理想の過激派

数学の一分野である環論において、可換環のイデアルの根基は、の何らかの冪がにある場合にのみ、元が根基にあるという性質によって定義される別のイデアルです。イデアルの根基を取ることを根基化といいます。根基イデアル(または半素イデアル) は、その根基に等しいイデアルです。主イデアルの根基は素イデアルです。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle I}$

この概念は、半素数環の記事で非可換環に一般化されています。

可換環上のイデアルの根基は、またはで表され、次のように定義される。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {rad} (I)}$${\displaystyle {\sqrt {I}}}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\left\{r\in R\mid r^{n}\in I\ {\hbox{for some}}\ n\in \mathbb {Z} ^{+}\!\right\},}$

（ に注意）。直感的に、は環内の の元の根をすべて取ることによって得られます。同様に、は商環の冪零元のイデアル（冪根基）の逆像です（自然写像 経由）。後者はがイデアルであることを証明します。 ^{[注 1]}${\displaystyle I\subseteq {\sqrt {I}}}$${\displaystyle {\sqrt {I}}}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle R/I}$${\displaystyle \pi \colon R\to R/I}$${\displaystyle {\sqrt {I}}}$

の根基が有限生成であれば、 の何らかの冪が に含まれます。^[1]特に、と がネーター環のイデアルである場合、と が同じ根基を持つのは、が の何らかの冪を含み が の何らかの冪を含む場合であり、その場合に限ります。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle {\sqrt {I}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J}$${\displaystyle I}$

イデアルがそれ自身の根号と一致する場合、それは根号イデアルまたは半素イデアルと呼ばれます。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$

• 整数環を考えてみましょう。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
  1. の整数倍のイデアルの根号は(偶数)です。${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$
  2. の部首はです。${\displaystyle 5\mathbb {Z} }$${\displaystyle 5\mathbb {Z} }$
  3. の部首はです。${\displaystyle 12\mathbb {Z} }$${\displaystyle 6\mathbb {Z} }$
  4. 一般に、 の根号はであり、 はのすべての異なる素因数の積であり、 の最大の二乗自由因数です（整数 の根号を参照）。実際、これは任意のイデアルに一般化されます（「プロパティ」セクションを参照）。${\displaystyle m\mathbb {Z} }$${\displaystyle r\mathbb {Z} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$
• 理想を考えてみましょう。基本的な性質を使って示すのは簡単です。${\displaystyle I=\left(y^{4}\right)\subseteq \mathbb {C} [x,y]}$${\displaystyle {\sqrt {I}}=(y)}$${\displaystyle {\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}}$）、しかし、我々はいくつかの代替方法を提示する: ^{[明確化が必要]}根号は商環 のnil 根号に対応し、これは商環のすべての素イデアルの共通部分である。これは、体への準同型の核であるすべての極大イデアルの共通部分であるヤコブソン根号に含まれます。任意の環準同型は、明確に定義された準同型を持つためには、核にがなければなりません(例えば、核がの合成であるべきだと言った場合、となり、これは を強制しようとするのと同じです)。は代数的に閉じているので、すべての準同型はを因数分解する必要があるため、の根号を計算するにはの共通部分を計算するだけで済みます。すると、${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {0}}}$${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y]/\!\left(y^{4}\right)}$${\displaystyle R\to \mathbb {C} }$${\displaystyle y}$${\displaystyle (x,y-1)}$${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]\to R\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \left(x,y^{4},y-1\right)}$${\displaystyle 1=0}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle R\to \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \{\ker(\Phi ):\Phi \in \operatorname {Hom} (R,\mathbb {C} )\}}$${\displaystyle (0).}$${\displaystyle {\sqrt {0}}=(y)\subseteq R.}$

