数学的誤り

数学では、ある種の誤った証明が、数学的誤謬と呼ばれる概念の例としてしばしば展示され、時には収集される。証明における単純な間違いと数学的誤謬は区別され、証明における間違いは無効な証明につながるが、数学的誤謬の最もよく知られた例では、証明の提示に何らかの隠蔽や欺瞞の要素がある。

例えば、妥当性が失われる理由は、代数記法によって隠されているゼロ除算に起因する可能性があります。数学的な誤謬には、特定の性質があります。典型的な提示では、不合理な結果につながるだけでなく、巧妙で巧妙な方法でそれにつながります。 ^{[1]したがって、これらの誤謬は、教育上の理由から、通常、明らかな}矛盾の偽の証明の形をとります。証明に欠陥があるにもかかわらず、エラーは通常、意図的に、比較的微妙であるか、特定の手順が条件付きであり、規則の例外となる場合には適用できないことを示すように設計されています。

数学的誤謬を提示する伝統的な方法は、有効な推論ステップに無効なステップを混ぜて示すことであり、そのためここでの誤謬の意味は論理的誤謬とは若干異なる。後者は通常、論理の有効な推論規則に従わない議論の形式に適用されるが、問題となる数学的ステップは、暗黙の誤った仮定を適用した正しい規則であるのが典型的である。教育を超えて、誤謬の解決は主題に対するより深い洞察につながる可能性がある（例えば、ユークリッド幾何学のパシュの公理^[2]、グラフ理論の五色定理の導入）。偽証明を記した古代の失われた書物であるプセウダリアは、ユークリッドに帰せられる。^[3]

数学の誤謬は数学の多くの分野に存在する。初等代数学における典型的な例としては、ゼロ除算を実行するステップ、根を誤って抽出するステップ、またはより一般的には、多価関数の異なる値が等しくされるステップなどが挙げられる。よく知られた誤謬は初等ユークリッド幾何学や微積分学にも存在する。^{[4] [5]}

${\displaystyle {\begin{array}{l}\;\;\;{\dfrac {d}{dx}}{\dfrac {1}{x}}\\={\dfrac {d}{d}}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\={\dfrac {d\!\!\!\backslash }{d\!\!\!\backslash }}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\=-{\dfrac {1}{x^{2}}}\end{array}}}$

微積分における異常なキャンセル

数学的に正しい結果が、誤った推論によって導き出された例があります。そのような議論は、結論がいかに正しいように見えても、数学的には無効であり、一般にハウラーとして知られています。以下は、異常なキャンセルを伴うハウラーの例です。 $${\displaystyle {\frac {16}{64}}={\frac {16\!\!\!/}{6\!\!\!/4}}={\frac {1}{4}} 。}$$

ここで結論としては、16/64⁠ = ⁠1/4⁠が正しい場合、中間ステップで誤った無効なキャンセルが行われます。^{[注 1]}もう一つの古典的な失敗例は、特性多項式のスカラー変数を行列に単純に置き換えることによってケイリー-ハミルトン定理を証明することです。

誤った論理や演算にもかかわらず正しい結果を生み出すように構築された偽の証明、計算、または導出は、エドウィン・マクスウェルによって「ハウラー」と名付けられました。^{[2]数学の分野以外では、}ハウラーという用語は一般的にあまり具体的ではないさまざまな意味を持っています。

ゼロ除算の誤謬には多くのバリエーションがあります。次の例では、2 = 1 を「証明」するために偽装されたゼロ除算を使用していますが、任意の数が他の任意の数に等しいことを証明するように変更できます。

1. aとbを等しい非ゼロ量とする

   ${\displaystyle a=b}$

2. を掛ける

   ${\displaystyle a^{2}=ab}$

3. b ²を引く

   ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}}$

4. 両辺を因数分解する。左辺は平方の差として因数分解し、右辺は両項から bを抽出して因数分解する。

   ${\displaystyle (ab)(a+b)=b(ab)}$

5. （ a − b） を割る

   ${\displaystyle a+b=b}$

6. a = bという事実を利用する

   ${\displaystyle b+b=b}$

7. 左辺の同類項を結合する

   ${\displaystyle 2b=b}$

8. ゼロでないbで割る

   ${\displaystyle 2=1}$

QED ^[6]

誤りは 5 行目にあります。4 行目から 5 行目への進行にはa  −  bによる除算が含まれますが、 a  =  bなので、これはゼロです。ゼロによる除算は定義されていないため、議論は無効です。

変化と極限の数学的研究としての数学的分析は、積分と微分の性質を無視すると、数学的な誤りにつながる可能性がある。例えば、部分積分を単純に使用すると、0 = 1という誤った証明を与えることができる。[ ^7] u  =  ⁠1/ログ x⁠およびdv  =  ⁠dx/x⁠、

${\displaystyle \int {\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=1+\int {\frac {1}{x\,\log x}}\,dx}$

その後、原始微分はキャンセルされて 0 = 1 になります。問題は、原始微分は定数までしか定義されておらず、1 または任意の数だけシフトすることが許可されていることです。任意の積分限界aとb を導入すると、エラーが実際に明らかになります。

