活用クラス

数学、特に群論では、2つの要素${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$群の要素は、ある要素が存在する場合に共役である。${\displaystyle g}$グループ内で${\displaystyle b=gag^{-1}.}$これは同値関係であり、その同値類は共役類と呼ばれます。言い換えれば、各共役類は写像に関して閉じています。${\displaystyle a\mapsto ギャグ^{-1},}$と${\displaystyle g}$グループの一員。

同じ共役類に属する要素は、群構造だけでは区別できないため、多くの性質を共有します。非アーベル群の共役類の研究は、その構造の研究の基礎となります。^{[ 1 ] [ 2 ]}アーベル群の場合、各共役類は1つの要素を含む集合（単一要素集合）です。

同じ共役類に属する要素に対して定数となる関数は、クラス関数と呼ばれます。

共役の概念は、要素から部分集合に拡張することができます。部分集合${\displaystyle S}$そして${\displaystyle T}$の${\displaystyle G}$要素が存在する場合、共役である。${\displaystyle g\in G}$そのため${\displaystyle T=gSg^{-1},}$どこ${\displaystyle gSg^{-1}=\left\{gsg^{-1}:s\in S\right\}.}$の共役類${\displaystyle S}$は、のすべての部分集合の集合です。${\displaystyle G}$共役${\displaystyle S.}$正規部分群は、その共役類が単一の要素、すなわち自身のみを含むという性質によって定義される。正規部分群は、商群や群準同型写像の研究において重要な役割を果たす。

共役の概念は、要素のラベル付けを変更した後、2つの群要素が「同じ」とみなされるという考えを形式化しようとしたことから生まれたのかもしれない。

例えば、対称群を考えてみましょう。${\displaystyle S_{5}}$5! のオーダーの要素${\displaystyle \sigma }$そして${\displaystyle \pi \sigma \pi ^{-1}}$共役な要素。${\displaystyle \pi \sigma \pi ^{-1}}$要素の名前を単に「変更」することと見なすことができる${\displaystyle 1,2,3,4,5}$に${\displaystyle \pi (1),\pi (2),\pi (3),\pi (4),\pi (5)}$次に順列を適用する${\displaystyle \sigma }$この新しい表示について。

${\displaystyle {\text{もし }}\sigma ={\begin{matrix}1\mapsto 3\\2\mapsto 1\\3\mapsto 5\\4\mapsto 2\\5\mapsto 4\end{matrix}}\quad {\text{ならば }}\pi \sigma \pi ^{-1}={\begin{matrix}\pi (1)\mapsto \pi (3)\\\pi (2)\mapsto \pi (1)\\\pi (3)\mapsto \pi (5)\\\pi (4)\mapsto \pi (2)\\\pi (5)\mapsto \pi (4)\end{matrix}}}$

共役作用${\displaystyle \pi }$根本的な構造は変化しない${\displaystyle \sigma }$ある意味では、順列${\displaystyle \sigma }$そして${\displaystyle \pi \sigma \pi ^{-1}}$同じ「形」を持つ。^{[ 3 ]}これには、順序、パリティ、次数、サイクルタイプなどが含まれる。

一般的に、地図${\displaystyle a\mapsto ギャグ^{-1},}$どこ${\displaystyle g}$グループの固定要素です${\displaystyle G}$は自己同型である${\displaystyle G}$つまり、地図から${\displaystyle G}$群構造を保持する自己同型写像​​。このような自己同型写像​​を内部自己同型写像​​と呼ぶ。

共役作用を説明するもう一つの方法は、一般線形群を考えることである。${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$可逆行列の2 つの行列${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$共役行列が存在する場合${\displaystyle P}$そのため${\displaystyle B=PAP^{-1}}$これは行列の類似性と同じ条件です。2 つの行列は、異なる可能性のある 2 つの基底の下で「同じ」である場合、共役行列です。${\displaystyle P}$は基底変換行列である。

三次元回転の研究では、ベクトルは次のように表されることがあります。$2×2$複素行列。ベクトルの回転は、別のベクトルによる共役として実現される。$2×2$要素がケイリー・クラインパラメータである複素行列であり、単位四元数を用いて表現することもできる演算。

共役部分群は、群論のいくつかの重要な定理に登場します。その一例として、シローの定理の1つがあり、固定された素数に対して、${\displaystyle p}$すべてシロー${\displaystyle p}$有限群の部分群${\displaystyle G}$互いに共役である。

させて${\displaystyle G}$グループである。2つの要素${\displaystyle a,b\in G}$要素が存在する場合、共役である。${\displaystyle g\in G}$そのため${\displaystyle gag^{-1}=b,}$その場合${\displaystyle b}$は共役と呼ばれます${\displaystyle a}$そして${\displaystyle a}$は共役と呼ばれます${\displaystyle b.}$

一般線形群の場合${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$可逆行列の場合、共役関係は 行列の相似性と呼ばれます。

