指数関数

計算が機械化されるにつれて、指数表記の慣例により、数値の容量に合わせて表記法が適応されました。浮動小数点表現の理論的概念は、スペインのエンジニア、レオナルド・トーレス・ケベドが1914年に著した『自動機械論』で初めて提唱されました。^{[ 19 ] [ 20 ]}その後、1938年にドイツのエンジニア、コンラート・ツーゼがZ1コンピュータでその最初の物理的実装を実現しました。^{[ 21 ]}ツーゼの設計では、1つのレジスタに先頭桁の表現が格納され、もう1つのレジスタに指数の表現が格納されていました。より柔軟な10進浮動小数点表現は、1946年にベル研究所のコンピュータで導入されました。最終的に、教育者やエンジニアは、比率尺度における桁数の一般的な参照と一致する数値の科学的表記法を採用しました。^{[ 21 ]}

例えば、1961年に学校数学研究グループはメートル法で使用される単位に関連して表記法を開発しました。^{[ 22 ] [ 23 ]}

指数は測定単位や量の次元を表すためにも使われるようになった。例えば、力は質量×加速度なので、kg m/sec ^{2で測定される。質量を M、長さを L、時間を T とすると、}次元解析ではMLT ^–2という式で力を表せる。^{[ 24 ] [ 25 ]}

累乗の定義は、反復乗算として帰納法を用いて形式化することができ、^{[ 26 ]}この定義は結合法則を満たす乗算があればすぐに使用できます。

基本ケースは

${\displaystyle b^{1}=b}$

そして再発は

${\displaystyle b^{n+1}=b^{n}\cdot b.}$

乗法の結合法則は、任意の正の整数mとnに対して、

${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n},}$

そして

${\displaystyle (b^{m})^{n}=b^{mn}.}$

前述のとおり、（ゼロでない）数を0乗すると1になります。^{[ 27 ] [ 1 ]}

${\displaystyle b^{0}=1.}$

この値は、単位元を持つ乗法を含むあらゆる代数構造で使用できる空積規約によっても得られます。このようにして、式は次のようになります。

${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}}$

も成り立つ${\displaystyle n=0}$。

0 ⁰の場合は議論の余地がある。整数乗のみを考慮する文脈では、一般的に0 ⁰には1が割り当てられるが、それ以外の場合は、値を割り当てるかどうか、またどのような値を割り当てるかは文脈によって異なる可能性がある。

負の指数によるべき乗は、任意の整数nとゼロでないbに対して成り立つ次の恒等式によって定義されます。^{[ 1 ]}

${\displaystyle b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}}$

0 を負の指数で累乗することは定義されていませんが、場合によっては無限大と解釈されることがあります (${\displaystyle \infty }$) ^{[ 28 ]}

負の指数を用いたべき乗の定義は、恒等式を拡張できる唯一のものである。${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}}$負の指数まで（次のケースを考えてみましょう）${\displaystyle m=-n}$)

同じ定義は、乗法モノイド、すなわち結合法則を満たす乗法と乗法単位元1を持つ代数構造(例えば、与えられた次元の正方行列) の可逆要素にも適用されます。特に、このような構造では、可逆要素xの逆は標準的に次のように表されます。${\displaystyle x^{-1}.}$

以下のアイデンティティは、しばしば指数法則は、底がゼロでない限り、すべての整数指数に対して成り立ちます。 ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{m}\cdot b^{n}&=b^{m+n}\\\left(b^{m}\right)^{n}&=b^{m\cdot n}\\b^{n}\cdot c^{n}&=(b\cdot c)^{n}\end{aligned}}}$

加算や乗算とは異なり、指数は交換法則を満たしません。例えば、$2^3=8$しかし、オペランドを逆にすると異なる値が得られる。$3^2=9$また、加算や乗算とは異なり、べき乗は結合法則を満たしません。例えば、(2 ³ ) ² = 8 ² = 64ですが、2 ^{(3 2 )} = 2 ⁹ = 512です。括弧がない場合、上付き文字表記での連続べき乗の慣習的な演算順序は、下から上（または左結合）ではなく、上から下（または右結合）です。^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ]}つまり、

${\displaystyle b^{p^{q}}=b^{\left(p^{q}\right)},}$

これは一般的に、

${\displaystyle \left(b^{p}\right)^{q}=b^{pq}.}$

和のべき乗は、通常、二項式の公式を用いて被加数のべき乗から計算できる。

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{i}b^{ni}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {n!}{i!(ni)!}}a^{i}b^{ni}。}$

