Loading article…
| ||||
|---|---|---|---|---|
| 枢機卿 | 0、ゼロ、「オー」（/ oʊ /）、ゼロ、ゼロ、ゼロ | |||
| 序数 | ゼロ、ゼロ、0番目 | |||
| ラテン語の 接頭辞 | ヌル | |||
| バイナリ | 0 2 | |||
| 三元 | 0 3 | |||
| セナリー | 0 6 | |||
| 八進数 | 0 8 | |||
| 12進数 | 0 12 | |||
| 16進数 | 0 16 | |||
| アラビア語、クルド語、ペルシャ語、シンド語、ウルドゥー語 | ٠ | |||
| ヒンドゥー数字 | ० | |||
| 中国語 | 零、〇 | |||
| ビルマ語 | ၀ | |||
| クメール語 | ០ | |||
| タイ語 | ๐ | |||
| アッサム語、ベンガル語 | ০ | |||
| マヤ数字 | 𝋠 | |||
| モールス信号 | _ _ _ _ _ | |||
0 (ゼロ) は、空の量を表す数です。任意の数に 0 を加えても、その数は変化しません。数学用語では、0 は整数、有理数、実数、複素数、およびその他の代数構造の加法単位元です。任意の数に 0 を掛けると結果は 0 になり、したがって、算術ではゼロによる除算は意味を持ちません。
0 は、数字として、 10 進表記において重要な役割を果たします。0 は、0 を含む位置に対応する10 の累乗が合計に寄与しないことを示します。たとえば、10 進数の「205」は、10 が 2 つ、10 が 0 つ、1 が 5 つであることを意味します。同じ原則が、 2進数や16 進数など、10 以外の基数を使用する位取り記数法にも適用されます。0 のこの現代的な使用法は、中世イスラムの数学者を介してヨーロッパに伝わり、フィボナッチによって普及したインドの数学に由来しています。これは、マヤによって独自に使用されていました。
英語で数字 0 の一般的な呼び名には、 zero、nought、naught ( / n ɔː t / )、nilなどがあります。少なくとも 1 つの隣接する数字によって文字 Oと区別される文脈では、この数字はohまたはo ( / oʊ / )と発音されることがあります。0 の非公式または俗語にはzilchやzipなどがあります。歴史的には、ought、aught ( / ɔː t / )、cipherも使用されていました。
語源
ゼロという語は、イタリア語のゼロからフランス語のzéroを経て英語に入りました。これはイタリア語のzefiroのヴェネツィア語のzevero形がṣafiraまたはṣifrを経由して短縮したものです。[1]イスラム以前の時代、ṣifr（アラビア語صفر）という言葉は「空」を意味していました。[2] Sifrはインドのśūnya（サンスクリット語：शून्य ）を翻訳するのに使われてゼロを意味するようになりました。[2]英語でゼロが最初に使われたのは1598年のことです。[3]
北アフリカで育ち、ヨーロッパに十進法を導入したとされるイタリアの数学者フィボナッチ（ 1170年頃- 1250 年頃）は、 zephyrumという用語を使用していました。これはイタリア語でzefiroとなり、その後ヴェネツィア語でゼロに短縮されました。イタリア語のzefiro （ラテン語とギリシャ語のZephyrusから「西風」を意味する）はすでに存在しており、アラビア語のṣifrを転写する際の綴りに影響を与えた可能性があります。[4]
現代の用法
文脈によっては、数字のゼロ、またはゼロの概念を表すために異なる単語が使用される場合があります。単純に欠けているという概念を表す場合は、「nothing」や「none」という言葉がよく使用されます。イギリス英語の「nought」や「naught」、および「nil」も同義語です。[5] [6]
電話番号、住所、クレジットカード番号、軍用時刻、年などの数字列を読み上げる文脈では、文字「オー」がよく使われます。たとえば、市外局番201 は「ツーオーワン」と発音され、1907 年は「ナインティーンオーセブン」と発音されることがよくあります。他の数字が存在すると、その列には数字しか含まれていないことを示し、文字「オー」との混同を回避します。このため、文字と数字の両方を含む列 (カナダの郵便番号など) を含むシステムでは、文字「オー」の使用が除外される場合があります。[引用が必要]
ゼロを表す俗語には、「zip」、「zilch」、「nada」、「scratch」などがある。[7]スポーツの文脈では、特にイギリス英語では「nil」が使われることがある。いくつかのスポーツでは、テニスの「 love」（フランス語のl'œuf、「卵」に由来）やクリケットの「 duck」 （「duck's egg」の短縮形）など、スコアがゼロを表す特定の言葉がある。「Goose egg」もゼロを表す一般的な俗語である。[7]
歴史
古代近東