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=1|_{a}^{b}+\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=0+\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\log x}}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\log x}}\,dx}$

定数関数の 2 つの値の差はゼロになるため、方程式の両辺に同じ定積分が現れます。

多くの関数には一意の逆関数がありません。たとえば、数を二乗すると一意の値が得られますが、正の数の平方根は 2 つ考えられます。平方根は多値です。慣例により 1 つの値を主値として選択できます。平方根の場合は、負でない値が主値ですが、数の平方の主値として与えられた平方根が元の数と等しいという保証はありません (たとえば、-2 の平方の主平方根は 2 です)。これはn 乗根についても当てはまります。

等式の両辺の平方根を取るときは注意が必要です。そうしないと、^[8] 5 = 4 という「証明」になります。

証拠：

開始

${\displaystyle -20=-20}$

これを次のように書く

${\displaystyle 25-45=16-36}$

書き直すと

${\displaystyle 5^{2}-5\times 9=4^{2}-4\times 9}$

追加⁠81/4⁠両側に：

${\displaystyle 5^{2}-5\times 9+{\frac {81}{4}}=4^{2}-4\times 9+{\frac {81}{4}}}$

これらは完全な正方形です:

${\displaystyle \left(5-{\frac {9}{2}}\right)^{2}=\left(4-{\frac {9}{2}}\right)^{2}}$

両辺の平方根をとります。

${\displaystyle 5-{\frac {9}{2}}=4-{\frac {9}{2}}}$

追加⁠9/2⁠両側に：

${\displaystyle 5=4}$

QED

誤りは、両辺の平方根をとっている最後から2行目にあります。a 2  =  b ^{2 は、}aとbが同じ符号の場合にのみa  =  bを意味しますが、ここではそうではありません。この場合、a  = – bを意味するので、式は次のようになります 。

${\displaystyle 5-{\frac {9}{2}}=-\left(4-{\frac {9}{2}}\right)}$

これに、⁠9/2⁠両辺とも、正しく 5 = 5 に約分されます。

方程式の両辺の平方根を取ることの危険性を示すもう一つの例は、次の基本的な等式である^[9]

${\displaystyle \cos^{2}x=1-\sin^{2}x}$

これはピタゴラスの定理の結果として成り立つ。そして平方根をとると、

${\displaystyle \cos x={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}$

x  =  πのときにこれを評価すると、次のようになる。

${\displaystyle -1={\sqrt {1-0}}}$

または

${\displaystyle -1=1}$

それは間違いです。

これらの例のそれぞれの誤りは、基本的に、

${\displaystyle x^{2}=a^{2}}$

ここで、 には 2 つの解があります。 ${\displaystyle a\neq 0}$

${\displaystyle x=\pm a}$

これらの解法のどれが問題に関連しているかを確認することが重要です。^[10] 上記の誤りでは、最初の式から2番目の式を導く平方根は、cos  xが正の場合にのみ有効です。特に、xがπに設定されている場合、2番目の式は無効になります。

べき乗と根を利用した無効な証明は、多くの場合、次のようなものです。

${\displaystyle 1={\sqrt {1}}={\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=i\cdot i=-1.}$

誤りは、この規則は一般に、とのうち少なくとも1つが非負である場合にのみ有効である（実数を扱う場合）というものですが、この場合は当てはまりません。^[11]${\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

あるいは、虚根は次のように難読化されます。

${\displaystyle i={\sqrt {-1}}=\left(-1\right)^{\frac {2}{4}}=\left(\left(-1\right)^{2}\right)^{\frac {1}{4}}=1^{\frac {1}{4}}=1}$

ここでの誤りは、多価関数の誤った使用法にあります。は、分岐を事前に選択せずに と の 2 つの値を持ちますが、のみが主値を表します。^[12]同様に、 は、、 、の4 つの異なる値を持ちますが、そのうち のみが最初の等式の左辺と等しくなります。 ${\displaystyle (-1)^{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle -i}$${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle 1^{\frac {1}{4}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle i}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle -i}$${\displaystyle i}$

数値を複素数べき乗すると、その結果は一意に定義されません (指数 § べき乗と対数の恒等式の不一致を参照)。この特性が認識されない場合、次のようなエラーが発生する可能性があります。

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{2\pi i}&=1\\\left(e^{2\pi i}\right)^{i}&=1^{i}\\e^{-2\pi }&=1\\\end{aligned}}}$

ここでの誤りは、3行目に進むときのように指数を掛ける規則が、複素指数ではそのままでは適用されないということである。たとえ両辺をi乗するときに主値のみが選択されたとしてもである。多値関数として扱われるとき、両辺は同じ値のセットを生成する。${\displaystyle \{e^{2\pi n}|n\in \mathbb {Z} \}.}$

