第六の力

算術と代数学において、数nの6乗は、 nを 6 回掛け合わせた結果です。つまり、

n ⁶ = n × n × n × n × n × n。

6 乗は、ある数をその5 乗で乗算するか、ある数の平方をその4 乗で乗算するか、平方を 3乗するか、または立方を平方すること で形成されます。

整数の 6 乗の順序は次のとおりです。

0、1、64、729、4096、15625、46656、117649、262144、531441、1000000、1771561、2985984、4826809、7529536、11390625、 16777216、24137569、34012224、47045881、64000000、85766121、113379904、148035889、191102976、244140625、308915776、 387420489、 481890304、...（OEISの配列A001014）

これらには、有効小数10 ⁶ (百万)、100 ⁶ (短スケールの兆と長スケールの十億 )、1000 ⁶ (京6と長スケールの兆) などが含まれます。

整数の6乗は、同時に平方数と立方数である数として特徴付けることができます。^[1] このように、それらは図形数の他の2つのクラス、すなわち、同時に平方数と三角形である平方三角数と、同時に平方数と四角錐である 砲弾問題の解に類似しています。

6乗は、正方形や立方体との関連から、次のような楕円曲線で あるモーデル曲線の研究において重要な役割を果たします。

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+k.}$

が6乗で割り切れる場合、この方程式をその乗で割ることで簡約でき、同じ形式のより単純な方程式が得られます。ルドルフ・フューターとルイス・J・モーデルによって証明された数論におけるよく知られた結果では、が6乗で割り切れない整数（例外的な場合とを除く）の場合、この方程式には、とが両方ともゼロでない有理解がないか、または無限に多く存在する、と述べられています。^[2]${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle k=-432}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

ロバート・レコードの古風な記法では、数の6乗は「zenzicube」と呼ばれ、立方体の平方を意味していた。同様に、バースカラ2世が12世紀のインド数学で使用した6乗の記法でも、立方体の平方または平方の立方と呼ばれていた。^[3]

6 乗のうち、他の 7 つの 6 乗の和として表せるものは数多く知られていますが、6 乗を 6 つの 6 乗の和だけで表せるものはまだ知られていません。^{[4]このため、指数}k = 1、2、...、8 の累乗の中では独特であり、その他の累乗はそれぞれk個の他のk乗の和として表すことができ、そのうちのいくつかは (オイラーの累乗の和の予想に反して) さらに少ないk乗 の和として表すことができます。

ワーリングの問題に関連して、十分に大きな整数はすべて、最大24個の6乗の整数の和として表すことができます。^[5]

ディオファントス方程式には無限に異なる非自明な解が存在する^[6]

${\displaystyle a^{6}+b^{6}+c^{6}=d^{6}+e^{6}+f^{6}.}$

方程式が

${\displaystyle a^{6}+b^{6}=c^{6}+d^{6}}$

非自明な解が存在する^[7]が、ランダー、パーキン、セルフリッジの予想によれば、そうではないことが示唆される。

• ${\displaystyle n^{6}-1}$nが 7 で割り切れない場合は 7 で割り切れます。

• 六次方程式
• 8番目の力
• 7番目の力
• 5 乗 (代数)
• 第四の力
• 立方体（代数）
• 平方（代数）

• Weisstein、Eric W.「ディオファントス方程式 - 6 乗」。MathWorld。