次元解析

工学および科学において、次元解析とは、さまざまな物理量の関係を、それらの基本量(長さ、質量、時間、電流など) と測定単位(メートルやグラムなど) を識別し、計算や比較の実行時にこれらの次元を追跡することによって解析することです。次元解析という用語は、ある次元単位から別の次元単位への単位の変換を指す場合にも使用され、科学的な公式を評価するために使用できます。

通約可能な物理量は同じ種類で同じ次元を持ち、異なる測定単位で表現されていても、直接比較することができます。たとえば、メートルとフィート、グラムとポンド、秒と年などです。通約不​​可能な物理量は異なる種類で異なる次元を持ち、どのような単位で表現されていても、直接比較することはできません。たとえば、1 グラムが 1 時間より大きいかどうかを尋ねることは意味がありません。

物理的に意味のある方程式や不等式は、必ず左辺と右辺の次元が同じでなければなりません。この特性は次元同次性と呼ばれます。次元同次性のチェックは次元解析の一般的な応用であり、導出された方程式や計算の妥当性チェックとして機能します。また、より厳密な導出がない場合に 物理システムを記述する方程式を導出する際のガイドや制約としても機能します。

物理的次元または量次元の概念と次元解析の概念は、 1822年にジョセフ・フーリエによって導入されました。 ^{[1] : 42}

バッキンガムのπ定理は、n 個の変数を含む物理的に意味のあるすべての方程式が、 n − m 個の無次元パラメータの方程式として等価に書き直される方法を記述します。ここで、 mは次元行列の階数です。さらに、最も重要なのは、この定理が、与えられた変数からこれらの無次元パラメータを計算する方法を提供していることです。

次元方程式は、次元解析から始まり、システムの特性単位または自然界の物理定数によって量をスケーリングする無次元化によって次元を削減または除去することができます。^{[1] ：43}これにより、以下の例に示すように、システムの基本的な特性についての洞察が得られます。

物理量の次元は、長さ、質量、時間などの基本的な物理次元の積として表すことができます。各次元は整数 (場合によっては有理数)乗されます。物理量の次元は、その物理量の量を表すために使用されるスケールや単位よりも基本的なものです。たとえば、質量は次元ですが、キログラムは質量の量を表すために選択された特定の基準量です。単位の選択は任意であり、多くの場合、歴史的な前例に基づいています。自然単位は、普遍的な定数のみに基づいているため、「それほど任意ではない」と考えられます。

基本的な物理的寸法には多くの選択肢があります。SI規格では、次の寸法と対応する寸法記号が選択されます。

時間(T)、長さ(L)、質量(M)、電流(I)、絶対温度(Θ)、物質の量(N)、光度(J)。

記号は慣例的にローマン サンセリフ書体で書かれる。^[2]数学的には、量Qの次元は次のように与えられる。

${\displaystyle \operatorname {dim} Q={\mathsf {T}}^{a}{\mathsf {L}}^{b}{\mathsf {M}}^{c}{\mathsf {I}}^{d}{\mathsf {\Theta }}^{e}{\mathsf {N}}^{f}{\mathsf {J}}^{g}}$

ここで、a、b、c、d、e、f、gは次元指数です。他の物理量は、基底を形成する限り、基底量として定義できます。たとえば、 Q = TIであるため、 SI 基底の電流の次元 (I) を電荷の次元 (Q) に置き換えることができます。

b ≠ 0のみ（他の指数はすべてゼロ）である量は、幾何量と呼ばれます。a ≠ 0 と b ≠ 0 の両方のみである量は、運動量と呼ばれます。a ≠ 0、 b ≠ 0、c ≠ 0のすべてのみである量は、動的量と呼ばれます。^[3] すべての指数がヌルである量は、次元が 1であると言われます。^[2]

物理量を表すために選択された単位とその次元は関連していますが、同一の概念ではありません。物理量の単位は慣例により定義され、何らかの標準と関連しています。たとえば、長さの単位はメートル、フィート、インチ、マイル、またはマイクロメートルですが、長さを表すために選択された長さの単位に関係なく、長さの次元は常に L です。同じ物理量の 2 つの異なる単位には、それらを関連付ける変換係数があります。たとえば、1 in = 2.54 cmです。この場合、2.54 cm/in が変換係数であり、それ自体は無次元です。したがって、その変換係数を掛けても物理量の次元は変わりません。

物理量の相容れない基本次元の存在そのものに疑問を投げかける物理学者もいるが^[4]、これは次元解析の有用性を無効にするものではない。

例えば、物理量速度 vの次元は

${\displaystyle \operatorname {dim} v={\frac {\text{長さ}}{\text{時間}}}={\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}.}$

物理量加速度 aの次元は

${\displaystyle \operatorname {dim} a={\frac {\text{速度}}{\text{時間}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}.}$

物理量力 Fの次元は

${\displaystyle \operatorname {dim} F={\text{質量}}\times {\text{加速度}}={\mathsf {M}}\times {\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}.}$

物理量圧力 Pの次元は

${\displaystyle \operatorname {dim} P={\frac {\text{力}}{\text{面積}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {L}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{-1}{\mathsf {M}}.}$

物理量エネルギー Eの次元は

${\displaystyle \operatorname {dim} E={\text{力}}\times {\text{変位}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}\times {\mathsf {L}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}.}$

物理量パワー Pの次元は

${\displaystyle \operatorname {dim} P={\frac {\text{エネルギー}}{\text{時間}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}.}$

物理量電荷 Qの次元は

${\displaystyle \operatorname {dim} Q={\text{current}}\times {\text{time}}={\mathsf {T}}{\mathsf {I}}.}$

物理量電圧 Vの次元は

${\displaystyle \operatorname {dim} V={\frac {\text{power}}{\text{current}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}}{\mathsf {I}}}={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}{\mathsf {I}}^{-1}.}$

物理量静電容量 Cの次元は

${\displaystyle \operatorname {dim} C={\frac {\text{electric charge}}{\text{electric potential difference}}}={\frac {{\mathsf {T}}{\mathsf {I}}}{{\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}{\mathsf {I}}^{-1}}}={\mathsf {T^{4}}}{\mathsf {L^{-2}}}{\mathsf {M^{-1}}}{\mathsf {I^{2}}}.}$

次元解析において、レイリー法は物理学、化学、工学で使用される概念的なツールです。これは、いくつかの変数の機能的関係を指数方程式の形で表現します。この方法は、レイリー卿にちなんで名付けられました。