しかし、この公式は、項が可換である場合（つまり、ab = baである場合）にのみ有効であり、これは、項が可換な構造に属している場合は暗黙のうちに成り立ちます。そうでない場合、例えばaとb が同じサイズの正方行列である場合、この公式は使用できません。したがって、コンピュータ代数では、べき乗の基数が可換でない場合、整数指数を含む多くのアルゴリズムを変更する必要があります。汎用コンピュータ代数システムの中には、非可換基数によるべき乗に別の表記法（^の代わりに^^を使用する場合もあります）を使用するものがあり、これは非可換べき乗と呼ばれます。

非負整数nとmに対して、 n ^mの値は、 m個の要素の集合からn個の要素の集合への関数の数です(基数べき乗を参照)。このような関数は、 n個の要素の集合からのm 個のタプル(またはn文字のアルファベットからのm文字の単語)として表現できます。mとnの特定の値に対する例を次の表に示します。

1より大きい数のべき乗の数列の極限は発散する。言い換えれば、数列は際限なく増加する。

${\displaystyle b^{n}\rightarrow \infty {\text{ as }}n\rightarrow \infty {\text{ when }}b>1}$

これは、「 bが1より大きい場合、 nが無限大に近づくにつれてbのn乗は+∞に近づく」と解釈できる。

絶対値が1未満の数のべき乗は、 0に近づく傾向がある。

${\displaystyle b^{n}\rightarrow 0{\text{ as }}n\rightarrow \infty {\text{ when }}\left|b\right|<1}$

1のべき乗は常に1である。

${\displaystyle b^{n}=1{\text{ for all }}n{\text{ for }}b=1}$

負の数のべき乗${\displaystyle b\leq -1}$nが偶数と奇数を交互に繰り返すにつれて、正と負を交互に繰り返すため、 nが大きくなるにつれて限界に近づくことはありません。

指数が無限大に近づくにつれて指数化された数が1に近づくように変化する場合、極限は必ずしも上記のいずれにも該当しません。特に重要なケースは次のとおりです。

${\displaystyle (1+{\frac {1}{n}})^{n}\rightarrow e{\text{ as }}n\rightarrow \infty }$

下記の「指数関数」の項 を参照してください。

その他の制限、特に不定形をとる式の制限については、以下の§ べき乗の制限で説明します。

実関数${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$、 どこ${\displaystyle c\neq 0}$これらは、べき関数と呼ばれることもあります。^{[ 32 ]}${\displaystyle n}$は整数であり、${\displaystyle n\geq 1}$2つの主要なファミリーが存在する。${\displaystyle n}$たとえ、そして${\displaystyle n}$奇妙だ。一般的に${\displaystyle c>0}$、 いつ${\displaystyle n}$さえ${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$増加するにつれて正の無限大に近づく${\displaystyle x}$また、減少しながら正の無限大に向かっても${\displaystyle x}$偶数乗関数の族のすべてのグラフは、一般的に次の形状をしている。${\displaystyle y=cx^{2}}$中央部がより平坦になり、${\displaystyle n}$増加する。^{[ 33 ]}この種の対称性を持つ関数（${\displaystyle f(-x)=f(x)}$)は偶関数と呼ばれます。

いつ${\displaystyle n}$奇妙だ、${\displaystyle f(x)}$の漸近挙動は正から反転する${\displaystyle x}$マイナス${\displaystyle x}$。 のために${\displaystyle c>0}$、${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$増加に伴い正の無限大に近づく傾向もある${\displaystyle x}$しかし、減少するにつれて負の無限大に向かう${\displaystyle x}$奇数べき関数の族のすべてのグラフは、一般的に次の形状をしている。${\displaystyle y=cx^{3}}$中央部がより平坦になり、${\displaystyle n}$直線上で増加し、平坦さを完全に失う${\displaystyle n=1}$. この種の対称性を持つ関数(${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$)は奇関数と呼ばれます。

のために${\displaystyle c<0}$いずれの場合も、逆の漸近挙動が成り立つ。^{[ 33 ]}

任意の無理数は有理数列の極限として表現できるため、任意の実数指数xを持つ正の実数bの指数化は、規則^{[ 34 ]}による連続性によって定義できます。

${\displaystyle b^{x}=\lim _{r(\in \mathbb {Q} )\to x}b^{r}\quad (b\in \mathbb {R} ^{+},\,x\in \mathbb {R} ),}$

ここで極限は、 rの有理数のみについて取られる。この極限は、すべての正のbとすべての実数xに対して存在する。

例えば、x = πの場合、無限小数表現π = 3.14159...と有理数の単調性を利用して、必要なだけ小さい有理数の区間を限定することができ、${\displaystyle b^{\pi }:}$