このセクションでは、 I が可換環のイデアルであるという慣例を続けます。 ${\displaystyle R}$

• は常に真です。つまり、根号化はべき等演算です。さらに、は を含む最小の根号イデアルです。${\textstyle {\sqrt {\sqrt {I}}}={\sqrt {I}}}$${\displaystyle {\sqrt {I}}}$${\displaystyle I}$
• ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$は を含むすべての素イデアルの共通部分であり、したがって素イデアルの根号はそれ自身に等しい。証明:一方で、すべての素イデアルは根号であるため、この共通部分には が含まれる。が に含まれないの元であるとし、集合 を とします。 の定義により、 はと互いに素でなければならない。は乗法的に閉じているでもある。したがって、クルルの定理の変形により、を含み、かつ とは互いに素である素イデアルが存在する(素イデアル を参照)。は を含むが は含まないことから、は を含む素イデアルの共通部分に含まれないことがわかる。これで証明は終了である。この主張はもう少し強化されるかもしれない。 の根号はを含むものの中で極小となるのすべての素イデアルの共通部分である。${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$$${\displaystyle {\sqrt {I}}=\bigcap _{\stackrel {{\mathfrak {p}}{\text{ prime}}}{R\supset {\mathfrak {p}}\supseteq I}}{\mathfrak {p}},}$$${\displaystyle {\sqrt {I}}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\sqrt {I}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \left\{r^{n}\mid n=0,1,2,\ldots \right\}}$${\displaystyle {\sqrt {I}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle I}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$
• 最後の点を特殊化すると、冪零元の集合である零根号は、すべての素イデアルの共通部分に等しい。 ^{[注 2]}この性質は、自然写像 を介して前者と同等であることがわかり、一対一 が得られる。 [ ^{2] [注 3]}で定義される。${\displaystyle R}$ $${\displaystyle {\sqrt {0}}={\mathfrak {N}}_{R}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\subsetneq R{\text{ prime}}}{\mathfrak {p}}.}$$${\displaystyle \pi \colon R\to R/I}$ ${\displaystyle u}$$${\displaystyle \left\lbrace {\text{ideals }}J\mid R\supseteq J\supseteq I\right\rbrace \quad {\overset {u}{\rightleftharpoons }}\quad \left\lbrace {\text{ideals }}J\mid J\subseteq R/I\right\rbrace ,}$$${\displaystyle u\colon J\mapsto J/I=\lbrace r+I\mid r\in J\rbrace .}$
• 環のイデアルが根基的となるのは、商環が約数化される場合に限ります。${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$
• 同次イデアルの根号は同次である。
• イデアルの共通部分の根号は、それらの根号の共通部分に等しくなります。${\displaystyle {\sqrt {I\cap J}}={\sqrt {I}}\cap {\sqrt {J}}}$
• 一次イデアルの根号は素数である。イデアルの根号が最大であれば、は一次である。^[3]${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$
• がイデアルである場合、 。素イデアルは根基イデアルであるため、任意の素イデアル に対して。${\displaystyle I}$${\displaystyle {\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}}$${\displaystyle {\sqrt {{\mathfrak {p}}^{n}}}={\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$
• を環のイデアルとします。 が最大ならば、 は最大です。^{[注 4]}${\displaystyle I,J}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\sqrt {I}},{\sqrt {J}}}$${\displaystyle I,J}$
• をネーター環上の有限生成加群とする。^[4]はのサポートであり、はの関連する素数の集合である。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$$${\displaystyle {\sqrt {\operatorname {ann} _{R}(M)}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\,\in \,\operatorname {supp} M}{\mathfrak {p}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\,\in \,\operatorname {ass} M}{\mathfrak {p}}}$$${\displaystyle \operatorname {supp} M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {ass} M}$${\displaystyle M}$

根号を研究する主な動機は、可換代数におけるヒルベルトの零定理である。この有名な定理の1つのバージョンは、代数的に閉じた体上の多項式環の任意のイデアルに対して、 ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \mathbb {k} [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {k} }$

${\displaystyle \operatorname {I} (\operatorname {V} (J))={\sqrt {J}}}$

どこ

${\displaystyle \operatorname {V} (J)=\left\{x\in \mathbb {k} ^{n}\mid f(x)=0{\mbox{ for all }}f\in J\right\}}$

そして

${\displaystyle \operatorname {I} (V)=\{f\in \mathbb {k} [x_{1},x_{2},\ldots x_{n}]\mid f(x)=0{\mbox{ for all }}x\in V\}.}$

幾何学的には、多様体が 多項式方程式によって切り出されると、 で消える他の多項式はイデアル の根号内の多項式のみになることを意味します。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f_{1}=0,\ldots ,f_{r}=0}$${\displaystyle V}$${\displaystyle (f_{1},\ldots ,f_{r})}$

別の言い方をすると、合成は環のイデアルの集合上の 閉包演算子です。${\displaystyle \operatorname {I} (\operatorname {V} (-))={\sqrt {-}}}$

• ジェイコブソンラジカル
• 環のニル基
• 本当の過激派

• アティヤ、マイケル・フランシス、マクドナルド、イアン・G. (1994)。可換代数入門。マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスリー。ISBN 0-201-40751-5。
• アイゼンバッド、デイヴィッド（1995）。代数幾何学を視野に入れた可換代数。Graduate Texts in Mathematics。第150巻。ニューヨーク：Springer- Verlag。ISBN 0-387-94268-8. MR  1322960。
• ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95385-4、MR  1878556、Zbl  0984.00001