偶関数と奇関数

実関数 fは、定義域内のすべてのxに対して− xも定義域内に含まれ、^{[ 1 ] : p. 11 の}場合、偶関数である。$${\displaystyle f(-x)=f(x)}$$ または同等に $${\displaystyle f(x)-f(-x)=0.}$$

幾何学的に言えば、偶関数のグラフはy軸に関して対称であり、つまりy軸に関して対称に反転してもグラフは変化しない。

偶関数の例としては、以下のようなものがあります。

• 絶対値${\displaystyle x\mapsto |x|,}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$任意の偶数${\displaystyle n,}$
• 余弦${\displaystyle \cos ,}$
• 双曲線コサイン${\displaystyle \cosh ,}$
• ガウス関数${\displaystyle x\mapsto \exp(-x^{2}).}$

実関数fは、定義域内のすべてのxに対して− xも定義域内に含まれ、かつ^{[ 1 ] : p. 72 の}場合、奇関数である。$${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$$ または同等に $${\displaystyle f(x)+f(-x)=0.}$$

幾何学的に言えば、奇関数のグラフは原点に関して回転対称性を持つ。つまり、原点を中心に180度回転させてもグラフは変化しない。

もし${\displaystyle x=0}$奇関数の定義域にある${\displaystyle f(x)}$、 それから${\displaystyle f(0)=0}$。

奇関数の例としては、以下のようなものがあります。

• 符号関数${\displaystyle x\mapsto \operatorname {sgn}(x),}$
• 恒等関数${\displaystyle x\mapsto x,}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$任意の奇数${\displaystyle n,}$
• ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}}$任意の奇数の正の整数${\displaystyle n,}$
• 正弦${\displaystyle \sin ,}$
• 双曲線正弦${\displaystyle \sinh ,}$
• エラー関数${\displaystyle \operatorname {erf} .}$

• 関数が偶関数かつ奇関数である場合、その関数が定義されているすべての箇所で値は0となる。
• 関数が奇関数である場合、その関数の絶対値は偶関数となる。

• 2つの偶関数の和は偶関数である。
• 2つの奇関数の和は奇関数である。
• 2つの奇関数の差は奇関数である。
• 2つの偶関数の差は偶数である。
• 偶関数と奇関数の和は、与えられた定義域でいずれかの関数がゼロに等しくない限り、偶関数でも奇関数でもない。

• 2つの偶関数の積と商は偶関数である。
  • これは、任意の数の偶関数の積もまた偶関数であることを意味する。
  • これは、偶関数の逆数もまた偶関数であることを意味する。
• 2つの奇関数の積と商は偶関数である。
• 偶関数と奇関数の積および商は、いずれも奇関数である。
  • これは、奇関数の逆数は奇関数であることを意味する。

• 2つの偶関数の合成は偶関数である。
• 2つの奇関数の合成は奇関数である。
• 偶関数と奇関数の合成は偶関数である。
• 任意の関数と偶関数の合成は偶関数となる（ただし、逆は成り立たない）。

• 奇関数が可逆であれば、その逆関数も奇関数である。

• 偶関数の導関数は奇関数である。
• 奇関数の導関数は偶関数である。
• 奇関数が有界な対称区間で積分可能であれば${\displaystyle [-A,A]}$、その区間の積分はゼロです。つまり^{[ 2 ]}

  ${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=0}$。

  • これは、実数全体における奇関数のコーシー主値がゼロであることを意味する。
• 偶関数が有界な対称区間で積分可能であれば${\displaystyle [-A,A]}$、その区間の積分は、0 からAまでの積分の 2 倍になります。つまり^{[ 3 ]}

  ${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx}$。

  • この性質は、広義積分の場合にも当てはまります。${\displaystyle A=\infty }$0からまでの積分が与えられた場合${\displaystyle \infty }$収束する。

• 偶関数のマクローリン級数は、偶数乗のみを含む。
• 奇関数のマクローリン級数は、奇数乗のみを含む。
• 周期的な偶関数のフーリエ級数には、コサイン項のみが含まれる。
• 周期的な奇関数のフーリエ級数には、正弦項のみが含まれる。
• 純粋な実数値偶関数のフーリエ変換は実数かつ偶関数である。（フーリエ解析§ 対称性の性質を参照）
• 純粋な実数値奇関数のフーリエ変換は虚数かつ奇関数となる。（フーリエ解析§ 対称性を参照）

対称性も均等です。

関数${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$対称性は、以下の条件を満たす場合に偶数と呼ばれます。

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$

奇妙な対称性：

関数${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$奇対称であるとは、以下の条件を満たす場合をいう。

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$

実引数の複素数値関数の偶対称性と奇対称性の定義は、実数の場合と同様です。信号処理では、複素共役を含む同様の対称性が考慮されることがあります。^{[ 5 ] [ 6 ]}

共役対称性：

実数引数の複素数値関数${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$共役対称であるとは、

${\displaystyle f(x)={\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R} }$

複素数値関数が共役対称であるのは、その実部が偶関数であり、かつその虚部が奇関数である場合に限る。

共役対称関数の典型的な例はシス関数である。

${\displaystyle x\to e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

共役反対称性：

実数引数の複素数値関数${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$共役反対称であるとは、以下の条件を満たす場合をいう。

${\displaystyle f(x)=-{\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R} }$

複素数値関数が共役反対称であるのは、その実部が奇関数であり、虚部が偶関数である場合に限る。

奇対称と偶対称の定義は、N点列 (つまり、次の形式の関数)に拡張されます。${\displaystyle f:\left\{0,1,\ldots ,N-1\right\}\to \mathbb {R} }$）以下のように：^{[ 6 ]： p.411}

対称性も均等です。

N点列は、次の場合に共役対称であると呼ばれます。

${\displaystyle f(n)=f(N-n)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.}$

このような数列は回文数列と呼ばれることが多い。回文多項式も参照のこと。

奇妙な対称性：

N点列は、以下の条件を満たす場合に共役反対称と呼ばれます。

${\displaystyle f(n)=-f(N-n)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.}$

このような数列は、反回文数列と呼ばれることもあります。反回文多項式も参照してください。