古代エジプトの数字は10進数だった。[8]数字には象形文字が使われ、位置は関係なかった。紀元前1770年頃に書かれたパピルスには、書記官がファラオの宮廷の日々の収入と支出を記録し、受け取った食料の量が支出額と正確に等しい場合を示すためにnfr象形文字が使われていた。エジプト学者のアラン・ガーディナーは、 nfr象形文字がゼロの記号として使われていたと示唆した。同じ記号は墓やピラミッドの絵で基準レベルを示すためにも使われ、距離は基準線を基準としてこの線の上または下として測定された。[9]
紀元前2千年紀の中頃までに、バビロニアの数学は60進法の洗練された位取り記数法を採用していた。位取り記数法の数値が欠落している（またはゼロである）場合は、 60進法の数値の間にスペースを入れることで示した。キシュで発掘された粘土板（紀元前700年頃のもの）では、書記官ベル・バン・アプルが同じバビロニアの記数法で3つのフックをプレースホルダーとして使用していた。[10]紀元前300年までに、句読点記号（2つの斜めのくさび）がプレースホルダーとして再利用された。[11] [12]
バビロニアの位取り記数法は、後のヒンドゥー・アラビア数字法とは異なり、先頭の60進数の桁を明示的に指定しなかったため、例えば、1（
) は 1、60、3600 = 60 2などを表す可能性があり、浮動小数点数の仮数部に似ていますが、明示的な指数がなく、文脈から暗黙的にのみ区別されます。ゼロのようなプレースホルダーマークは数字の間にのみ使用され、単独で使用されたり、数字の末尾に使用されたりすることはありませんでした。[13]
コロンブス以前のアメリカ大陸
メキシコ中南部と中央アメリカで開発されたメソアメリカの長期暦では、20進法（基数20）の位置記数法のプレースホルダーとしてゼロを使用する必要がありました。これらの長期暦の日付のゼロ記号として、部分的な四つ葉を含むさまざまなグリフが使用され、最も古いもの（チアパス州チアパ・デ・コルソの石碑2 ）には紀元前36年の日付が記されています。[a] [14]
最も古い8つの長期カウントの日付はマヤの故郷の外で発見されているため、[15]アメリカ大陸でのゼロの使用はマヤよりも古く、おそらくオルメカ人の発明であったと一般に考えられています。[16]最も古い長期カウントの日付の多くはオルメカの中心地で発見されましたが、オルメカ文明は紀元前4世紀までに終焉を迎えており、[17]最も古い長期カウントの日付より数世紀も前です。[18]
ゼロはマヤの数字の不可欠な部分となり、多くの「ゼロ」の数字の描写には異なる空の亀のような「甲羅の形」が使用されたが、旧世界の数字体系には影響を与えなかったと推定されている。[要出典]
キプは、インカ帝国やその前身のアンデス地方の社会で会計やその他のデジタルデータを記録するために使われていた結び目のある紐の装置で、 10進法でコード化されています。ゼロは、適切な位置に結び目がないことで表されます。[19]
古代
古代ギリシャ人はゼロを表す記号（μηδέν、発音は「ミデン」）を持たず、ゼロの代わりに数字の仮置きも使わなかった。[20]数学者チャールズ・セイフェによると、古代ギリシャ人は紀元前500年以降、天文学の仕事にバビロニアの仮置きゼロを採用し始め、小文字のギリシャ語ό ( όμικρον :オミクロン) で表した。しかし、バビロニアの仮置きゼロを天文学的な計算に使用した後、彼らは通常、数字をギリシャ数字に戻した。ギリシャ人はゼロを数字として使用することに哲学的な反対を持っていたようだ。[21]他の学者は、ギリシャ人がバビロニアのゼロを部分的に採用したのはもっと後のことだとしており、神経科学者のアンドレアス・ニーダーは紀元前400年以降、数学者ロバート・カプランはアレクサンドロス大王の征服の後としている。[22] [23]
ギリシャ人はゼロの数としての地位について確信が持てなかったようだ。彼らの中には「存在しないなんてあり得ない」と自問する者もおり、ゼロと真空の性質と存在について哲学的、そして中世には宗教的な議論に発展した。エレアのゼノンのパラドックスは、ゼロの不確かな解釈に大きく依存している。[24]
西暦 150年までに、プトレマイオスはヒッパルコスとバビロニア人の影響を受けて、ゼロを表す記号（) [25] [26]は、数理天文学に関する著書Syntaxis Mathematica（別名Almagest ）の中で使用されています。[27]このヘレニズム時代のゼロは、おそらく旧世界でゼロを表す数字が文書化された最古のものです。 [28]プトレマイオスは、日食と月食の大きさを表すために、彼のAlmagest (VI.8)でこれを何度も使用しました。これは、最初と最後の接触での数字と浸水の分の両方の値を表していました。月が太陽の上を通過すると（三角形の脈動）、数字は 0 から 12 から 0 へと連続的に変化しました。12 の数字は太陽の角度直径でした。浸水時間は0′0 ″から31′20 ″、そして0′0 ″まで表にまとめられ、 0′0 ″は60進法の2つの位置のプレースホルダーとして使用され、 [b]組み合わせはゼロ角度を意味しました。