この方法には次の手順が含まれます。

1. 従属変数に影響を与える可能性のあるすべての独立変数を収集します。
2. R が独立変数R ₁、R ₂、R ₃、 ...、R _nに依存する変数である場合、関数方程式はR = F ( R ₁、R ₂、R ₃、 ...、R _n )と表すことができます。
3. 上記の式をR = C R ₁ ^a R ₂ ^b R ₃ ^c ... R _n ^{m の}形式で書きます。ここで、Cは無次元定数、a、b、c、...、m は任意の指数です。
4. 方程式内の各量を、解を求めるために必要な基本単位で表します。
5. 次元同次性を利用して、指数a、b、c、...、mを含む連立方程式のセットを取得します。
6. これらの方程式を解いて指数a、b、c、...、mの値を取得します。
7. 主方程式の指数の値を代入し、同様の指数を持つ変数をグループ化して無次元 パラメータを形成します。

欠点としては、レイリー法では、次元解析の結果として得られる無次元グループの数に関する情報が提供されないことです。

物理科学や工学における多くのパラメータや測定は、具体的な数値、つまり数値量とそれに対応する次元単位で表現されます。多くの場合、量はいくつかの他の量で表現されます。たとえば、速度は長さと時間の組み合わせで、たとえば時速 60 キロメートルや秒速 1.4 キロメートルなどです。「あたり」を含む複合関係は、除算で表現されます(例: 60 km/h)。その他の関係には、乗算(多くの場合、中央のドットまたは の並置で示されます)、累乗 (平方メートルの場合は m ^{2など)、またはそれらの組み合わせが含まれる場合があります。}

測定システムの基本単位とは、慣例的に選択された単位のセットであり、そのいずれも他の単位の組み合わせとして表現することはできず、システムの残りのすべての単位を表現できる単位です。^[5]たとえば、長さと時間の単位は通常、基本単位として選択されます。ただし、体積の単位は長さの基本単位 (m ³ ) に組み込むことができるため、派生単位または複合単位と見なされます。

単位の名前によっては、それが組立単位であるという事実がわかりにくい場合があります。たとえば、ニュートン(N) は力の単位で、質量 (単位 kg) と加速度 (単位 m⋅s ⁻² )の積として表すことができます。ニュートンは1 N = 1 kg⋅m⋅s ⁻²と定義されます。

パーセンテージは、同じ次元を持つ 2 つの量の比率であるため、無次元量です。言い換えると、1% = 1/100であるため、 % 記号は「100 分の 1」として読み取ることができます。

ある量に関して微分すると、その次元は、微分される変数の次元で割ります。つまり、

• 位置（x）の次元はL（長さ）である。
• 位置の時間に対する微分（dx / dt、速度）の次元はT ⁻¹ L（位置からの長さ、勾配による時間）です。
• 2番目の導関数（ d ² x / dt ² = d ( dx / dt ) / dt、加速度）の次元はT ⁻² Lです。

同様に、積分を行うと、積分する変数の次元が分子に追加されます。

• 力の次元はT ⁻² L M（質量×加速度）である。
• 物体が移動した距離（s）に対する力の積分（仕事）の次元はT ⁻² L ² Mです。${\displaystyle \textstyle \int F\ ds}$

経済学では、ストックとフローを区別します。ストックには単位（たとえば、ウィジェットまたはドル）があり、フローはストックの派生物であり、この単位を時間で割った形式の単位（たとえば、ドル/年）があります。

状況によっては、次元のある量は、いくつかの次元を省略して無次元量またはパーセンテージとして表現されます。たとえば、対 GDP 債務比率は、一般的にパーセンテージで表現されます。つまり、未払い債務総額 (通貨の次元) を年間 GDP (通貨の次元) で割ったものですが、ストックとフローを比較する場合、年間 GDP は通貨/時間 (たとえばドル/年) の次元を持つべきであり、したがって対 GDP 債務比率は年という単位を持つべきであると主張する人もいるかもしれません。これは、対 GDP 債務比率は、すべての GDP が債務に費やされ、債務がそれ以外は変わらない場合に、一定の GDP で債務を返済するために必要な年数であることを示しています。

次元解析の最も基本的な規則は次元の同質性である。^[6]

しかし、次元は乗算によってアーベル群を形成するので、次のようになります。

たとえば、1 時間は 1 キロメートルより大きいか、同じか、それとも小さいかを尋ねるのは意味がありません。これらは次元が異なるためです。また、1 時間に 1 時間を加算することも意味がありません。ただし、単位が異なっていても物理量の次元は同じであるため、1 マイルは 1 キロメートルより大きいか、同じか、それとも小さいかを尋ねるのは意味があります。一方、物体が 2 時間で 100 km 移動する場合、これらを割り算して、物体の平均速度は 50 km/h であったと結論付けることができます。

この規則は、物理的に意味のある表現では、同じ次元の量のみを加算、減算、または比較できることを意味します。たとえば、m _man、m _rat、L _manがそれぞれ、ある男性の質量、ネズミの質量、その男性の長さを表す場合、次元的に同質な表現m _man + m _{rat は}意味を持ちますが、異質な表現m _man + L _manは意味を持ちません。ただし、m _man / L ² _{man は}問題ありません。したがって、次元分析は物理方程式の妥当性チェックとして使用できます。つまり、どの方程式の両辺も通約可能であるか、同じ次元である必要があります。

2 つの物理量が同一の次元を持つ場合でも、それらを比較したり加算したりすることは無意味な場合があります。たとえば、トルクとエネルギーはT ⁻² L ² Mという次元を共有していますが、これらは根本的に異なる物理量です。

同じ寸法だが単位が異なる数量を比較、加算、減算する場合、標準的な手順は、まずすべてを同じ単位に変換することです。たとえば、32 メートルと 35 ヤードを比較するには、1 ヤード = 0.9144 mを使用して、35 ヤードを 32.004 m に変換します。

関連する原則として、現実世界を正確に記述する物理法則は、物理変数を測定するのに使用される単位から独立していなければならないというものがあります。^[7]たとえば、ニュートンの運動の法則は、距離がマイルで測定されてもキロメートルで測定されても、必ず当てはまります。この原則により、同じ次元を測定する 2 つの単位間の変換係数は、単純な定数で乗算する必要があるという形式が生まれます。また、同等性も保証されます。たとえば、2 つの建物の高さがフィートで同じである場合、メートルでも同じ高さである必要があります。

次元解析では、量を変えずに 1 つの測定単位を別の測定単位に変換する比率を変換係数と呼びます。たとえば、 kPa と bar はどちらも圧力の単位で、100 kPa = 1 barです。代数の規則では、方程式の両辺を同じ式で割ることができるため、これは100 kPa / 1 bar = 1に相当します。任意の量は 1 を掛けても変化しないため、「100 kPa / 1 bar」という式を使用して、単位を含む変換する量に掛けることで、bar から kPa に変換できます。たとえば、5 bar × 100 kPa / 1 bar = 500 kPaです。これは、 5 × 100 / 1 = 500であり、bar/bar が打ち消されるため、5 bar = 500 kPaです。

