果の確率を予測する手段」を提供すると述べた。^{[ 54 ]}

シュレーディンガーは、水素原子の電子を陽子によって作られた電位の井戸の中を運動する古典的な波として扱うことで、水素のエネルギー準位を計算することができた。この計算は、ボーアモデルのエネルギー準位を正確に再現した。

1926年5月、シュレーディンガーは、ハイゼンベルクの行列力学と自身の波動力学が電子の性質と挙動について同じ予測をしていることを証明しました。数学的には、2つの理論は共通の基礎形式を持っていました。しかし、2人は互いの理論の解釈について意見が異なりました。例えば、ハイゼンベルクは原子内の軌道間の電子のジャンプという理論的予測を受け入れましたが^{[ 55 ]} 、シュレーディンガーは連続的な波のような性質に基づく理論が、彼が（ヴィルヘルム・ヴィーンが言い換えたように）「量子ジャンプに関するこのナンセンス」と呼んだものを回避できると期待していました^{[ 56 ]} 。結局、ハイゼンベルクのアプローチが勝利し、量子ジャンプが確認されました^{[ 57 ] 。}

ボーアの原子モデルは、基本的に惑星モデルであり、電子が原子核の「太陽」の周りを公転していると考えられていました。しかし、不確定性原理によれば、電子は惑星のように正確な位置と速度を同時に持つことはできません。古典的な軌道ではなく、電子は原子軌道と呼ばれるものに存在すると考えられています。

軌道とは、電子が存在する可能性のある場所の「雲」であり​​、正確な位置ではなく確率の分布である。^{[ 58 ]}各軌道は、2次元の軌道とは異なり3次元であり、電子が見つかる確率が95パーセントである3次元領域として描かれることが多い。^{[ 59 ]}

シュレーディンガーは、水素原子の電子を、陽子によって作られた電位井戸Vにおける「波動関数」Ψで表される波として扱うことで、水素のエネルギー準位を計算することができました。シュレーディンガー方程式の解は、電子の位置と場所の確率分布です。軌道は3次元空間でさまざまな形状をとります。さまざまな軌道のエネルギーを計算することができ、それらはボーアモデルのエネルギー準位と正確に一致します。

シュレーディンガーのモデルでは、各電子は4つの性質を持つ。

1. 粒子波が原子核に近くエネルギーが低いものか、原子核から遠くエネルギーが高いものかを示す「軌道」指定。
2. 軌道の「形状」、球形か否か。
3. 軌道の「傾斜角」は、z軸周りの軌道の磁気モーメントを決定する。
4. 電子の「スピン」。

これらの性質を総称して電子の量子状態と呼びます。量子状態は、これらの性質それぞれに数値を割り当てることで記述できます。これらの数値は電子の量子数と呼ばれます。電子の量子状態は、その波動関数によって記述されます。パウリの排他原理によれば、原子内の2つの電子が、これら4つの数値すべてにおいて同じ値を持つことは許されません。

軌道を記述する最初の特性は主量子数nであり、これはボーアモデルと同じです。n は各軌道のエネルギー準位を表します。nの取りうる値は整数です。

${\displaystyle n=1,2,3\ldots }$

次の量子数である方位量子数lは、軌道の形状を表します。形状は軌道の角運動量によって決まります。角運動量とは、回転する物体が外部からの力によって加速または減速するのに対する抵抗を表します。方位量子数は、電子が原子核の周りを回る軌道角運動量を表します。l の取りうる値は、0からn − 1 までの整数です( nは電子の主量子数です)。

${\displaystyle l=0,1,\ldots ,n-1.}$

各軌道の形状は、通常、方位量子数ではなく文字で表されます。最初の形状（l = 0）は文字sで表されます（覚えやすい語句は「s sphere」）。次の形状は文字pで表され、ダンベルの形をしています。その他の軌道はより複雑な形状をしており（原子軌道を参照）、文字d、f、gなどで表されます。

3番目の量子数である磁気量子数は、電子の磁気モーメントを表し、m _l（または単にm ）で表されます。m _lの取りうる値は、 − lからlまでの整数です（ここで、lは電子の方位量子数です）。

