正則関数

数学において、正則関数は、 1 つ以上の複素変数の複素数値関数であり、複素座標空間⁠ ⁠内の領域の各点の近傍で複素微分可能です。近傍に複素導関数が存在することは非常に強い条件です。つまり、正則関数は無限に微分可能であり、局所的に自身のテイラー級数に等しい（解析的である）ことを意味します。正則関数は、複素解析における中心的な研究対象です。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

解析関数という用語は「正則関数」と互換的に使用されることが多いが、「解析的」という言葉は、その定義域内の各点の近傍で収束するべき級数として記述できる任意の関数（実関数、複素関数、またはより一般的な型）を表すために、より広い意味で定義されている。すべての正則関数は複素解析関数であり、その逆もまた真であるということは、複素解析における主要な定理である。^[1]

正則関数は、正則関数と呼ばれることもあります。^[2]複素平面全体を定義域とする正則関数は、整関数と呼ばれます。「ある点で正則」という語句は、で微分可能${\displaystyle z_{0}}$である${\displaystyle z_{0}}$だけでなく、複素平面上の の近傍${\displaystyle z_{0}}$の範囲内であればどこでも微分可能であることを意味します。

複素数値関数⁠ ⁠${\displaystyle f}$が与えられたとき、その定義域内の点⁠ ⁠における⁠ ⁠の導関数は、極限として定義される^[3]${\displaystyle f}$${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}} 。}$

これは、すべての量が複素数である点を除いて、実関数の導関数の定義と同じです。特に、極限は複素数 ⁠ ⁠が⁠ ⁠に近づくときに取られ、これは⁠ ⁠の複素数値の任意のシーケンスに対して同じ値が得られることを意味します。極限が存在する場合、⁠ ⁠ は⁠ ⁠で複素微分可能であると言われます。この複素微分可能性の概念は、実微分可能性といくつかの特性を共有しています。線形であり、積の法則、商の法則、および連鎖律に従います。^[4]${\displaystyle z}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle z_{0}}$

関数が開集合⁠ ⁠上で正則であるとは、それが⁠ ⁠のすべての点で複素微分可能である場合です。関数⁠ ⁠ が点⁠ ⁠で正則であるとは、それが⁠ ⁠の何らかの近傍で正則である場合です。^[5] 関数が非開集合⁠ ⁠上で正則であるとは、それが⁠ ⁠のすべての点で正則である場合です。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

関数は、ある点で複素微分可能であっても、その点で正則ではない場合があります。たとえば、関数は⁠ ⁠で複素微分可能ですが、他のどこでも複素微分可能ではありません。特に、 ⁠ ⁠に近い場所を含め、複素微分可能ではありません(以下のコーシー–リーマン方程式を参照)。したがって、⁠ ⁠では正則ではありません。 ${\displaystyle \textstyle f(z)=|z|{\vphantom {l}}^{2}=z{\bar {z}}}$ ${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$

実微分可能性と複素微分可能性の関係は次の通りである: 複素関数⁠ ⁠${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$が正則であれば、⁠ ⁠${\displaystyle u}$と⁠ ⁠ は${\displaystyle v}$⁠ ⁠${\displaystyle x}$と⁠ ⁠${\displaystyle y}$に関して第1偏微分を持ち、コーシー・リーマン方程式を満たす: ^[6]

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,}$

または、同等に、⁠ ⁠の⁠ ⁠（⁠ ⁠の複素共役）に関するWirtinger 微分は 0 である：^[7]${\displaystyle f}$${\displaystyle {\bar {z}}}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,}$

つまり、大まかに言えば、⁠ ⁠ は、 ${\displaystyle f}$⁠ ⁠の複素共役である⁠ ⁠${\displaystyle {\bar {z}}}$から機能的に独立しています。 ${\displaystyle z}$