次元解析は、物理学や化学、そしてそれらの数学の分野で最もよく使用されますが、それらの分野以外にも応用されています。

次元解析を数学に応用すると、n球( n次元の固体球)の体積の形、またはその表面積であるn 球を計算することが簡単にできます。n次元^の図形なので、体積はx nに比例し、表面積は( n − 1)次元なので、 x ^{n −1}に比例します。したがって、半径に関するn球の体積は、ある定数C _nに対してC _n r ⁿです。定数を決定するにはより複雑な数学が必要ですが、その形は次元解析だけで推測して確認できます。

金融、経済、会計の分野では、次元分析はストックとフローの区別という観点から最も一般的に言及されます。より一般的には、次元分析はさまざまな財務比率、経済比率、会計比率を 解釈するために使用されます。

• たとえば、PER には時間 (単位: 年) の次元があり、「支払った価格を稼ぐために必要な収益の年数」と解釈できます。
• 経済学では、債務対GDP比率にも年という単位があります（債務には通貨の単位があり、GDPには通貨/年の単位があります）。
• 貨幣の流通速度の単位は 1/年です (GDP/マネーサプライの単位は通貨/年です)。つまり、通貨単位が 1 年に何回流通するかです。
• 毎年の継続複利金利と単利は、多くの場合パーセンテージ (無次元量) として表されますが、時間は年数から成る無次元量として表されます。ただし、時間に年が測定単位として含まれる場合、利率の次元は 1/年です。もちろん、年を時間の単位として使用することに特別なことは何もありません (通常の慣例を除き)。他の任意の時間単位を使用できます。さらに、利率と時間に測定単位が含まれる場合、それぞれに異なる単位を使用しても問題ありません。対照的に、利率と時間が無次元である場合は、共通の期間を参照する必要があります。(実効利率は無次元量としてのみ定義できることに注意してください。)
• 金融分析では、債券デュレーションは( dV / dr )/ Vと定義できます。ここで、Vは債券 (またはポートフォリオ) の価値、rは連続複利金利、dV / dr はデリバティブです。前の点から、rの次元は 1/時間です。したがって、 dr はデリバティブの「分母」にあるため、デュレーションの次元は時間 (通常は年数で表されます) です。

流体力学では、次元解析を行って無次元π項またはπ群を得る。次元解析の原理によれば、あらゆるプロトタイプは、システムの動作を記述するこれらの項またはグループのシリーズによって記述することができる。適切なπ項またはπ群を使用することで、同じ次元関係を持つモデルに対して同様のπ項セットを開発することができる。^[8]言い換えれば、π項は特定のプロトタイプを表すモデルを開発するための近道となる。流体力学における一般的な無次元群には以下のものがある。

• レイノルズ数（Re）は、一般的にあらゆる種類の流体問題で重要です。$${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho \,ud}{\mu }}.}$$
• フルード数（Fr）、自由表面を持つ流れのモデル化：$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g\,L}}}.}$$
• オイラー数（Eu）は、圧力が重要な問題で使用されます。$${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {\Delta p}{\rho u^{2}}}.}$$
• マッハ数( Ma ) は、速度が局所音速に近づくかそれを超える高速流れにおいて重要です。ここで、cは局所音速です。$${\displaystyle \mathrm {Ma} ={\frac {u}{c}},}$$

次元解析の起源については歴史家の間でも議論が続いています。^{[9] [10]}次元解析の最初の応用は、ラグランジュの弟子であるフランソワ・ダヴィエが1799年にトリノ科学アカデミーで発表した論文であるとされています。 ^[10]

このことから、意味のある法則は、様々な測定単位で同次方程式でなければならないという結論に至り、この結果は後にバッキンガムのπ定理として形式化されました。 シメオン・ポアソンも、1811年と1833年の論文（第1巻、39ページ）で、ダヴィエの平行四辺形の法則と同じ問題を扱っています。 ^{[11] 1833年の第2版では、ポアソンはダヴィエの}同次性の代わりに次元という用語を明示的に導入しています。

1822年、ナポレオンの重要な科学者ジョセフ・フーリエは、F = maのような物理法則は物理変数を測定するために使用される単位から独立しているべきであるという考えに基づいて、最初の重要な貢献^[12]を果たしました。

ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、質量、長さ、時間を基本単位として区別し、他の単位を派生単位とすることで、次元解析の現代的な使用法を確立する上で大きな役割を果たしました。^[13]マクスウェルは長さ、時間、質量を「3つの基本単位」と定義しましたが、重力質量は、ニュートンの万有引力の法則の一種で重力定数 Gを1と仮定し、M = T ⁻² L ³と定義することによって長さと時間から導出できることにも注目しました。^[14]クーロンの法則の一種でクーロン定数 k e を 1 と仮定して、マクスウェル は_静電電荷単位の次元がQ = T ⁻¹ L ^3/2 M ^1/2であることを決定しました。^[15]これにより、質量に彼のM = T ⁻² L ³方程式を代入すると、電荷は質量と同じ次元、すなわちQ = T ⁻² L ³になります。

次元解析は、理解し特徴づけたい特定の現象に関係する物理量の関係を導き出すためにも使われる。次元解析は1872年に、空がなぜ青いのかを理解しようとしていたレイリー卿によって初めて使われた。 ^[16] レイリーは1877年の著書『音響理論』でこの手法を初めて発表した。^[17]

フーリエの『運動の理論』における次元という言葉の本来の意味は、基本単位の指数の数値であった。例えば、加速度は長さの単位に対して次元1を持ち、時間の単位に対して次元-2を持つと考えられていた。^[18]これはマクスウェルによって若干変更され、加速度の次元は指数だけではなくT ^{- 2Lであると述べた。 [19]}

バネ定数 k の理想的な線形バネが重力g で吊り下げられ、質量mが振動 する場合の周期 T はどれくらいでしょうか。その周期は、変数T、m、k、gにおける無次元方程式のTに対する解です。4 つの量の次元は次のとおりです。T [T]、 m [M]、k [M/T _{2 ]、 g [L/T 2 ]。これらから、選択した変数の無次元累乗は 1 つだけ形成できます。G 1} ⁼ T 2 k ^/ m [ T 2 · ^M / T 2 / ^M = ¹ ]で、無次元定数Cに対してG ₁ = Cとすると、求める無次元方程式が得られます。変数の無次元累乗は、変数の無次元グループと呼ばれることがあります。ここで「グループ」という用語は、数学的なグループではなく「コレクション」を意味します。これらは無次元数と呼ばれることも よくあります。