${\displaystyle \left[b^{3},b^{4}\right],\left[b^{3.1},b^{3.2}\right],\left[b^{3.14},b^{3.15}\right],\left[b^{3.141},b^{3.142}\right],\left[b^{3.1415},b^{3.1416}\right],\left[b^{3.14159},b^{3.14160}\right],\ldots }$

したがって、区間の上限と下限は同じ極限を持つ2 つの数列を形成します。${\displaystyle b^{\pi }.}$

これは定義します${\displaystyle b^{x}}$任意の正のbと実数xに対して、bとxの連続関数として。定義済み表現も参照。^{[ 35 ]}

指数関数は次のように定義できます。${\displaystyle x\mapsto e^{x},}$どこ${\displaystyle e\approx 2.718}$はオイラー数ですが、循環論法を避けるため、ここではこの定義は使用できません。代わりに、指数関数の独立した定義を与えます。${\displaystyle \exp(x),}$そして${\displaystyle e=\exp(1)}$正の整数乗（繰り返し乗算）のみに頼る。次に、これが前の定義と一致することの証明を概説する。${\displaystyle \exp(x)=e^{x}.}$

指数関数を定義する方法は数多くあり、そのうちの1つは次のとおりである。

${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

1つは${\displaystyle \exp(0)=1,}$そして指数恒等式（または乗法規則）${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)}$も同様に成り立つ。

${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {y}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x+y}{n}}+{\frac {xy}{n^{2}}}\right)^{n},}$

そして2次項${\displaystyle {\frac {xy}{n^{2}}}}$制限値には影響せず、${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)}$。

オイラー数は次のように定義できる。${\displaystyle e=\exp(1)}$前述の式から、${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$xが整数の場合（これはべき乗の繰り返し乗算の定義によるものです）。xが実数の場合、${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$前述のセクションで与えられた定義から、xが有理数の場合は指数恒等式を、そうでない場合は指数関数の連続性を用いて結果が得られる。

指数関数を定義する極限は、xのすべての複素数値に対して収束するため、定義を拡張するために使用できます。${\displaystyle \exp(z)}$それで${\displaystyle e^{z},}$実数から任意の複素数引数zまでを拡張した指数関数です。この拡張指数関数は指数恒等式を満たし、複素数の底と指数に対するべき乗を定義するためによく使用されます。

e ^xを指数関数として定義することで、指数関数と対数関数を用いて、任意の正の実数bに対してb ^xを定義することができます。具体的には、自然対数ln( x )が指数関数e ^xの逆関数であるという事実は、次のことを意味します。

${\displaystyle b=\exp(\ln b)=e^{\ln b}}$

すべてのb > 0に対して。恒等性を保つために${\displaystyle (e^{x})^{y}=e^{xy},}$必ず

${\displaystyle b^{x}=\left(e^{\ln b}\right)^{x}=e^{x\ln b}}$

それで、${\displaystyle e^{x\ln b}}$これは、任意の正の実数bに対するb ^xの代替定義として使用できます。これは、有理指数と連続性を用いた上記の定義と一致し、任意の複素指数に容易に拡張できるという利点があります。

ゼロでない複素数zはすべて極形式で次のように表すことができます。

${\displaystyle z=\rho e^{i\theta }=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ),}$

どこ${\displaystyle \rho }$はzの絶対値であり、${\displaystyle \theta }$は引数です。引数は 2π の整数倍まで定義されます。つまり、${\displaystyle \theta }$複素数の引数である場合、${\displaystyle \theta +2k\pi }$また、すべての整数に対して同じ複素数の引数でもある。${\displaystyle k}$。

2つの複素数の積の極形式は、絶対値を掛け合わせ、偏角を足し合わせることによって得られます。したがって、複素数のn乗根の極形式は、絶対値のn乗根を取り、その偏角をnで割ることによって得られます。

${\displaystyle \left(\rho e^{i\theta }\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\,e^{\frac {i\theta }{n}}.}$

もし${\displaystyle 2\pi }$追加される${\displaystyle \theta }$複素数は変化しませんが、これを加えると${\displaystyle 2i\pi /n}$n乗根の引数に、新しいn乗根を提供します。これはn回実行できます(${\displaystyle k=0,1,...,n-1}$）、そして複素数のn乗根を提供します。

${\displaystyle \left(\rho e^{i(\theta +2k\pi )}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\,e^{\frac {i(\theta +2k\pi )}{n}}.}$

