7番目の力

算術と代数学において、数nの7乗は、 nを 7 回掛け合わせた結果です。つまり、

n ⁷ = n × n × n × n × n × n × n。

7 乗は、ある数をその6 乗で乗算したり、ある数をその5 乗で乗算したり、ある数をその3 乗で乗算したりすることによっても形成されます。

整数の 7 乗の順序は次のとおりです。

0、1、128、2187、16384、78125、279936、823543、2097152、4782969、10000000、19487171、35831808、62748517、105413504、 170859375、268435456、410338673、612220032、893871739、1280000000、1801088541、2494357888、3404825447、45864714​​24、 6103515625、 8031810176、...（OEISの配列A001015）

ロバート・レコードの古風な記法では、数の7乗は「第2超立体」と呼ばれていました。^[1]

レナード・ユージン・ディクソンは、ウォーリングの問題の7乗の一般化を研究し、すべての非負整数は最大258の非負7乗の和として表すことができることを示した^[2]（1 ⁷は1、2 ⁷は128）。有限個を除くすべての正の整数は、最大46の7乗の和としてより単純に表すことができます。^[3]負の整数の累乗が許される場合、必要な累乗は12のみです。^[4]

4つの正の7乗の和として2つの異なる方法で表すことができる最小の数は2056364173794800である。^[5]

8つの異なる7乗の合計として表される最小の7乗は次の通りである: ^[6]

${\displaystyle 102^{7}=12^{7}+35^{7}+53^{7}+58^{7}+64^{7}+83^{7}+85^{7} +90^{7}.}$

7つの7乗の和として表現できる7乗の2つの既知の例は、

${\displaystyle 568^{7}=127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7} }$（M.ドドリル、1999年）^[7]

そして

${\displaystyle 626^{7}=625^{7}+309^{7}+258^{7}+255^{7}+158^{7}+148^{7}+91^{7} }$（モーリス・ブロンド、2000年11月14日）^[7]

和に含まれる項の数が少ない例は、オイラーの累乗の和に関する予想に対する反例となる。この予想は、現在のところ 4 乗と 5 乗の場合のみ誤りであることが分かっている。

• 8番目の力
• 第六の力
• 5 乗 (代数)
• 第四の力
• 立方体（代数）
• 平方（代数）