連続性が与えられていない場合、逆は必ずしも真ではありません。簡単な逆は、⁠ ⁠${\displaystyle u}$と⁠ ⁠ が${\displaystyle v}$連続した一階偏微分を持ち、コーシー・リーマン方程式を満たす場合、 ⁠ ⁠ は${\displaystyle f}$正則であるということです。より条件を満たす逆は、証明するのがはるかに難しいですが、ルーマン・メンホフの定理です。⁠ ⁠${\displaystyle f}$が連続で、⁠ ⁠${\displaystyle u}$と⁠ ⁠ が${\displaystyle v}$一階偏微分（必ずしも連続ではない）を持ち、それらがコーシー・リーマン方程式を満たす場合、⁠ ⁠${\displaystyle f}$は正則です。^[8]

正則関数という用語は、オーギュスタン＝ルイ・コーシーの弟子であるシャルル・ブリオとジャン＝クロード・ブーケによって1875年に導入され、ギリシャ語のὅλος ( hólos ) は「全体」を意味し、μορφή ( morphḗ ) は「形」や「外観」や「タイプ」を意味することから派生したものである。これに対し、有理関数という用語は、μέρος ( méros ) は「部分」を意味することから派生したものである。正則関数は複素平面の領域において関数全体(「全体」)に類似するが、有理関数 (特定の孤立した極を除いて正則であると定義される) は複素平面の領域において関数全体の有理分数 (「部分」) に類似する。^{[a] [9] [10]コーシーは代わりに}シネクティック ( synectic ) という 用語を使用していた。^[b]

今日では、「解析関数」よりも「正則関数」という用語が好まれることがあります。複素解析における重要な結果は、すべての正則関数が複素解析的であるということですが、これは定義から明らかに導かれる事実ではありません。ただし、「解析的」という用語も広く使用されています。

複素微分は線形であり、積、商、連鎖律に従うため、正則関数の和、積、合成は正則であり、2つの正則関数の商は分母がゼロでない限り正則である。^[12]つまり、関数⁠ ⁠${\displaystyle f}$と⁠ ⁠ が${\displaystyle g}$ドメイン⁠ ⁠で正則であれば、 ${\displaystyle U}$⁠ ⁠ ⁠${\displaystyle f+g}$、⁠ ⁠ ⁠ 、 ${\displaystyle f-g}$⁠ ⁠${\displaystyle fg}$ ⁠ 、⁠ ⁠ ⁠${\displaystyle f\circ g}$も正則である。さらに、⁠ ⁠ ⁠に零点がない場合、 ⁠ ⁠ は${\displaystyle f/g}$正則であり、それ以外の場合は有理型である。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle U}$

⁠ ⁠ を${\displaystyle \mathbb {C} }$実平面 ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$と同一視すると、正則関数は、 2つの偏微分方程式の集合であるコーシー・リーマン方程式を解く、連続した1次導関数を持つ2つの実変数の関数と一致する。^[6]

すべての正則関数は実部と虚部に分離でき、それぞれが ⁠ ⁠ 上の調和関数であり（それぞれ${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$ がラプラス方程式 ⁠ ⁠ を満たします）、⁠ ⁠ の調和共役を持ちます。[ 13 ]逆に、^単連結領域⁠ ⁠上の すべての調和関数⁠ ⁠は、正則関数の実部です。⁠ ⁠が${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$⁠ ⁠の調和共役であり、定数を除いて一意である場合、⁠ ⁠ ⁠は正則です。 ${\displaystyle \textstyle \nabla ^{2}u=\nabla ^{2}v=0}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u(x,y)}$${\displaystyle \textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$

コーシーの積分定理によれば、ループに沿ったすべての正則関数の積分はゼロになる。^[14]

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=0.}$

ここで⁠ ⁠ は、${\displaystyle \gamma }$開始点が終了点に等しい単連結複素領域⁠ ⁠内の修正可能パスであり、 ⁠ ⁠ は正則関数です。 ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$