通常はn 乗根の 1 つを主根として選択します。一般的な選択は、次のn乗根を選択することです。${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi ,}$つまり、実部が最大のn乗根であり、2 つある場合は、虚部が正の n 乗根です。これにより、主n乗根は、被開平数の負の実数値を除いて、複素平面全体で連続関数になります。この関数は、被開平数が正の実数の場合、通常のn乗根と等しくなります。被開平数が負の実数で指数が奇数の場合、主n乗根は実数ではありませんが、通常のn乗根は実数です。解析接続により、主n乗根は、通常のn乗根を非正の実数を除いて複素平面に拡張する唯一の複素微分可能関数であることが示されます。

複素数を引数を増やすことでゼロの周りで移動させると、${\displaystyle 2\pi ,}$複素数は元の位置に戻り、そのn乗根は循環的に置換されます(それらは乗算されます)$e^{2i\pi /n}$これは、複素平面全体で連続なn乗根関数を定義することは不可能であることを示しています。

団結の根源

1のn乗根は${\displaystyle n}$⁠複素数であって、${\displaystyle \omega ^{n}=1}$⁠、そこで⁠${\displaystyle n}$は正の整数です。これらは、離散フーリエ変換や代数方程式の代数的解法（ラグランジュレゾルベント）など、数学のさまざまな分野で現れます

1のn乗根は${\displaystyle n}$⁠最初のべき乗${\displaystyle \omega =e^{2\pi i/n}}$つまり、${\displaystyle 1=\omega ^{0}=\omega ^{n}}$⁠、 ⁠${\displaystyle \omega =\omega ^{1}}$⁠、 ⁠${\displaystyle \omega ^{2}}$⁠、...、 ⁠${\displaystyle \omega ^{n-1}}$この生成性質を持つn乗根は原始n乗根と呼ばれ、次の形式をとります。${\displaystyle \omega ^{k}=e^{2k\pi i/n}}$k はnと互いに素である。一意の原始平方根は${\displaystyle -1;}$1の原始的な4乗根は${\displaystyle i}$そして​${\displaystyle -i}$⁠ .

1のn乗根を用いることで、複素数zのすべてのn乗根を、 zの与えられたn乗根と1のn乗根のn個の積として表すことができる。

幾何学的に言えば、 1のn乗根は、複素平面の単位円上の、1つの頂点が実数1にある正n角形の頂点に位置する。

数として${\displaystyle e^{2k\pi i/n}}$は、最小の正の引数を持つ原始n乗根であり、主原始n乗根と呼ばれ、主n乗根と略されることもありますが、この用語は主値と混同される可能性があります。${\displaystyle 1^{1/n}}$、これは1です。^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]}

複素底を用いたべき乗の定義は、前のセクションで説明したのと同様の困難をもたらしますが、一般に、可能な値は無限に多く存在します。$z^{w}$。したがって、主値が定義されますが、これは実数かつ非正のzの値に対して連続ではありません。$z^{w}$は多値関数として定義されます。

いずれの場合も、複素対数は複素指数を定義するために使用され、

${\displaystyle z^{w}=e^{w\log z},}$

どこ${\displaystyle \log z}$は、使用される複素対数の変形であり、関数または多値関数であり、

${\displaystyle e^{\log z}=z}$

定義域内のすべてのzについて。

乗法群とは、結合法則を満たす演算を乗法と表し、単位元を持ち、すべての要素が逆元を持つ集合のことである。

したがって、Gが群である場合、${\displaystyle x^{n}}$すべての${\displaystyle x\in G}$そしてすべての整数n。

群の要素のすべてのべき乗の集合は部分群を形成する。特定の要素xのすべてのべき乗からなる群（または部分群）は、 xによって生成される巡回群である。x のすべてのべき乗が互いに異なる場合、その群は加法群と同型である。${\displaystyle \mathbb {Z} }$整数の。そうでない場合、巡回群は有限（要素数が有限）であり、その要素数はxの位数である。xの位数がnの場合、${\displaystyle x^{n}=x^{0}=1,}$そして、 xによって生成される巡回群は、xの最初のn乗（指数0または1からどちらから始めても構わない）から構成される。

群論において、要素の順序は基本的な役割を果たします。例えば、有限群における要素の順序は、常に群の要素数（群の順序）の約数となります。群の要素の可能な順序は、群の構造の研究（シローの定理を参照）や、有限単純群の分類において重要です。

上付き文字表記は共役にも使用されます。つまり、g ^h = h ⁻¹ ghとなります。ここで、 gとhは群の要素です。上付き文字は整数ではないため、この表記は指数と混同してはいけません。この表記の動機は、共役が指数法則の一部に従うことです。${\displaystyle (g^{h})^{k}=g^{hk}}$そして${\displaystyle (gh)^{k}=g^{k}h^{k}.}$