共役は同値関係であり、したがって分割であることは容易に示せる。${\displaystyle G}$同値類に分類する。（これは、群のすべての要素が正確に 1 つの共役類に属し、クラスが${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)}$そして${\displaystyle \operatorname {Cl} (b)}$等しいのは、${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$（共役であり、そうでない場合は互いに素である。）要素を含む同値類${\displaystyle a\in G}$は $${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)=\left\{gag^{-1}:g\in G\right\}}$$ そして、それは共役類と呼ばれ、${\displaystyle a.}$のクラス番号${\displaystyle G}$は、異なる（等価でない）共役類の数です。

共役類は、記述によって参照することも、より簡潔に「6A」のように略語で参照することもできます。「6A」は「位数6の要素を持つ特定の共役類」を意味し、「6B」は位数6の要素を持つ別の共役類を意味します。共役類1Aは、位数1の恒等式の共役類です。場合によっては、共役類を統一的に記述することができます。たとえば、対称群では、サイクル型によって記述できます。

アイデンティティ要素は常にそのクラスで唯一の要素です。${\displaystyle \operatorname {Cl} (e)=\{e\}.}$より一般的には、要素${\displaystyle a\in G}$中央に位置する${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$の${\displaystyle G}$その共役類が要素を1つだけ持つ場合に限り、${\displaystyle a}$それ自体。これは、もし${\displaystyle a\in \operatorname {Z} (G)}$それから${\displaystyle gag^{-1}=a}$すべての人々のために${\displaystyle g\in G.}$したがって、${\displaystyle G}$アーベル群である、${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)=\{a\}}$すべての人々のために${\displaystyle a\in G}$（そしてその逆もまた真である：すべての共役類が単一要素である場合、${\displaystyle G}$（アーベル群である）。

2つの要素${\displaystyle a,b\in G}$同じ共役類に属する（つまり、共役である場合）ならば、それらは同じ順序を持つ。より一般的には、${\displaystyle a}$は、次のような声明に翻訳できます。${\displaystyle b=gag^{-1},}$地図が${\displaystyle \varphi (x)=gxg^{-1},}$前述のように、は自己同型である${\displaystyle G}$。

例えば、${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$共役であれば、それらの力も共役である。${\displaystyle a^{k}}$そして${\displaystyle b^{k}.}$（証明：もし${\displaystyle a=gbg^{-1}}$それから${\displaystyle a^{k}=\left(gbg^{-1}\right)\left(gbg^{-1}\right)\cdots \left(gbg^{-1}\right)=gb^{k}g^{-1}.}$) したがって、k乗を取ると共役類の写像が得られ、どの共役類がその逆像に含まれるかを考えることができます。たとえば、対称群では、タイプ (3)(2) (3 サイクルと 2 サイクル) の要素の二乗はタイプ (3) の要素であるため、(3) のべき乗クラスの 1 つはクラス (3)(2) (ここで${\displaystyle a}$パワーアップクラス${\displaystyle a^{k}}$)

内部自己同型${\displaystyle G}$によって与えられた${\displaystyle a\mapsto gag^{-1}}$恒等自己同型であるのは、${\displaystyle g\in \operatorname {Z} (G)}$これは商群が${\displaystyle G/\operatorname {Z} (G)}$は、内部自己同型群と同型である。${\displaystyle G.}$

対称群${\displaystyle S_{3},}$3つの要素の6つの順列から構成され、3つの共役類を持つ。

1. 変更なし：${\displaystyle (abc\to abc)}$
2. 2つを入れ替える：${\displaystyle (abc\to acb,abc\to bac,abc\to cba)}$
3. 3つすべてを循環的に組み合わせたもの：${\displaystyle (abc\to bca,abc\to cab)}$

これら３つの分類は、正三角形の等長変換の分類にも対応している。

例えば、上記の3番目のクラス（それぞれ正三角形を120度と240度回転させたものに対応）では、gの選択肢として転置が考えられる。 ${\displaystyle abc\to acb}$2 番目のクラス (三角形を軸(a を通る) を中心に反転させることに対応し、これはその逆操作です) から: 三角形を垂直に反転させ、次に 120 度回転させ、次に再び反転させます (${\displaystyle abc\to acb\to bac\to bca}$）は、反転していない三角形を 270 度回転させることに相当します（${\displaystyle abc\to bca}$)

対称群${\displaystyle S_{4},}$4 つの要素の 24 通りの順列から成り、5 つの共役類があり、サイクル表記を使用してそのメンバーがリストされています。^{[ 4 ]}

1. 変更なし：${\displaystyle \{(1)\}}$
2. 2つを入れ替える：${\displaystyle \{(12),(13),(14),(23),(24),(34)\}}$
3. 3つの要素からなる巡回順列：${\displaystyle \{(123),(124),(132),(134),(142),(143),(234),(243)\}}$
4. 4つすべてを巡回的に並べたもの：${\displaystyle \{(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)\}}$
5. 2つを入れ替えるだけでなく、他の2つも入れ替える：${\displaystyle \{(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}}$