コーシーの積分公式は、円板内部の正則関数はすべて、円板境界上の値によって完全に決定されると述べています。^[14]さらに、⁠ ⁠${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$が複素領域、⁠ ⁠ が${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$正則関数であり、閉円⁠ ⁠ が${\displaystyle D\equiv \{z:}$⁠ ⁠に完全に含まれているとします。⁠ ⁠の境界を形成する円を ⁠ ⁠ とします。すると、 ⁠ ⁠の内部にあるすべての⁠ ⁠に対して: ${\displaystyle U}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle D}$${\displaystyle a}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,\mathrm {d} z}$

ここで、等高線積分は反時計回りに行われます。

導${\displaystyle {f'}(a)}$関数はコーシーの微分公式を用いた等高線積分^[14]として表すことができる。

${\displaystyle f'\!(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{2}}}\,\mathrm {d} z,}$

⁠ ⁠ の${\displaystyle a}$周りを1回巻く任意の単純なループに対して、

${\displaystyle f'\!(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} {\bar {z}},}$

⁠ ⁠の周りの微小な${\displaystyle \gamma }$正のループについて。 ${\displaystyle a}$

一次導関数がゼロでない領域では、正則関数は共形である。つまり、小さな図形の角度と形（大きさは保存しない）を保存する。^[15]

すべての正則関数は解析的です。つまり、正則関数⁠ ⁠${\displaystyle f}$は、その定義域内の各点⁠ ⁠${\displaystyle a}$であらゆる次数の導関数を持ち、 ⁠ ⁠の近傍では⁠ ⁠ ⁠における自身のテイラー級数と一致します。実際、⁠ ⁠ は、その点を中心とし、関数の定義域内にある任意の円板上で ⁠ ⁠ ⁠における自身のテイラー級数と一致します。${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$

代数的な観点から見ると、開集合上の正則関数の集合は可換環であり、複素ベクトル空間です。さらに、開集合⁠ ⁠内の正則関数の集合が${\displaystyle U}$整域となるのは、開集合⁠ ⁠${\displaystyle U}$が連結である場合に限ります。^[7]実際、これは局所凸位相ベクトル空間であり、半ノルムはコンパクト部分集合の上限です。

幾何学的な観点から、関数⁠ ⁠ が${\displaystyle f}$⁠ ⁠${\displaystyle z_{0}}$で正則であるためには、 ⁠ ⁠ の近傍におけるその外導関数 ⁠ ⁠ が、ある連続関数⁠ ⁠ に対して⁠ ${\displaystyle \mathrm {d} f}$⁠に等しいことが必要である。これは次の式から導かれる。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle f'(z)\,\mathrm {d} z}$${\displaystyle f'}$

${\displaystyle 0=\mathrm {d} ^{2}f=\mathrm {d} (f'\,\mathrm {d} z)=\mathrm {d} f'\wedge \mathrm {d} z}$

⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {d} f'}$は⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {d} z}$に比例するので、導関数⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {d} f'}$自体が正則であり、したがって⁠ ⁠ は${\displaystyle f}$無限に微分可能であることを意味します。同様に、⁠ ⁠ は、${\displaystyle \mathrm {d} (f\,\mathrm {d} z)=f'\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} z=0}$単連結領域⁠ ⁠上で正則な任意の関数⁠ ⁠は${\displaystyle f}$⁠ ⁠上でも積分可能であることを意味します。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

（ ⁠ ⁠${\displaystyle \gamma }$から⁠ ⁠へのパスが完全に⁠ ⁠内にある場合、⁠ ⁠ を定義します。ジョルダン曲線定理と一般化ストークスの定理に照らして、${\displaystyle z_{0}}$⁠ ⁠ はパス⁠ ⁠の特定の選択とは独立しており、したがって⁠ ⁠ は⁠ ⁠または⁠ ⁠ を持つ⁠ ⁠上の明確に定義された関数です。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle U}$${\displaystyle F_{\gamma }(z)=F(0)+\int _{\gamma }f\,\mathrm {d} z}$${\displaystyle F_{\gamma }(z)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle F(z)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathrm {d} F=f\,\mathrm {d} z}$${\displaystyle f={\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} z}}}$

