標準地図

数学において、正準写像（かのうじょうしゃぼう、英: canonical map）は自然写像とも呼ばれ、オブジェクトの定義または構築から自然に生じるオブジェクト間の写像または射である。多くの場合、最も広い範囲の構造を保持する写像である。正準写像の選択は、慣例（たとえば、符号慣例）に依存することがある。

これに密接に関連する概念として、構造マップまたは構造モルフィズムがあります。これは、オブジェクト上の特定の構造に付随するマップまたはモルフィズムです。これらは、標準マップと呼ばれることもあります。

正準同型とは、正準写像であり、かつ同型でもある（つまり、可逆である）写像である。状況によっては、正準写像または正準同型の選択の問題に対処する必要があるかもしれない。典型的な例については、prestack を参照のこと。

正準写像を定義する問題に関する議論については、2022年グロタンディーク会議でのKevin Buzzardの講演を参照してください。^[1]

• N が群Gの正規部分群である場合、 Gから商群G / Nへの標準射影群準同型が存在し、これは元g をgによって決定される剰余類に送信します。
• I が環Rのイデアルである場合、 Rから商環R/Iへの標準射影環準同型が存在し、これは元r をその剰余類I+rに写します。
• Vがベクトル空間である場合、 Vから Vの第二双対空間への標準写像が存在し、これはベクトルv をf _v (λ) = λ( v )で定義される線型関数 f _vに送ります。
• f: R → Sが可換環間の準同型である場合、S はR上の代数と見なすことができます。環準同型fは構造写像（代数構造に対して）と呼ばれます。素スペクトル上の対応する写像f ^* : Spec( S ) → Spec( R )も構造写像と呼ばれます。
• E が位相空間X上のベクトル束である場合、 EからXへの射影写像は構造写像です。
• 位相幾何学において、正準写像とは、集合X → X/R ( Xを法とするR )を写像する関数fである。ここで、 R はX上の同値関係であり、X内の各x を同値類[ x ] を法とするRに写像する。^[2]

• 自然な変化