一般に、対称群の共役類の数は${\displaystyle S_{n}}$は、​${\displaystyle n.}$ これは、各共役類がちょうど 1 つの分割に対応するためです。${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$サイクルに、要素の順列まで${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}.}$サイズ${\displaystyle \operatorname {Cl} (\sigma ),}$のために${\displaystyle \sigma \in S_{m},}$はサイクル長から計算できます。${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{s}}$サイクルタイプでサイクルの長さとして現れる異なる整数である。${\displaystyle \sigma }$（1サイクルを含む）そして${\displaystyle k_{i}}$長さのサイクルの数とする${\displaystyle m_{i}}$各${\displaystyle i=1,2,\ldots ,s}$（となることによって${\textstyle \sum _{i=1}^{s}k_{i}m_{i}=n}$) 次に、${\displaystyle \operatorname {Cl} (\sigma )}$[ ^{1 ]​}$${\displaystyle {\frac {n!}{\left(k_{1}!\,m_{1}^{k_{1}}\right)\left(k_{2}!\,m_{2}^{k_{2}}\right)\cdots \left(k_{s}!\,m_{s}^{k_{s}}\right)}}.}$$

二面角群${\displaystyle D_{5}}$五角形の対称性から成り、4つの共役類を持つ：^{[ 5 ]}

1. アイデンティティ要素：${\displaystyle \{1\}}$
2. サイズ2の共役類が2つ：${\displaystyle \{r,r^{4}\},\{r^{2},r^{3}\}}$
3. すべての考察：${\displaystyle \{s,rs,r^{2}s,r^{3}s,r^{4}s\}}$

任意の２つの要素について${\displaystyle g,x\in G,}$させて $${\displaystyle g\cdot x:=gxg^{-1}.}$$ これはグループアクションを定義します${\displaystyle G}$の上${\displaystyle G.}$この作用の軌道は共役類である。${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$中心化者を表す${\displaystyle a\in G,}$すなわち、すべての要素からなる部分群${\displaystyle b\in G}$そのため${\displaystyle ba=ab.}$次に、特定の要素の安定器${\displaystyle x\in G}$は${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(x).}$^{[ 6 ]}さらに、固定された要素の集合は${\displaystyle g\in G}$活用の下では${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(g).}$

より一般的には、任意の部分集合が与えられた場合${\displaystyle S\subseteq G}$（${\displaystyle S}$（必ずしもサブグループではない）サブセットを定義する${\displaystyle T\subseteq G}$共役する${\displaystyle S}$もし存在するならば${\displaystyle g\in G}$そのため${\displaystyle T=gSg^{-1}.}$させて${\displaystyle \operatorname {Cl} (S)}$すべての部分集合の集合とする${\displaystyle T\subseteq G}$そのため${\displaystyle T}$共役は${\displaystyle S.}$

グループアクションを定義する${\displaystyle G}$すべての部分集合の集合上で${\displaystyle G,}$書くことによって $${\displaystyle g\cdot S:=gSg^{-1}.}$$要素の共役類の要素数に関する結果は、以前に使用した議論と同様の議論を用いて部分集合の場合に一般化される。すなわち、共役類の要素間には1対1の対応関係がある。${\displaystyle S}$および剰余類${\displaystyle \operatorname {N} (S),}$正規化器${\displaystyle S,}$なぜなら、もし${\displaystyle g,h\in G,}$それから${\displaystyle gSg^{-1}=hSh^{-1}}$かつその場合に限り${\displaystyle g^{-1}h\in \operatorname {N} (S),}$言い換えれば、${\displaystyle g{\text{ and }}h}$同じ剰余類に属する${\displaystyle \operatorname {N} (S).}$その結果、指数は${\displaystyle \operatorname {N} (S)}$で${\displaystyle G}$の濃度に等しい${\displaystyle \operatorname {Cl} (S)}$: $${\displaystyle |{\operatorname {Cl} (S)}|=[G:N(S)].}$$ 使用することで${\displaystyle S=\{a\},}$この式は、単一要素の正規化子がその中心化子と等しいことから、共役類の要素数について先に述べた式に特化している。

上記は、サブグループについて話す際に特に役立ちます。${\displaystyle G.}$したがって、部分群は共役類に分類でき、2つの部分群が同じ類に属するのは、それらが共役である場合に限る。共役部分群は同型であるが、同型部分群は必ずしも共役であるとは限らない。例えば、アーベル群には同型であるが共役ではない2つの異なる部分群が存在する可能性がある。

経路連結位相空間の基本群における共役類は、自由ホモトピーの下での自由ループの同値類と考えることができる。

任意の有限群において、複素数上の非同型既約表現の数は、共役類の数と正確に一致する。

• 位相共役性– 位相幾何学における概念 
• FC群– 群論における群（数学） 
• 共役閉鎖部分群

• グリレ、ピエール・アントワーヌ（2007）。抽象代数学。大学院数学テキスト。第 242巻（第2 版）。シュプリンガー。ISBN 978-0-387-71567-4。

• 「共役元」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]