幾何学における数学的誤りの多くは、方向付けられた量（特定の直線に沿ったベクトルの加算や平面内の方向付けられた角度の加算など）を含む加法的な等式を有効な恒等式に使用することから生じますが、この等式では、これらの量（の 1 つ）の絶対値のみが固定されます。この量は誤った方向で方程式に組み込まれ、不合理な結論が導き出されます。この誤った方向付けは、通常、状況の不正確な図を提供することによって暗黙的に示唆されます。この図では、点または線の相対的な位置が、議論の仮定の下では実際には不可能であるが、自明ではない方法で選択されています。

一般的に、このような誤りは、状況を正確に描写することで簡単に見破ることができます。状況によっては、提供された図とは異なる相対位置が存在します。このような誤りを回避するには、距離や角度の加算または減算を使用した正しい幾何学的議論によって、数量が正しい方向で組み込まれていることを常に証明する必要があります。

二等辺三角形の誤謬は、（マクスウェル 1959、第2章、§ 1）によれば、すべての三角形は二等辺三角形であり、三角形の2辺は合同であることを示すものである。この誤謬はルイス・キャロルも知っており、彼によって発見された可能性がある。この誤謬は1899年に出版された。^{[13] [14]}

三角形△ABCが与えられたとき、AB = ACであることを証明してください。

1. ∠Aを二等分する線を引きます。
2. 線分 BC の垂直二等分線を描きます。この線分は点 D で BC を二等分します。
3. これら 2 本の線が点 O で交わるものとします。
4. ABに垂直な線ORと、ACに垂直な線OQを描きます。
5. 線OBとOCを描きます。
6. AASにより、△RAO ≅ △QAO（∠ORA = ∠OQA = 90°、∠RAO = ∠QAO、AO = AO（共通側））となる。
7. RHSにより、^[注2] △ROB ≅ △QOC（∠BRO = ∠CQO = 90°、BO = OC（斜辺）、RO = OQ（脚））。
8. したがって、AR = AQ、RB = QC、AB = AR + RB = AQ + QC = AC となります。

QED

当然の結果として、AB = BC および AC = BC を同様に示すことによって、すべての三角形が正三角形であることを示すことができます。

証明の誤りは、図の中で点 O が三角形の内側にあると仮定していることです。実際、O は常に △ABC の外接円上にあります (AO と OD が一致する二等辺三角形と正三角形を除く)。さらに、AB が AC より長い場合、R はAB の内側にあり、Q は AC の外側にあり、その逆も同様であることが示されます (実際、十分に正確な機器で描かれた図であれば、上記の 2 つの事実が証明されます)。このため、AB は依然として AR + RB ですが、AC は実際には AQ − QC であり、したがって長さは必ずしも同じではありません。

帰納法による証明には、基礎ケースまたは帰納的ステップのいずれかの要素が間違っているという誤った証明がいくつか存在する。直観的には、帰納法による証明は、あるケースで文が真であれば次のケースでも真であると主張することで機能し、したがってこれを繰り返し適用することで、すべてのケースで真であることが証明できる。次の「証明」は、すべての馬が同じ色であることを示す。^{[15] [注 3]}

1. N頭の馬のグループはすべて同じ色であるとします。
2. グループから馬を 1 頭取り除くと、同じ色のN  − 1 頭の馬のグループができます。別の馬を追加すると、N頭の馬の別のグループができます。以前の仮定によれば、この新しいグループはN頭の馬のグループなので、すべての馬は同じ色です。
3. このようにして、すべて同じ色のN頭の馬の 2 つのグループが構築され、 N  − 1 頭の馬が共通しています。これら 2 つのグループには共通の馬がいくつかあるため、2 つのグループは互いに同じ色である必要があります。
4.  したがって、使用したすべての馬を組み合わせると、同じ色のN + 1 頭の馬のグループが得られます。
5. したがって、 N頭の馬がすべて同じ色である場合、 N  + 1 頭の馬も同じ色になります。
6. これはN = 1の場合に明らかに当てはまります (つまり、 1 頭の馬はすべての馬が同じ色のグループです)。したがって、帰納法によって、任意の正の整数Nに対してN頭の馬は同じ色であり、したがってすべての馬は同じ色です。

この証明の誤りは 3 行目に生じます。N  = 1 の場合、2 つの馬のグループにはN − 1  = 0 頭の馬が共通しており、したがって、互いに同じ色である必要はありません。したがって、N  + 1 = 2 頭の馬のグループも、必ずしもすべて同じ色である必要はありません。「N頭の馬がすべて同じ色である場合、N  + 1 頭の馬も同じ色である」という含意は、 N > 1 の場合は当てはまりますが、 N = 1 の場合は当てはまりません 。基本的なケースは正しいですが、帰納法のステップには根本的な欠陥があります。

• 異常なキャンセル – 一種の算術エラー
• ゼロ除算 – 数式のクラス
• 不完全な証明のリスト
• 数学的偶然 – 数学における偶然
• パラドックス – 明らかに矛盾している発言
• 脅迫による証明 – 議論を明白または些細なものとしてマークする

ウィキメディア・コモンズには、無効な証明に関連するメディアがあります。

• Cut-the-knotでの無効な証明(文献参照を含む)
• 議論の余地のある典型的な誤り
• AhaJokes.com からの無効な証明がさらに追加されました
• 無効な証明を含む数学ジョーク