浸水時間は連続関数でもありました1/12 31 ′ 20″ √ d(24−d) （凸状の辺を持つ三角形のパルス）で、d は数字関数、31 ′ 20″ は太陽と月の円盤の半径の合計です。 [29]プトレマイオスの記号は、2 つの連続した数学関数で使用される数字であると同時にプレースホルダーでもあり、1 つがもう 1 つの中に含まれているため、ゼロを意味し、ゼロを意味しません。時が経つにつれて、プトレマイオスのゼロはサイズが大きくなり、上線がなくなる傾向があり、時には上線付きのドットではなく、大きく細長い 0 のようなオミクロン "Ο" または上線付きのオミクロン "ō" として描かれるようになりました。 [30]
ユリウス暦のイースターの計算でゼロが最初に使われたのは西暦311年より前で、エチオピア語の文書に保存されている311年から369年のエパクト 表の最初の項目で、そこには「なし」を意味するゲエズ語（他の場所では英語に翻訳すると「0」）が、ゲエズ数字（ギリシャ数字に基づく）とともに使われていた。これは、アレクサンドリア教会が中世ギリシャ語で出版した同等の表から翻訳されたものである。[31]この使用は525年に同等の表で繰り返され、ディオニュシウス・エクシグスがラテン語のnulla（「なし」）を介してローマ数字とともに翻訳した。[32]割り算の余りがゼロになった場合は、 「何もない」を意味するnihilが使用された。これらの中世のゼロは、その後の中世のイースター計算器すべてで使用された。頭文字の「N」は、西暦725年頃にベーダ（またはその同僚）によってローマ数字の表の中でゼロ記号として使用されました。[33]
ほとんどの文化では、0 は負のもの (つまり、ゼロ未満の量) という考え方が受け入れられる前に認識されていました。[要出典]
中国
年代は不明だが、紀元1世紀から5世紀と推定される『孫子算経』には、紀元前4世紀の中国の数え棒システムによって10進法の計算が可能になったことが記されている。『夏后楊算経』（紀元425年 - 468年）に記されているように、数を10、100、1000、10000で掛け算または割り算するには、数え板の上で棒を1、2、3、または4桁前後に動かすだけでよい。[35]棒は数を10進法で表し、空白はゼロを表す。[34] [36]数え棒システムは位置記法である。[37] [38]
当時、ゼロは数字として扱われておらず、「空の位置」として扱われていました。[39] 秦九韶の1247年の『九部数論』は、丸い記号「〇」をゼロとして使用している現存する最古の中国の数学書です。[40]この記号の起源は不明ですが、四角い記号を変更して作成された可能性があります。[41]中国の著者は、漢王朝 （西暦2世紀）までに、九章算術に見られるように、負の数の概念に精通していました。[42]
インド
サンスクリットの韻律学者ピンガラ（紀元前 3世紀または2世紀頃）[43 ]は、長音節と短音節（長音節は2つの短音節の長さに等しい）の2進数列を使用して、有効なサンスクリットの韻律を特定しました。これはモールス信号に似た表記法です。[45]ピンガラは、サンスクリット語のśūnyaをゼロを指すために明示的に使用しました。 [43]
小数点記法における数字としてのゼロの概念は、インドで発達した。[47]ゼロを表す記号は、現在でも使われている中空記号の前身である可能性が高い大きな点で、商人向けの算数の実用マニュアルであるバクシャーリ写本全体で使用されている。 [48] 2017年、ボドリアン図書館の研究者は、写本から3つのサンプルを放射性炭素年代測定した結果、それらが3つの異なる世紀のものであることを示したと報告した。それは、西暦224～383年、西暦680～779年、西暦885～993年である。写本を構成する異なる世紀の樺の樹皮の断片がどのようにして一緒に梱包されたのかは不明である。最も古い樺の樹皮の断片に書かれた文字がそれらの断片と同じくらい古いものであれば、それは南アジアで記録された最古のゼロ記号の使用となる。しかし、その文字は最も新しい断片の時代である西暦885～993年にさかのぼる可能性がある。後者の年代は、文書内のゼロの洗練された使用法とより一致していると主張されており、文書の一部には、ゼロが位置を示す単なるプレースホルダーとしてではなく、それ自体の数字として使用されていることが示されているようです。[46] [49] [50]
ジャイナ教の宇宙論に関する文献であるロカビバーガは、プラークリット語原文の中世サンスクリット語訳として現存しており、内部的には西暦458年（サカ暦380年）とされているが、ゼロを含む十進法の位取り法を使用している。この文献では、śūnya（「空虚、空」）もゼロを指すために使用されている。[51]
アーリヤバーティヤ（ 499年頃）は、sthānāt sthānaṁ daśaguṇaṁ syāt「場所から場所へ、それぞれが前の場所の10倍である」と述べている。[52] [53] [54]