${\displaystyle m_{l}=-l,-(l-1),\ldots ,0,\ldots ,(l-1),l.}$

磁気量子数は、特定の方向における角運動量の成分を測定する。方向の選択は任意であるが、慣例としてz軸方向が用いられる。

4番目の量子数であるスピン量子数（電子のスピンの「向き」に関係する）はm _sで表され、値は+ 1 ⁄ 2または- 1 ⁄ 2です。

化学者のライナス・ポーリングは、例えば次のように書いている。

1s軌道に2つの電子を持つヘリウム原子の場合、パウリの排他原理により、2つの電子は1つの量子数の値が異なっている必要があります。n 、l 、 m l_の値は同じです。したがって、 m _sの値が異なっている必要があり、一方の電子では+ 1/2 、もう一方の電子では- 1/2の値をとることができます。^{[ 58 ]}

原子軌道の基本的な構造と対称性、そして電子がそれらを満たす方法こそが、周期表の構成につながる。異なる原子上の原子軌道がどのように組み合わさって分子軌道を形成するかによって、原子間の化学結合の構造と強度が決まる。

量子化学の分野は、物理学者のウォルター・ハイトラーとフリッツ・ロンドンによって開拓され、彼らは1927年に水素分子の共有結合に関する研究を発表しました。その後、量子化学は、カリフォルニア工科大学のアメリカ人理論化学者ライナス・ポーリングやジョン・C・スレーターをはじめとする多くの研究者によって、分子軌道理論や原子価理論などの様々な理論へと発展しました。

1927年頃から、ポール・ディラックは電子のディラック方程式を提唱することで、量子力学と特殊相対性理論の統一に着手した。ディラック方程式は、シュレーディンガーが成し遂げられなかった電子の波動関数の相対論的記述を実現した。この方程式は電子のスピンを予測し、陽電子の存在を予言するに至った。また、彼は演算子理論の先駆者でもあり、 1930年に出版された彼の有名な教科書に記されているように、影響力のあるブラケット記法も考案した。

同時期に、ハンガリーの博学者ジョン・フォン・ノイマンは、著書『量子力学の数学的基礎』の中で、ヒルベルト空間上の線形作用素の理論として量子力学の数学的基礎を定式化した。これらの著作は、創始期の他の多くの著作と同様に、現在でも有効であり、広く利用されている。

ボーア、ハイゼンベルクらは、これらの実験結果や数学モデルが実際に何を意味するのかを説明しようと試みた。コペンハーゲン解釈という用語は、彼らの見解に後から適用され、彼らの間の違いは曖昧にされてきた。^{[ 60 ] [ 61 ] [ 62 ] [ 63 ] [ 64 ] [ 65 ]}コペンハーゲン解釈の決定的な記述は存在しないが、以下の考え方は広くその特徴とみなされている。

1. システムは量子状態によって完全に記述される（ハイゼンベルクの定理）
2. 量子状態が時間とともにどのように変化するかは、波動方程式、すなわち光と物質に波動性を与えるシュレーディンガー方程式によって記述される。
3. 原子間の相互作用は不連続である（プランクは「作用の量子」という概念に言及した）。
4. 自然の記述は本質的に確率論的である。例えば、二重スリット実験において粒子がスクリーン上のどこに現れるかといった事象の確率は、その波動関数の振幅の絶対値の二乗に比例する。（マックス・ボルンによるボルンの規則。コペンハーゲン解釈において波動関数に物理的な意味を与えるもので、確率振幅と呼ばれる。）
5. システムの相反する特性のペアの値は、同時に知ることはできない。（ハイゼンベルクの不確定性原理）
6. 物質は光と同様に、波動と粒子の二重性を示す。実験では、物質の粒子的な性質、あるいは波動的な性質のいずれかを実証することはできるが、両方を同時に実証することはできない。（ボーアによる相補性原理^{[ 66 ]}）
7. 測定装置は基本的に古典的な装置であり、位置や運動量といった古典的な性質を測定する。
8. 大規模系の量子力学的記述は、古典力学的記述に非常に近い値を示すべきである。（ボーアとハイゼンベルクの対応原理）