変数g は群には現れません。g は次元 L を含む唯一の量であるため、gとk、m、およびTを組み合わせた無次元の累乗を形成することは不可能であることが容易にわかります。これは、この問題ではgが無関係であることを意味します。次元解析は、問題におけるいくつかの量の無関係性、または追加のパラメーターの必要性について、強力なステートメントを生成することがあります。問題を適切に記述するのに十分な変数を選択した場合、この議論から、バネ上の質量の周期はgとは無関係であり、地球でも月でも同じであると結論付けることができます。この問題の累乗の存在を示す方程式は、まったく同等の方法で記述できます。⁠ ⁠、ある無次元定数κ (元の無次元方程式 の に等しい)。${\displaystyle T=\kappa {\sqrt {\tfrac {m}{k}}}}$${\displaystyle {\sqrt {C}}}$

次元解析によって、状況の物理的記述に属すると直感的に予想される変数 (ここではg ) が拒否される場合に直面したとき、別の可能性として、拒否された変数は実際には関連しているが、他の関連変数が省略されており、それが拒否された変数と組み合わさって無次元量を形成する可能性がある、ということがあります。ただし、この場合はそうではありません。

ここでのように次元解析によって無次元群が 1 つだけ生成される場合、未知の関数は存在せず、解は「完全」であると言われます。ただし、κなどの未知の無次元定数が含まれる場合もあります。

長さ ℓ (L)の振動するワイヤが振幅 A (L)で振動している場合を考えてみましょう。ワイヤの線密度は ρ (M/L)で張力は s (LM/T ² )で、ワイヤのエネルギーE (L ² M/T ^{2 )を知りたいとします。π} ₁とπ _{2 を}、選択された変数の べき乗の2つの無次元積とすると、次の式で与えられます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}&={\frac {E}{As}}\\\pi _{2}&={\frac {\ell }{A}}.\end{aligned}}}$

ワイヤの線密度は関係ありません。見つかった2つのグループは、方程式として同等の形に組み合わせることができます。

${\displaystyle F\left({\frac {E}{As}},{\frac {\ell }{A}}\right)=0,}$

ここでFは未知の関数であり、

${\displaystyle E=Asf\left({\frac {\ell }{A}}\right),}$

ここで、f は他の未知の関数です。ここで、未知の関数は、私たちの解が不完全であることを意味しますが、次元解析によって、明らかではなかったかもしれない何かが得られました。それは、エネルギーは張力の 1 乗に比例するというものです。さらに解析的な分析がなければ、未知の関数 f の形を見つけるための実験に進むことができます。しかし、次元解析がない場合よりも実験は簡単です。エネルギーが張力に比例することを確認するために何も実行しません。あるいは、エネルギーが ℓに比例すると推測して、 E = ℓsと推論するかもしれません。実験と仮説形成の補助としての次元解析の威力が明らかになります。

次元解析の威力が真に明らかになるのは、上記とは異なり、より複雑で、関係する変数のセットが明らかでなく、基礎となる方程式がどうしようもなく複雑な状況に適用した場合です。たとえば、川底にある小さな小石を考えてみましょう。川の流れが速ければ、小石は実際に持ち上がり、水とともに流れていきます。これはどのくらいの臨界速度で起こるのでしょうか。推測された変数を整理するのは以前ほど簡単ではありません。しかし、次元解析はこのような問題を理解する上で強力な助けとなり、基礎となる方程式や制約が十分に理解されていない複雑な問題に適用される最初のツールになるのが通常です。このような場合、答えはレイノルズ数などの次元のない数に依存することがあり、次元解析によって解釈できる場合があります。

軸方向の厚さt (L)、半径R (L)の薄くて硬い平行面の回転ディスクの場合を考えてみましょう。ディスクの密度はρ (M/L ³ ) で、角速度ω (T ⁻¹ ) で回転し、材料に応力S (T ⁻² L ⁻¹ M) が生じます。この問題には、ディスクが半径に対して薄く、ディスクの面が軸方向に自由に移動でき、平面応力の構成関係が有効であると仮定できる場合、Lame によって与えられた理論的な線形弾性解があります。ディスクが半径に対して厚くなると、平面応力解は破綻します。ディスクが自由面で軸方向に拘束されている場合、平面ひずみの状態が発生します。ただし、そうでない場合、応力の状態は 3 次元弾性を考慮してのみ決定でき、この場合の理論的な解は知られていません。したがって、エンジニアは 5 つの変数間の関係を確立することに関心があるかもしれません。この場合の次元解析により、次の（5−3=2）個の無次元グループが得られる。

需要/容量 = ρR ² ω ² / S

厚さ/半径またはアスペクト比 = t / R

有限要素法などの数値実験を利用すると、図に示すように、2つの無次元グループ間の関係の性質を得ることができます。この問題は2つの無次元グループのみを含むため、完全な図が1つのプロットで提供され、回転ディスクの設計/評価チャートとして使用できます。^[20]

T、L、M などの基本的な物理次元の特定のコレクションから形成できる次元は、アーベル群を形成します。恒等式は 1 と書きます。^{[出典が必要]} L ⁰ = 1であり、 L の逆数は 1/L または L ⁻¹です。 L の任意の整数p乗は、 L ^{− p}または 1/L ^pの逆数を持つ群のメンバーです。 群の演算は乗算であり、指数の取り扱いに関する通常の規則に従います ( L ⁿ × L ^m = L ^{n + m} )。 物理的には、 1/L は長さの逆数、1/T は時間の逆数 (秒の逆数 を参照)として解釈できます。

アーベル群は整数上の加群と同等であり、次元記号T ⁱ L ^j M ^kは組( i , j , k )に対応します。物理的に測定された量 (同次元または異次元) を互いに乗算または除算すると、それらの次元単位も同様に乗算または除算されます。これは、加群における加算または減算に対応します。測定可能な量を整数乗すると、それらの量に付随する次元記号に対しても同様に乗算または除算されます。これは、加群における スカラー乗算に対応します。

このような次元記号のモジュールの基底は基本量のセットと呼ばれ、他のすべてのベクトルは組立単位と呼ばれます。どのモジュールでも、異なる基底を選択して、異なる単位系を生成することができます (たとえば、電荷の単位を電流の単位から派生させるか、またはその逆を選択するなど)。

グループのアイデンティティ、つまり無次元量の次元は、このモジュールの原点(0, 0, 0)に対応します。

場合によっては、V ^{L 1/2}のような1次元ベクトル空間の分数冪を正式に定義することによって、分数次元を定義することができます。^{[21]しかし、}表現論的な障害のため、任意の分数冪の単位を取ることはできません。^[22]

与えられた次元を持つベクトル空間は、単位（ベクトル空間の座標系に対応）を使わずに扱うことができる。例えば、次元MとLが与えられた場合、ベクトル空間V ^MとV ^Lがあり、テンソル積としてV ^ML  := V ^M ⊗ V ^Lを定義できる。同様に、双対空間は「負の」次元を持つと解釈できる。^{[23]これは、ベクトル空間とその双対空間との}自然なペアリングでは次元が打ち消され、無次元スカラーが残るという事実に対応する。