ゼロの使用を規定する規則はブラフマグプタのブラフマスータ・シッダーンタ（7世紀）に登場し、ゼロをゼロとして足し合わせると述べ、ゼロによる割り算を次のように誤って記述している。[55] [56]
正の数または負の数をゼロで割ると、ゼロを分母とする分数になります。ゼロを負の数または正の数で割ると、ゼロになるか、または分子がゼロで分母が有限量である分数として表されます。ゼロをゼロで割るとゼロになります。
碑文
バクシャーリー写本では、小数点の位置を示すために黒い点が使われており、その一部は西暦224年から993年にかけて書かれたものである。[46]
同じ小さな「O」が刻まれた銅板碑文が多数存在し、そのいくつかは6世紀に遡る可能性があるが、その年代や真正性は疑わしい。[10]
カンボジア、クラティエ州メコン川沿いのサンボル近郊の寺院の遺跡で発見された石板には、クメール数字（ヒンドゥー・アラビア数字体系の数字記号）で「605」という文字が刻まれている。この数字はサカ朝時代の碑文の年であり、西暦683年に相当する。[57]
十進数を表す特別な記号が初めて使用されたのは、インドのグワリオルにあるチャトゥルブジ寺院で発見された、西暦876年の石碑文で、そこには数字のゼロを表す小さな円が間違いなく含まれている。[58] [59]
中世
イスラム文化への伝承
アラビア語による科学の継承は主にギリシャ語であり[60]、続いてヒンドゥー教の影響を受けた。[61] 773年、アル・マンスールの命令により、ギリシャ語、ローマ語、インド語などを含む多くの古代の論文が翻訳された。
813年、ペルシャの数学者ムハンマド・イブン・ムサー・アル＝フワーリズミーがヒンドゥー数字を使って天文表を作成した。[61]そして825年頃、彼はギリシャとヒンドゥーの知識を統合した本を出版し、ゼロの使用法の説明など、数学への自身の貢献も含んでいた。[62]この本は後に12世紀に「 Algoritmi de numero Indorum 」という題でラテン語に翻訳された。この題名は「インド人の数字に関するアル＝フワーリズミー」を意味する。「Algoritmi」という言葉は翻訳者がアル＝フワーリズミーの名前をラテン語化したものであり、「アルゴリズム」または「アルゴリズム主義」という言葉は小数に基づくあらゆる算術の意味を持つようになった。[61]
ムハンマド・イブン・アフマド・アル・フワーリズミーは976年に、計算で十の位に数字がない場合は「行を区切るために」小さな円を使うべきだと述べた。この円はシフルと呼ばれた。[63]
ヨーロッパへの伝播
ヒンドゥー教とアラビア数字の体系(基数 10) は、11 世紀にアル＝アンダルス、スペインのイスラム教徒、ムーア人を通じて、古典天文学の知識やアストロラーベなどの器具とともに西ヨーロッパに伝わりました。オーリヤックのゲルベルトは、失われた教えをカトリックのヨーロッパに再導入したとされています。このため、数字はヨーロッパで「アラビア数字」として知られるようになりました。イタリアの数学者フィボナッチ(レオナルド・ディ・ピサ) は、1202 年にこの体系をヨーロッパの数学に取り入れる上で重要な役割を果たし、次のように述べています。
私の父が故郷からブギアの税関でピサの商人たちのために役人に任命された後、彼はその管理を引き継ぎました。そして、将来の有用性と利便性を考慮して、少年時代の私を彼のもとに連れて行き、そこで数日間計算の研究に専念し、指導を受けさせたいと考えました。そこで、その技術に関する素晴らしい指導の結果、ヒンズー教徒の9つの数字を紹介された後、その技術の知識は何よりも私にとって非常に魅力的でした。そして、エジプト、シリア、ギリシャ、シチリア、プロヴァンスでは、さまざまな方法でそのすべての側面が研究されていることを私は理解しました。その後、仕事でこれらの場所を訪れました。私は深く研究し、議論の応酬を学びました。しかし、これらすべて、そしてアルゴリズム、そしてピタゴラスの技術さえも、ヒンズー教徒の方法[モダス・インドルム]に関してほとんど間違いだと私は考えました。したがって、ヒンズー教徒の方法をもっと厳格に受け入れ、その研究にもっと真剣に取り組み、私自身の理解からいくつかのことを付け加え、またユークリッドの幾何学の技巧の細かいところからいくつかのことを挿入しました。私はこの本全体をできるだけ分かりやすくまとめようと努力し、15章に分けました。私が紹介したほとんどすべてのことを正確な証明とともに示しました。これは、この卓越した方法を持つこの知識をさらに求めている人たちに教えるためであり、さらに、ラテン系の人々が今までのようにそれを知らないことが発覚しないようにするためです。私が何か多かれ少なかれ適切または必要でないことを省略したとしても、私は寛大にお願いします。なぜなら、すべてのことにおいて非難されることなく完全に賢明な人はいないからです。インドの9つの数字は、9 8 7 6 5 4 3 2 1です。これらの9つの数字と記号0で 、どんな数字でも書くことができます。[64]