環において、いくつかの非ゼロ要素が以下の条件を満たす場合がある。${\displaystyle x^{n}=0}$ある整数nに対して、 が成り立つ。このような要素は冪零元と呼ばれる。可換環において、冪零元はイデアルを形成し、これを環の冪零根基と呼ぶ。

零根号が零イデアルに還元される場合（つまり、${\displaystyle x\neq 0}$暗示する${\displaystyle x^{n}\neq 0}$任意の正の整数nに対して、可換環は既約であると言われます。既約環は代数幾何学において重要です。なぜなら、アフィン代数集合の座標環は常に既約環だからです。

より一般的に、可換環RのイデアルIが与えられたとき、 Iの冪を持つRの要素の集合はイデアルであり、Iの根基と呼ばれます。零根基は零イデアルの根基です。根基イデアルは、自身の根基と等しいイデアルです。多項式環では${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$体k上では、イデアルが根基であるのは、それがアフィン代数集合上でゼロとなるすべての多項式の集合である場合に限る（これはヒルベルトの零点定理の結果である）。

Aが正方行列である場合、AとA自身をn回掛け合わせたものを行列のべき乗と呼ぶ。${\displaystyle A^{0}}$は単位行列として定義され、^{[ 42 ]} Aが可逆であれば、${\displaystyle A^{-n}=\left(A^{-1}\right)^{n}}$。

行列のべき乗は、離散力学系の文脈でよく現れます。そこでは、行列A はあるシステムの状態ベクトルxから次の状態Axへの遷移を表します。^{[ 43 ]}これは、例えばマルコフ連鎖の標準的な解釈です。${\displaystyle A^{2}x}$これは2つの時間ステップ後のシステムの状態であり、以下同様です。${\displaystyle A^{n}x}$nタイム ステップ後のシステムの 状態です。行列のパワー${\displaystyle A^{n}}$は、現在の状態とnステップ先の未来の状態との間の遷移行列です。したがって、行列のべき乗を計算することは、動的システムの進化を解くことと同等です。多くの場合、行列のべき乗は、固有値と固有ベクトルを使用して簡単に計算できます。

行列以外にも、より一般的な線形演算子も指数化できます。例としては、微積分学の微分演算子があります。${\displaystyle d/dx}$これは関数に作用する線形演算子です${\displaystyle f(x)}$新しい機能を与える${\displaystyle (d/dx)f(x)=f'(x)}$微分演算子のn乗はn階導関数です。

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}f(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=f^{(n)}(x).}$

これらの例は線形演算子の離散指数に関するものですが、多くの場合、このような演算子のべき乗を連続指数で定義することも望ましいです。これが半群の数学理論の出発点です。^{[ 44 ]}離散指数で行列のべき乗を計算すると離散力学系が解けるのと同様に、連続指数で行列のべき乗を計算すると連続力学系が解けます。例としては、熱方程式、シュレーディンガー方程式、波動方程式、および時間発展を含むその他の偏微分方程式を解くアプローチがあります。微分演算子を非整数のべき乗に指数化する特殊なケースは分数微分と呼ばれ、分数積分とともに分数微積分学の基本演算の 1 つです。

体とは、乗法、加算、減算、除算が定義され、乗法が結合法則を満たし、すべての非ゼロ要素が乗法逆元を持つという性質を満たす代数構造のことです。これは、 0の非正のべき乗を除いて、整数指数によるべき乗が適切に定義されていることを意味します。一般的な例としては、複素数体、実数体、有理数体（いずれも本稿で先に述べたように、無限大です）が挙げられます。

有限体とは、有限個の要素を持つ体のことである。この要素の数は素数または素数のべき乗のいずれかである。つまり、次の形式をとる。${\displaystyle q=p^{k},}$ここでpは素数、kは正の整数です。このようなqに対して、 q個の要素を持つ体があります。q 個の要素を持つ体はすべて同型であるため、一般に、 q個の要素を持つ体が 1 つだけあるかのように扱うことができます。${\displaystyle \mathbb {F} _{q}.}$

1つは

${\displaystyle x^{q}=x}$

すべての${\displaystyle x\in \mathbb {F} _{q}.}$

原始的な要素${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$は、gのq − 1乗の集合(つまり、${\displaystyle \{g^{1}=g,g^{2},\ldots ,g^{p-1}=g^{0}=1\}}$) は、 の非ゼロ要素の集合に等しい。${\displaystyle \mathbb {F} _{q}.}$がある${\displaystyle \varphi (p-1)}$プリミティブ要素${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$どこ${\displaystyle \varphi }$オイラーのトーシェント関数です。