問題に含まれる物理量の単位の集合は、ベクトルの集合（または行列）に対応する。零点は、これらのベクトルを組み合わせて零ベクトルを生成するいくつかの方法（たとえば、m）を表す。これらは、（測定値から）無次元量の数、{π ₁、...、π _m }を生成することに対応する。（実際、これらの方法は、測定値のべき乗の別の異なる空間の零部分空間を完全にカバーする。）測定された量を掛け合わせて（および累乗して）導出された量Xと同じ単位を持つものを生成するあらゆる方法は、一般的な形式で表現できる。

${\displaystyle X=\prod _{i=1}^{m}(\pi _{i})^{k_{i}}\,.}$

その結果、システムの物理的性質に関するあらゆる可能な等式は、次のように書き直すことができる。

${\displaystyle f(\pi _{1},\pi _{2},...,\pi _{m})=0\,.}$

この制限を知ることは、システムに対する新たな洞察を得るための強力なツールとなり得ます。

力学における関心対象の物理量の次元は、基本次元 T、L、M で表現できます。これらは 3 次元ベクトル空間を形成します。これは基本次元の唯一の有効な選択ではありませんが、最も一般的に使用されているものです。たとえば、力、長さ、質量を基本次元として選択し (一部の人が行ったように)、関連する次元 F、L、M を選択できます。これは異なる基底に対応し、基底を変更することでこれらの表現を変換できます。したがって、基本次元セットの選択は慣例であり、実用性と親しみやすさが向上するという利点があります。基本次元の選択は完全に恣意的ではありません。なぜなら、それらは基底を形成する必要があり、空間に広がり、線形独立でなければならないためです。

たとえば、F、L、M は、T、L、M と同等の基底を形成するため、基本次元のセットを形成します。前者は [F = LM/T ^{2 ]、L、M と表現でき、後者は [T = (LM/F) 1/2} ]、L、M と表現できます。

一方、長さ、速度、時間 (T、L、V) は、次の 2 つの理由により、力学の基本次元のセットを形成しません。

• 別の基本次元を導入せずに質量、または力などの質量から派生するものを取得する方法はありません (したがって、それらは空間に広がりません)。
• 速度は長さと時間 ( V = L/T )で表現できるため冗長です (集合は線形独立ではありません)。

物理学の分野によっては、拡張された次元記号のセットを選択することが有利な場合があります。たとえば、電磁気学では、T、L、M、Q の次元を使用すると便利です。ここで、Q は電荷の次元を表します。熱力学では、基本の次元セットが温度の次元 Θ を含むように拡張されることがよくあります。化学では、物質の量(分子の数をアボガドロ定数≈で割った値) は、温度を表す単位です。6.02 × 10 ²³  mol ⁻¹）も基本次元 N として定義されます。相対論的プラズマと強いレーザーパルスの相互作用では、衝突のないVlasov 方程式の対称性特性と関連した無次元の相対論的相似性パラメータが、電磁ベクトルポテンシャルに加えてプラズマ密度、電子密度、臨界密度から構築されます。物理学のさまざまな分野で使用される次元の選択、または次元の数さえも、ある程度は任意ですが、使用の一貫性とコミュニケーションの容易さは、共通かつ必要な機能です。

ブリッジマンの定理は、物理量を定義するために使用できる関数の種類を、一般的な（次元的に複合された）量から量のべき乗の積のみに制限します。ただし、いくつかの独立した量が代数的に結合されて無次元群が生成され、その関数が無次元の数値乗係数でグループ化されている場合は除きます。^{[24] [25]} これにより、複数の項を持つ多項式や、その形式ではない超越関数は除外されます。

指数関数、三角関数、対数関数などの超越関数、または非同次多項式へのスカラー引数は、無次元量でなければなりません。(注: この要件は、以下で説明する Siano の方向解析では多少緩和されており、特定の次元付き量の 2 乗は無次元です。)

無次元数に関する数学的恒等式のほとんどは、そのまま次元量に変換できますが、比の対数には注意が必要です。対数が任意の底でとられた場合の恒等式log( a / b ) = log  a − log  bは、無次元数aとbに対して成り立ちますが、 aとbが次元数の場合は成り立ちません。なぜなら、この場合は左辺は明確に定義されているものの、右辺が定義されていないためです。^[26]

同様に、次元量の単項式( x ⁿ ) は評価できますが、次元量に無次元係数を持つ混合次数の多項式は評価できません。x ²の場合、式(3 m) ² = 9 m ^{2 は}(面積として) 意味をなしますが、x ² + xの場合、式(3 m) ² + 3 m = 9 m ² + 3 m は意味をなしません。

しかし、混合次数の多項式は、係数が適切に選択された無次元ではない物理量であれば意味をなす。例えば、

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {-9.8~m/s^{2}} )\cdot t^{2}+(\mathrm {500~m/s} )\cdot t.}$

これは、重力加速度が毎秒9.8メートルで、初期の上昇速度が毎秒500メートルの場合、時間tで物体が上昇する高さです 。tは秒単位である必要はありません。たとえば、t = 0.01分と仮定します。 その場合、最初の項は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {-9.8~m/s^{2}} )\cdot (\mathrm {0.01~min} )^{2}\\[10pt]={}&{\tfrac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)(\mathrm {min/s} )^{2}\cdot \mathrm {m} \\[10pt]={}&{\tfrac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)\cdot 60^{2}\cdot \mathrm {m} .\end{aligned}}}$

次元物理量Zの値は、その次元内の単位[ Z ]と無次元数値または数値係数nとの積として表される。^[27]

${\displaystyle Z=n\times [Z]=n[Z]}$

同じ次元の量を加算、減算、または比較する場合、これらの量の数値を直接加算または減算できるように、同じ単位で表すと便利です。しかし、概念的には、異なる単位で表された同じ次元の量を加算しても問題ありません。たとえば、1 メートルに 1 フィートを加算すると長さになりますが、単に 1 と 1 を加算するだけではその長さを導き出すことはできません。同じ次元の量の比率であり、無次元の 1 に等しい 変換係数が必要です。

${\displaystyle \mathrm {1\,ft} =\mathrm {0.3048\,m} }$と同一である${\displaystyle 1={\frac {\mathrm {0.3048\,m} }{\mathrm {1\,ft} }}.}$

係数 0.3048 m/ft は無次元の 1 と同じなので、この変換係数を掛けても何も変わりません。次に、同じ次元だが単位が異なる 2 つの量を加算する場合、適切な変換係数 (基本的には無次元の 1) を使用して量を同じ単位に変換し、数値を加算または減算できるようにします。