13世紀から、計算（加算、乗算、平方根の抽出など）に関するマニュアルがヨーロッパで一般的になり、ペルシャの数学者アル・フワーリズミーにちなんでアルゴリズムスと呼ばれました。人気のあるマニュアルの1つは、1200年代初頭にヨハネス・デ・サクロボスコによって書かれ、 1488年に印刷された最も古い科学書の一つでした。[65] [66]紙の上でヒンドゥーアラビア数字を使用して計算する習慣は、徐々にそろばんによる計算とローマ数字による記録に取って代わっていきました。[67] 16世紀には、ヒンドゥーアラビア数字がヨーロッパで主流の数字になりました。[65]
シンボルと表現
今日では、数字の0は通常、円または楕円で表記されます。伝統的に、多くの印刷書体では、大文字のOは、より細く楕円形の数字の0よりも丸みを帯びていました。[ 68 ] タイプライターはもともとOと0の形状を区別していませんでした。モデルによっては、数字の0用のキーが別個になかったものもあります。この区別は、現代の文字ディスプレイで顕著になりました。[68]
斜線の付いたゼロ( )は、数字を文字と区別するためによく使用されます (主にコンピューター、ナビゲーション、軍事など)。中央にドットがある数字の 0 は、IBM 3270ディスプレイのオプションとして始まったようで、 Andalé Monoなどの一部の現代のコンピューター書体や一部の航空会社の予約システムにも引き継がれています。1 つのバリエーションでは、ドットの代わりに短い縦棒が使用されています。コンピューター用に設計されたフォントの中には、大文字の O と数字の 0 のペアの一方をより丸くし、もう一方をより角張らせた (長方形に近い) ものもあります。ドイツの車のナンバープレートで使用されている偽造防止書体では、数字の 0 の右上側を切り開くことでさらに区別されています。一部のシステムでは、混乱を避けるために、文字の O または数字の 0、もしくはその両方が使用されていません。
数学
ゼロの概念は数学において複数の役割を果たします。数字として、数を表す位置表記の重要な部分である一方、多くの代数設定において、それ自体が数として重要な役割を果たします。
数字として
位取り記数法（数値を表す通常の十進法など）では、数字の0はプレースホルダーの役割を果たしており、その基数の特定の累乗が寄与しないことを示す。例えば、十進数205は、2つの百と5つの一の合計であり、数字の0は十が追加されていないことを示している。この数字は、小数や他の実数の十進表現（10分の1、100分の1、1000分の1などが存在するかどうかを示す）や10以外の基数（例えば、2進数では2のどの累乗が省略されているかを示す）でも同じ役割を果たす。[69]
初等代数学
数 0 は最小の非負の整数であり、最大の非正の整数である。0の次の自然数は1 であり、0 の前に自然数はない。数 0 は自然数と見なされることもそうでないこともあるが[70] [71] 、整数であり、したがって有理数であり実数である。[72] 0 を含むすべての有理数は代数的数である。実数を拡張して複素数を形成すると、0 は複素平面の 原点になる。
数 0 は、正でも負でもない[73]、あるいは正と負の両方である[74]とみなすことができ、通常は数直線の中央の数として表示されます。ゼロは偶数[75] (つまり、2 の倍数) であり、他の任意の整数、有理数、実数の整数倍でもあります。ゼロは素数でも合成数でもありません。素数は定義により 1 より大きいため素数ではなく、2 つの小さい自然数の積として表すことができないため合成数でもありません。[76] (ただし、単集合{0} は整数の 環における素イデアルです。)
以下は、数値 0 を扱うための基本的なルールです。特に明記しない限り、これらのルールは任意の実数または複素数xに適用されます。
- 加算: x + 0 = 0 + x = x。つまり、0 は加算に関して単位元（または中立元）です。
- 引き算: x − 0 = xかつ 0 − x = − x。
- 乗算：x · 0 = 0 · x = 0。
- 部門: 0/x = 0（xが0以外の場合） 。しかしx/0 は未定義です。なぜなら、0には逆数が存在しない（0を掛けても1にならない実数が存在する）ためであり、これは前の規則の結果です。 [77]
- 累乗: x 0 = x/x = 1 ですが、x = 0の場合は、状況によっては未定義とみなされます。すべての正の実数xに対して、0 x = 0です。
表現0/0 、これは、 という形式の式の極限を決定しようとする試みで得られる可能性がある。関数x/グラム( x ) は、分数の両方のオペランドに独立してlim演算子を適用した結果、いわゆる「不定形式」になります。これは、求められる極限が必ずしも定義されていないことを意味するのではなく、 の極限が関数x/グラム( x )が存在する場合、それはロピタルの法則などの別の方法で見つけられなければならない。[78]