複素係数を持つ⁠ ⁠のすべての多項式関数は整関数（複素平面⁠ ⁠全体で正則）であり、指数関数⁠ ⁠や三角関数⁠ ⁠および⁠ ⁠ も同様です（オイラーの公式を参照）。複素対数関数⁠ ⁠の主枝は、​​定義域⁠ ⁠上で正則です。平方根関数は⁠ ⁠ ⁠と定義できるため、対数がどこにあっても正則です。逆数関数⁠ ⁠ ⁠は⁠ ⁠ ⁠上で正則です。（逆数関数、およびその他の有理関数は⁠ ⁠ ⁠上で有理型です。） ${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \exp z}$ ${\displaystyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(+iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$${\displaystyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(+iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$${\displaystyle \log z}$${\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{z\in \mathbb {R} :z\leq 0\}}$${\displaystyle {\sqrt {z}}\equiv \exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}$${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{z}}}$${\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{0\}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

コーシー・リーマン方程式の結果として、実数値の正則関数はすべて定数でなければなりません。したがって、絶対値 、偏角、実部、虚部は正則ではありません。正則ではない連続関数のもう1つの典型的な例は、複素共役です（複素共役は反正則です）。 ${\displaystyle |z|}$ ${\displaystyle \arg z}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (z)}$ ${\displaystyle {\bar {z}}.}$

正則関数の定義は、複数の複素変数に簡単に一般化できます。複素変数内の関数⁠ ⁠ が${\displaystyle f\colon (z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\mapsto f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}$点⁠ ⁠で解析的であるとは、 ⁠ ⁠の近傍が存在し、その中で⁠ ⁠ が⁠ ⁠複素変数内の収束するべき級数に等しい場合です。 ^[16] 関数⁠ ⁠ ⁠が⁠ ⁠の開部分集合⁠ ⁠で正則であるとは、 ⁠ ⁠の各点で解析的である場合です。 オスグッドの補題は(多変数コーシー積分公式を使用して)、連続関数⁠ ⁠に対して、これが ⁠ ⁠ が各変数で個別に正則であることと同等であることを示しています(つまり、いずれかの⁠ ⁠座標が固定されている場合、 ⁠ ⁠の制限は残りの座標の正則関数になります)。より深いハートッグスの定理は、連続性の仮定が不要であることを証明しています。⁠ ⁠が正則であるためには、各変数が個別に正則である必要があります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

より一般的には、その定義域のすべてのコンパクト部分集合上で二乗積分可能な複数の複素変数の関数は、超関数の意味でコーシー・リーマン方程式を満たす場合にのみ解析的である。

複数の複素変数の関数は、いくつかの基本的な点で、単一の複素変数の関数よりも複雑です。たとえば、べき級数の収束領域は必ずしも開球ではありません。これらの領域は対数凸ラインハルト領域であり、その最も単純な例は多円板です。ただし、いくつかの基本的な制限もあります。単一の複素変数の関数とは異なり、より大きな領域に拡張できない正則関数が存在する可能性のある領域は非常に限られています。このような集合は正則領域と呼ばれます。

複素微分⁠ ⁠${\displaystyle (p,0)}$形式 ⁠ ⁠ が${\displaystyle \alpha }$正則であるためには、その反正則ドルボー微分 がゼロである必要があります。${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}$

正則関数の概念は、関数解析の無限次元空間に拡張することができます。たとえば、フレシェ微分またはガトー微分は、複素数体上の バナッハ空間上の正則関数の概念を定義するために使用できます。

• ブレイキー、ジョセフ (1958)。『大学数学』（第 2 版）。ロンドン、イギリス：ブラック アンド サンズ。OCLC 2370110  。

• 「解析関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]