このようにしてのみ、異なる単位の同じ次元の量を加算することについて話すことは意味があります。

数量方程式は完全方程式とも呼ばれ、物理量を表現する際に使用される測定単位に依存せずに有効な方程式である。^[28]

一方、数値方程式では、単位がなく、数量の数値のみが表示されます。したがって、各数値が特定の単位を参照している場合にのみ有効です。

たとえば、変位 d を速度 sに時間差tを掛けた量の方程式は次のようになります。

d = s t

s = 5 m/sの場合、 tとd は任意の単位で表すことができ、必要に応じて変換できます。対照的に、対応する数値方程式は次のようになります。

D = 5トン

ここで、T は秒単位で表されたtの数値であり、 D はメートル単位で表されたdの数値です。

一般的に、数値方程式の使用は推奨されません。^[28]

得られた結果に現れる無次元定数、たとえばポアズイユの法則の問題のCや、上で説明したバネの問題のκなどは、基礎となる物理学のより詳細な分析から生じ、多くの場合、何らかの微分方程式を積分することによって生じます。次元分析自体はこれらの定数についてはあまり言及していませんが、これらの定数が 1 のオーダーの大きさを持つことは非常に多いと知っておくと便利です。この観察により、関心のある現象について「大まかな」計算を行うことができる場合があり、そのため、より効率的にその現象を測定する実験を設計したり、それが重要であるかどうかを判断したりできるようになります。

逆説的ですが、基礎理論のすべてのパラメータが無次元であっても、次元解析は有用なツールとなり得ます。例えば、イジングモデルなどの格子モデルは、相転移や臨界現象の研究に使用できます。このようなモデルは、純粋に無次元の方法で定式化できます。臨界点に近づくにつれて、格子モデル内の変数が相関する距離 (いわゆる相関長、χ ) はますます大きくなります。ここで、相関長は臨界現象に関連する重要な長さスケールであるため、例えば、「次元的根拠」に基づいて、格子サイトあたりの自由エネルギーの非解析的部分は~ 1/ χ ^{d で}あるはずであると推測できます ( dは格子の次元)。

物理学者の中には、例えばマイケル・J・ダフ^{[4] [29]}は、物理法則は本質的に無次元であると主張してきました。この観点からすると、長さ、時間、質量に相容れない次元を割り当ててきたという事実は、単に慣習の問題であり、現代物理学の出現以前には、質量、長さ、時間を互いに関連付ける方法がなかったという事実から生じています。物理学の基本方程式にある3つの独立した次元定数c、ħ、G は、質量、時間、長さを互いに変換する単なる変換係数として見なす必要があります。

格子模型の臨界特性の場合と同様に、適切なスケーリング限界で次元解析の結果を回復することができます。たとえば、力学における次元解析は、定数ħ、c、およびG（ただし、これらは次元がないと見なすことができます）を再挿入し、 c → ∞、ħ → 0、およびG → 0の限界で量の間に特異でない関係が存在することを要求することによって導くことができます。重力場を含む問題では、後者の限界は、場が有限のままになるように取られるべきです。

以下は、エネルギー、運動量、力の次元に関連する、物理学でよく使われる表現の表です。^{[30] [31] [32]}

型チェックの一部としての次元の正確性は、1977年以来研究されてきました。[ ^33] Ada ^[34]とC++ ^[35]の実装は、1985年と1988年に説明されました。 Kennedyの1996年の論文では、Standard ML ^[36]での実装と、後にF# ^[37]での実装について説明されています。Haskell ^[38] 、OCaml ^[39]、Rust ^[40] Python ^[41]の実装と、 Fortran [ 42 ]のコードチェッカーがあります。^{[ 43}
] Griffioenの2019年の論文では、KennedyのHindley-Milner型システムを拡張して、Hartの行列をサポートしました。^{[44] [45] McBrideとNordvall-Forsbergは、}依存型を使用して測定単位の型システムを拡張する 方法を示しています。 ^[46]

Mathematica 13.2 には、方程式に無次元化変換を適用する NondimensionalizationTransform という量の変換関数があります。^[47] Mathematica には、1 J などの単位の次元を見つける UnitDimensions という関数もあります。^{[ 48]} Mathematica には、DimensionalCombations という物理量のサブセットの次元的に同等な組み合わせを見つける関数もあります。 [49]また、関数 UnityDimensions に引数を指定することにより、UnitDimensions で特定の次元を因数分解することもできます。^[50]たとえば、UnityDimensions を使用して角度を因数分解することができます。^[50] UnitDimensions に加えて、Mathematica は関数QuantityVariableDimensions を使用してQuantityVariable の次元を見つけることができます。^[51]

次元解析に関する議論の中には、すべての量を数学的なベクトルとして暗黙的に記述するものもあります。数学では、スカラーはベクトルの特殊なケースであると考えられています。^[要出典]ベクトルは他のベクトルに加算または減算でき、とりわけ、スカラーで乗算または除算できます。ベクトルを使用して位置を定義する場合、暗黙の参照点、つまり原点が想定されます。これは便利で多くの場合完全に適切であり、多くの重要なエラーを検出できますが、物理学の特定の側面をモデル化できない場合があります。より厳密なアプローチでは、位置と変位（または瞬間と継続時間、絶対温度と温度変化）を区別する必要があります。

線上の点を考えてみましょう。それぞれの点は、与えられた原点を基準とした位置にあり、点間の距離も決まっています。位置と変位はすべて長さの単位を持ちますが、その意味は互換性がありません。

• 2つの変位を加えると新しい変位が得られる（10歩歩いてから20歩歩くと30歩前進する）。
• 位置に変位を加えると新しい位置が得られる（交差点から1ブロック歩くと次の交差点に着く）。
• 2つの位置を減算すると変位が得られる。
• ただし、2 つのポジションを追加することはできません。

これは、アフィン量（位置など、アフィン空間によってモデル化される量）とベクトル量（変位など、 ベクトル空間によってモデル化される量）の微妙な違いを示しています。

• ベクトル量は互いに加算されて新しいベクトル量を生成することができ、またベクトル量は適切なアフィン量に加算されて（ベクトル空間はアフィン空間に作用する）、新しいアフィン量を生成することができる。
• アフィン量は加算できませんが、減算してベクトルである相対量を生成できます。その後、これらの相対的な差を互いに加算したり、アフィン量に加算したりできます。

正確には、位置はアフィン長さの次元を持ち、変位はベクトル長さの次元を持ちます。アフィン単位に数値を割り当てるには、測定単位だけでなく参照点も選択する必要がありますが、ベクトル単位に数値を割り当てるには測定単位のみが必要です。