0個の数の和（空和）は0であり、0個の数の積（空積）は1である。階乗0!は空積の特別な場合として1に評価される。[79]
数学におけるその他の用途
最小の計数としての 0 の役割は、さまざまな方法で一般化または拡張できます。集合論では、 0 は空集合の濃度です。つまり、リンゴが 1 つもなければ、リンゴは 0 個あります。実際、集合論からの数学の特定の公理的発展では、 0 は空集合であると定義されています。 [80]この場合、空集合は、要素のない集合、つまり空集合に対するフォン・ノイマンの濃度割り当てです。空集合に適用された濃度関数は、空集合を値として返し、それによって 0 個の要素を割り当てます。
また、集合論では、 0 は最小の順序数であり、整列した集合として見た空集合に対応する。順序理論（特にそのサブフィールドである格子理論）では、 0 は格子またはその他の部分的に順序付けられた集合の最小の要素を表すことがある。
0 の加法単位元としての役割は、初等代数学を超えて一般化します。抽象代数学では、 0 は一般にゼロ元を表すために使用されます。ゼロ元は、加算の単位元(検討中の構造で定義されている場合) および乗算の吸収元(定義されている場合) です。(このような要素は、ゼロ元と呼ばれることもあります。) 例として、加法群およびベクトル空間の単位元が挙げられます。別の例として、領域D上のゼロ関数(またはゼロマップ) があります。これは、 0 を唯一の可能な出力値とする定数関数です。つまり、 D内のすべてのxに対してf ( x ) = 0で定義される関数fです。実数から実数への関数として、ゼロ関数は偶数と奇数の両方である唯一の関数です。
数字 0 は、数学のさまざまな分野で他のさまざまな方法でも使用されます。
- 関数 fの零点とは、関数の定義域内の点xにおいてf ( x ) = 0となる点である。
- 命題論理では、真理値が偽であることを示すために 0 が使用されることがあります。
- 確率論では、0はあらゆる事象の確率として許容される最小の値である。[81]
- 圏論は、しばしば0と表記されるゼロオブジェクトの概念と、ゼロ関数を一般化するゼロ射の関連概念を導入する。[82]
物理
ゼロという値は、多くの物理量において特別な役割を果たしている。ゼロレベルは、自然に他のすべてのレベルと区別される量もあるが、他の量では多かれ少なかれ恣意的に選ばれる。例えば、絶対温度（通常はケルビンで測定）の場合、ゼロは最低値である。（一部の物理システムでは負の温度を定義できるが、負の温度のシステムは実際にはより低温ではない。）これは、例えば摂氏温度でゼロが水の凝固点であると恣意的に定義される温度とは対照的である。 [83] [84]音の強さをデシベルまたはフォンで測定する場合、ゼロレベルは、例えば可聴閾値の値などの基準値に恣意的に設定される。物理学において、ゼロ点エネルギーは、量子力学的な 物理システムが持つ可能性のある最低のエネルギーであり、システムの基底状態のエネルギーである。
コンピュータサイエンス
現代のコンピュータは、情報をバイナリで保存します。つまり、通常は「0」と「1」の2つの記号のみを含む「アルファベット」を使用します。バイナリコーディングは、デジタルエレクトロニクスでは「0」と「1」がワイヤ内の電流の有無を表すことができるため便利です。[85] コンピュータプログラマーは通常、中央処理装置によって直接実行されるバイナリ命令よりも人間にとって理解しやすい高水準プログラミング言語を使用します。0は、高水準言語でさまざまな重要な役割を果たします。たとえば、ブール変数は真または偽のいずれかの値を格納し、 0は多くの場合、偽の数値表現です。[86]
0 は配列のインデックス付けにも役割を果たします。人類の歴史を通じて最も一般的な方法は、1 から数え始めることであり、これはFortranやCOBOLなどの初期の古典的なプログラミング言語で行われていました。[87]しかし、1950 年代後半にLISP は配列のゼロベースの番号付けを導入し、 Algol 58 は配列の添え字に完全に柔軟な基数付けを導入しました (配列の添え字の基数として、正、負、またはゼロの任意の整数を使用できるようになりました)。その後のほとんどのプログラミング言語は、これらの位置のいずれかを採用しました。[要出典]たとえば、 Cでは配列の要素は 0 から番号付けされるため、n個の項目を持つ配列の場合、配列インデックスのシーケンスは 0 からn −1になります。[88]
0から始まるインデックスと1から始まるインデックスは混同される可能性があります。たとえば、Java自体は0から始まるインデックスを使用していますが、JavaのJDBCはパラメータを1からインデックスします。 [89]
C言語では、値0を含むバイトは文字列の終了位置を示すために使用されます。また、0はコード内でヌルポインタを参照する標準的な方法です。 [90]
データベースでは、フィールドに値が存在しない場合があります。その場合、ヌル値を持つと言われます。[91]数値フィールドの場合、これは値 0 ではありません。テキストフィールドの場合、これは空白でも空文字列でもありません。ヌル値の存在は、3 値ロジックにつながります。条件はもはや真または偽ではなく、不確定になる可能性があります。ヌル値を含む計算はすべてヌル結果を返します。[92]
数学では、ゼロと区別できる「正のゼロ」や「負のゼロ」は存在しません。-0 と +0 はどちらもまったく同じ数を表します。ただし、一部のコンピュータ ハードウェアの符号付き数値表現では、ゼロには 2 つの異なる表現があり、正のゼロは正の数とグループ化され、負のゼロは負の数とグループ化されます。このような二重表現は符号付きゼロと呼ばれ、後者の形式は負のゼロと呼ばれることもあります。これらの表現には、符号付き絶対値と1 の補数の2 進整数表現 (ただし、ほとんどの最新のコンピュータで使用されている2 の補数の2 進形式は除く)、およびほとんどの浮動小数点数表現 ( IEEE 754やIBM S/390浮動小数点形式など) が含まれます。 [引用が必要]
コンピュータ用語では、エポックとは、タイムスタンプがゼロである日付と時刻のことです。Unixエポックは、 1970年1月1日の前日の深夜に始まります。[93] [94] [95]クラシックMac OSエポックとPalm OSエポックは、1904年1月1日の前日の深夜に始まります。[96]
アプリケーションが終了ステータスとして整数値を返すことを要求する多くのAPIとオペレーティングシステムでは、通常、成功を示すためにゼロを使用し、特定のエラーまたは警告状態を示すためにゼロ以外の値を使用します。[97] [引用が必要]
プログラマーは文字「O 」との混同を避けるために、スラッシュ付きのゼロをよく使用します。[98]
その他の分野
生物学
比較動物学と認知科学では、一部の動物がゼロの概念を認識していることが認識され、数値抽象化の能力は種の進化の初期に生まれたという結論に至っています。[99]
デートシステム
紀元前 暦では、紀元前1年は 紀元後1年の前の最初の年であり、 0年は 存在しない。対照的に、天文学的な年号では、紀元前1年は0、紀元前2年は-1、というように番号が付けられる。[100]
参照
注記
- ^ 実際に数字の 0 を使用した長い計算の日付は西暦 3 世紀以前には見つかっていないが、長い計算システムはプレースホルダーがなければ意味をなさないため、またメソアメリカの象形文字には通常空白が残らないため、これらの初期の日付は 0 の概念が当時すでに存在していたことの間接的な証拠と見なされている。
- ^プトレマイオスの60進法の各桁は 0から59までのギリシャ数字で書かれ、31は30+1を意味するλαと書かれ、20は20を意味するκと書かれました。
参考文献
- ^
- ハーパー、ダグラス (2011)。「ゼロ」。Etymonline。2017年7月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。
「アラビア語表記法で無を表す数字」、また「量としてみなされるすべての量の欠如」、1600年頃、フランス語のzéroから、またはイタリア語のzeroから直接派生、中世ラテン語のzephirumから、アラビア語のsifr 「暗号」から、サンスクリット語のsunya-m「空の場所、砂漠、無」の翻訳
。 - メンニンガー、カール (1992)。『数の言葉と数記号：数の文化史』。クーリエ・ドーバー出版。pp. 399–404。ISBN 978-0-486-27096-8. 2016年1月5日閲覧。
- 「ゼロ、n。」OEDオンライン。オックスフォード大学出版局。2011年12月。2012年3月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2012年3月4日閲覧。
フランス語zéro（1515年HatzfeldとDarmesteter）またはその出典イタリア語のゼロ、*zefiro、<アラビア語çifr
。
- ハーパー、ダグラス (2011)。「ゼロ」。Etymonline。2017年7月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。
- ^ アブ
- スミソニアン協会。西洋文化の東洋的要素、p. 518、Google ブックス。スミソニアン協会理事会年次報告書、ハーバード大学アーカイブ。「イスラム以前の時代にも、Sifr は「空」の意味で使われていた。…アラビア語の sifr のゼロの意味は、インドの対応する sunya の翻訳である。」
- ガルバーグ、ヤン（1997年）。数学：数の誕生から。WWノートン＆カンパニー ISBN 978-0-393-04002-926 ページ:
ゼロは、ヒンズー教の sunya (空虚、虚無を意味する) から派生し、アラビア語の sifr、ラテン語の cephirum、イタリア語の zevero を経て生まれました。