したがって、一部の物理量はベクトル量によってより適切にモデル化されますが、他の物理量はアフィン表現を必要とする傾向があり、その違いは次元分析に反映されます。

この区別は温度の場合に特に重要であり、絶対零度の数値はいくつかのスケールでは原点0ではない。絶対零度の場合、

−273.15 °C ≘ 0 K = 0 °R ≘ −459.67 °F、

ここで、記号 ≘ はに対応することを意味します。これは、それぞれの温度スケール上のこれらの値は対応しているものの、異なる開始点から同じ終了点までの距離が異なる量であるのと同じように、異なる量を表し、一般に同一視できないためです。

温度差については、

1 K = 1 °C ≠ 1 °F = 1 °R。

（ここで、°R はランキン温度スケールを指し、レオミュール温度スケールを指しません）。温度差の単位変換は、たとえば 1 °F / 1 K を掛けるだけです（ただし、比率は定数ではありません）。しかし、これらのスケールの一部は絶対零度に対応していないため、ある温度スケールから別の温度スケールに変換する場合は、そのことを考慮する必要があります。その結果、1 K が絶対温度 -272.15 °C を意味するのか、温度差 1 °C を意味するのかがあいまいな場合、単純な次元解析でエラーが発生する可能性があります。

基準点の問題に似ているのが方向の問題です。2 次元または 3 次元での変位は単なる長さではなく、方向と長さを組み合わせたものです。(1 次元では、この問題は正と負の区別に相当します。) したがって、多次元ユークリッド空間で 2 次元の量を比較または組み合わせるには、方位も必要です。つまり、それらを基準フレームと比較する必要があります。

これにより、以下で説明する拡張、つまり Huntley の有向次元と Siano の方向解析が実現します。

ハントリーは、次元解析は、検討中の量に新しい独立した次元を発見することで、次元行列の階数を増加させ、より強力になる可能性があることを指摘した。^[52]${\displaystyle m}$

彼は2つのアプローチを紹介しました。

• ベクトルの成分の大きさは、次元的に独立していると見なされます。たとえば、区別されていない長さの次元 L ではなく、L _{x が}x 方向の次元を表すなどです。この要件は、最終的には、物理​​的に意味のある方程式 (スカラー、ベクトル、またはテンソル) の各成分が次元的に一貫していなければならないという要件から生じます。
• 物質の量の尺度としての質量は、慣性の尺度としての質量とは次元的に独立していると考えられる。

最初のアプローチの有用性の例として、砲弾が平らな面上で発射されたと仮定して、垂直速度成分と水平速度成分⁠ ⁠で発射されたときに砲弾が移動する距離を計算したいとします。有向長さを使用しないと仮定すると、関心のある量は、移動距離R (次元 L)、 ⁠ ⁠、⁠ ⁠ (どちらも T ⁻¹ L の次元)、および重力の下向きの加速度g (次元 T ⁻² L) です。${\displaystyle v_{\text{y}}}$${\displaystyle v_{\text{x}}}$${\displaystyle v_{\text{x}}}$${\displaystyle v_{\text{y}}}$

これら 4 つの量から、範囲Rの式は次のように表せると結論付けることができます。

${\displaystyle R\propto v_{\text{x}}^{a}\,v_{\text{y}}^{b}\,g^{c}.}$

あるいは次元的に

${\displaystyle {\mathsf {L}}=\left({\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}\right)^{a+b}\left({\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}\right)^{c}}$

そこから、および⁠ ⁠が推測でき、1 つの指数が未定のままになります。これは、2 つの基本次元 T と L、および 4 つのパラメーターと 1 つの方程式があるため、予想されることです。 ${\displaystyle a+b+c=1}$${\displaystyle a+b+2c=0}$

ただし、方向付けられた長さの次元を使用する場合、はT ⁻¹ L _x、T ⁻¹ L _y、Rは L _x、gはT ⁻² L _yとして次元化されます。次元の方程式は次のようになります。 ${\displaystyle v_{\mathrm {x} }}$${\displaystyle v_{\mathrm {y} }}$

${\displaystyle {\mathsf {L}}_{\mathrm {x} }=\left({{\mathsf {T}}^{-1}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {x} }}\right)^{a}\left({{\mathsf {T}}^{-1}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {y} }}\right)^{b}\left({{\mathsf {T}}^{-2}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {y} }}\right)^{c}}$

そして、 a = 1、b = 1、c = −1として完全に解くことができます。方向付けられた長さの次元を使用することで得られる演繹力の向上は明らかです。

しかし、ハントリーの方向付けられた長さの次元の概念には、いくつかの重大な制限があります。

• 外積を含むベクトル方程式をうまく処理できない。
• また、角度を物理的な変数として使用することもうまく処理できません。

また、関心のある問題に関係する物理変数に L、L _x、L _y、L _{z の}記号を割り当てることも、しばしば非常に困難です。彼は、物理問題の「対称性」を伴う手順を呼び出します。これを確実に適用することは、しばしば非常に困難です。問題のどの部分に「対称性」の概念が呼び出されているのかが不明です。力が作用している物理的な物体の対称性なのか、力が適用される点、線、または領域の対称性なのか? 複数の物体が異なる対称性で関係している場合はどうなるのか?

円筒形のチューブに取り付けられた球形の泡を考えてみましょう。ここでは、2 つの部分の圧力差の関数として空気の流量を求めます。接続された部分に含まれる空気の粘性の Huntley 拡張次元はいくらですか? 2 つの部分の圧力の拡張次元はいくらですか? これらは同じですか、それとも異なりますか? これらの困難さにより、Huntley の方向付けられた長さの次元は実際の問題には限定的にしか適用できません。

ハントリーの 2 番目のアプローチでは、慣性の尺度としての質量 (慣性質量) と物質の量の尺度としての質量を区別することが時々有用であると主張しています (たとえば、流体力学や熱力学)。ハントリーは、物質の量を慣性質量にのみ比例する量として定義し、慣性特性は含みません。その定義にはそれ以上の制限は加えられていません。

たとえば、ポアズイユの法則の導出を考えてみましょう。円管を通る粘性流体の質量流量を求めます。慣性質量と実質質量を区別せずに、関連する変数として以下を選択できます。

基本変数は 3 つあるため、上記の 5 つの方程式から 2 つの独立した無次元変数が生成されます。

${\displaystyle \pi _{1}={\frac {\dot {m}}{\eta r}}}$

${\displaystyle \pi _{2}={\frac {p_{\mathrm {x} }\rho r^{5}}{{\dot {m}}^{2}}}}$

次元を持つ慣性質量と次元を持つ物質の量を区別すると、質量流量と密度は質量パラメータとして物質の量を使用し、圧力勾配と粘性係数は慣性質量を使用します。これで、4 つの基本パラメータと 1 つの無次元定数が得られ、次元方程式は次のように記述できます。 ${\displaystyle M_{\text{i}}}$${\displaystyle M_{\text{m}}}$

${\displaystyle C={\frac {p_{\mathrm {x} }\rho r^{4}}{\eta {\dot {m}}}}}$

ここで、Cのみが未定定数です（次元解析以外の方法では に等しいことがわかっています）。この式を質量流量について解くと、ポアズイユの法則が得られます。 ${\displaystyle \pi /8}$

ハントレーが物質量を独立した量の次元として認識したことは、それが適用可能な問題においては明らかに成功しているが、物質量の定義は解釈の余地があり、彼が仮定した 2 つの要件を超える特定性がない。与えられた物質について、単位モルを持つ SI 次元の物質量は、物質量の尺度としてのハントレーの 2 つの要件を満たしており、ハントレーの概念が適用可能な次元解析のあらゆる問題において物質量として使用できる。

慣例により、角度は無次元量であると考えられています（ただし、この賢明さについては異論があります^[53]）。例として、質量点が原点( x , y ) = (0, 0)から速度v、x軸上の角度θで発射され、重力が負のy軸に沿っている場合の発射体の問題を再度考えてみましょう。質量がx軸に戻る距離R を見つけることが望まれます。従来の分析では、無次元変数π = R g / v ²が得られますが、 Rとθの関係についての洞察は得られません。

Siano は Huntley の有向次元を、ベクトル方向を表すために方向記号 1 _x  1 _y  1 _{zと方向のない記号 1 0}を使用することで置き換えることを提案しました。^[54]したがって、Huntley の L _{x は}L1 _xになり、L は長さの次元を指定し、1 _{x は方向を指定します。Siano はさらに、方向記号には独自の代数があることを示しました。1 i −1 = 1 i}という^要件とともに_、方向記号の乗算表は次のようになります。

方向記号はグループ (クラインの 4 群または「Viergruppe」) を形成します。このシステムでは、スカラーは常に単位元と同じ方向を持ち、「問題の対称性」とは無関係です。ベクトルである物理量は、予想される方向を持ちます。つまり、z 方向の力または速度は1 _zの方向を持ちます。角度については、 z 平面にある角度θを考えます。z 平面に、 θ を鋭角の 1 つとして直角三角形を形成します。すると、直角三角形の角度に隣接する辺は1 _xの方向を持ち、反対側の辺は1 _{y の}方向を持ちます。(方向の等価性を示すために~を使用) tan( θ ) = θ  + ... ~ 1 _y /1 _xであるため、xy 平面の角度は1 _y /1 _x = 1 _zの方向を持つ必要があると結論付けられますが、これは不合理ではありません。同様の推論により、sin( θ )の方向は1 _zで、cos( θ ) の方向は 1 _{0 という}結論が導かれます。 これらは異なるため、たとえば、a cos( θ ) + b sin( θ ) という形式の物理方程式の解は存在しない(ここでaとbは実数スカラー) という結論が (正しく)導かれます。 のような式は、角度の合計の公式の特殊なケースであるため次元的に矛盾しておらず、次のように正しく記述されます。 ${\displaystyle \sin(\theta +\pi /2)=\cos(\theta )}$

${\displaystyle \sin \left(a\,1_{\text{z}}+b\,1_{\text{z}}\right)=\sin \left(a\,1_{\text{z}})\cos(b\,1_{\text{z}}\right)+\sin \left(b\,1_{\text{z}})\cos(a\,1_{\text{z}}\right),}$

これは に対して、 ⁠ ⁠となります。Siano は、3 次元空間に向きがある幾何学的角度と、空間的な向きがなく、つまり位相角の向きが⁠ ⁠である時間ベースの振動に関連付けられた位相角を区別しています。 ${\displaystyle a=\theta }$${\displaystyle b=\pi /2}$${\displaystyle \sin(\theta \,1_{\text{z}}+[\pi /2]\,1_{\text{z}})=1_{\text{z}}\cos(\theta \,1_{\text{z}})}$${\displaystyle 1_{0}}$

物理量に方向記号を割り当て、物理方程式が方向的に同次であるという要件は、実際には次元解析に似た方法で使用して、物理的問題の許容可能な解に関するより多くの情報を導き出すことができます。このアプローチでは、次元方程式を可能な限り解きます。物理変数の最小のべき乗が分数の場合、解の両辺をべき乗してすべてのべき乗が整数になるようにし、正規形にします。次に、方向方程式を解いて、方向記号の未知のべき乗に対してより制限的な条件を与えます。その結果、次元解析のみで得られる解よりも完全な解が得られます。多くの場合、追加される情報は、特定の変数のべき乗の 1 つが偶数または奇数であるということです。

例として、発射体の問題では、方向記号θ を使用すると、xy 平面にあるため次元は1 _zになり、発射体の射程範囲Rは次の形式になります。

${\displaystyle R=g^{a}\,v^{b}\,\theta ^{c}{\text{ which means }}{\mathsf {L}}\,1_{\mathrm {x} }\sim \left({\frac {{\mathsf {L}}\,1_{\text{y}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}\right)^{a}\left({\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}\right)^{b}\,1_{\mathsf {z}}^{c}.\,}$

次元同次性により、正しくa = −1およびb = 2が得られ、方向同次性により⁠ ⁠${\displaystyle 1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1}$が求められます。言い換えると、c は奇数でなければなりません。実際、必要な theta の関数はsin( θ )cos( θ )であり、これはθの奇数乗からなる級数です。

上記の乗算表を使用すると、sin( θ )とcos( θ )のテイラー級数は方向的に同次であることがわかりますが、 cos( θ )+sin( θ )やexp( θ )などの式はそうではなく、（正しく）非物理的であるとみなされます。

Siano の方向解析は、角度量を無次元とみなす従来の概念と互換性があり、方向解析では、ラジアンは依然として無次元単位とみなすことができます。量方程式の方向解析は、通常の次元解析とは別に実行され、次元解析を補足する情報が得られます。

• バッキンガムのπ定理
• 流体力学における無次元数
• フェルミ推定– 次元解析を教えるために使用
• 数値方程式
• レイリーの次元解析法
• 相似性– 次元解析の応用
• 測定システム

• ベクトルの共変性と反変性
• 外積代数
• 幾何代​​数
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• さまざまな物理量の次元のリスト
• 次元解析による単位変換を行う Unicalc Live ウェブ計算機
• Boostオープンソースライブラリにおけるコンパイル時次元解析のC++実装
• バッキンガムの円周率定理
• 次元アプローチに基づく単位変換のための数量システム計算機 2017年12月24日アーカイブWayback Machine
• 単位、数量、基本定数プロジェクトの次元分析マップ
• Bowley, Roger (2009)。「次元分析」。60のシンボル。ノッティンガム大学のBrady Haran 氏による。
• Dureisseix, David (2019). 次元解析入門（講義）。INSA Lyon。