- ローガン、ロバート（2010）。『物理学の詩と詩の物理学』ワールドサイエンティフィック。ISBN 978-981-4295-92-538 ページ:
sunya と場所の数の概念はアラブ人に伝わり、彼らは sunya または「スペースを残す」を自分たちの言語で sifr と翻訳しました。
- ^ 「ゼロ」。メリアム・ウェブスターオンライン辞書。2017年12月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。
- ^ イフラ2000、589ページ。
- ^ 「コリンズ – 無料オンライン辞書」。
- ^ 「Collins – 無料のオンライン辞書、シソーラス、参考資料 – nill」。
- ^ ab 「'Aught' の同義語」。Thesaurus.com。2014年8月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。2013年4月23日閲覧。
- ^ O'Connor, JJ; Robertson, EF (2000). 「エジプト数字」. mathshistory.st-andrews.ac.uk . セントアンドリュース大学. 2019年11月15日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2019年12月21日閲覧。
- ^ランプキン、ベアトリス (2002)。「エジプトの建築と 簿記に使われる数学」。数学インテリジェンサー。24 (2): 20–25。doi : 10.1007 /BF03024613。S2CID 120648746 。
- ^ Kaplan 2000より。
- ^ O'Connor, JJ; Robertson, EF (2000). 「ゼロ」.数学史. セントアンドリュース大学. 2021年9月21日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年9月7日閲覧。
- ^ “Babylonian mathematical”オープン大学。2016年。2021年9月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年9月7日閲覧。
- ^ ライマー2014、172ページ。
- ^ 「時間の周期的見方」www.mexicolore.co.uk . 2024年1月20日閲覧。
- ^ ディール（2004）、186ページ。
- ^ Mortaigne, Véronique (2014年11月28日). 「マヤ文明の黄金時代 - 展覧会レビュー」. The Guardian . 2014年11月28日時点のオリジナルよりアーカイブ。2015年10月10日閲覧。
- ^ サイファーズ、アン（2014）、レンフルー、コリン、バーン、ポール（編）、「オルメカ、紀元前1800〜400年」、ケンブリッジ世界先史学、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、pp. 1005〜1025、ISBN 978-0-521-11993-1、 2024年8月13日閲覧。
- ^ 「Expedition Magazine | 時間、王権、そしてマヤ宇宙 マヤ暦」Expedition Magazine . 2024年8月13日閲覧。
- ^ レオン、マヌエル・デ（2022年12月20日）。「数字を表す結び目：インカの数学」EL PAÍS英語版。 2024年6月5日閲覧。
- ^ Wallin, Nils-Bertil (2002年11月19日). 「ゼロの歴史」. YaleGlobal online . イェール大学ホイットニー・アンド・ベティ・マクミラン国際地域研究センター. 2016年8月25日時点のオリジナルよりアーカイブ。2016年9月1日閲覧。
- ^ セイフェ、チャールズ（2000年9月1日）。ゼロ：危険なアイデアの伝記。ペンギン。39ページ。ISBN 978-0-14-029647-1. OCLC 1005913932 . 2022年4月30日閲覧。
- ^ ニーダー、アンドレアス（2019年11月19日）。数字のための脳：数字本能の生物学。MITプレス。p.286。ISBN 978-0-262-35432-5. 2022年4月30日閲覧。
- ^ カプラン 2000、17ページ。
- ^ Huggett, Nick (2019). 「ゼノンのパラドックス」。Zalta, Edward N. (編) 『スタンフォード哲学百科事典』（2019年冬版）。スタンフォード大学形而上学研究室。2021年1月10日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2020年8月9日閲覧。
- ^ ノイゲバウアー、オットー(1969) [1957]。古代の正確な科学（第2版）。ドーバー出版。pp. 13–14、図版2。ISBN 978-0-486-22332-2。
- ^ Mercier, Raymond. 「ギリシャのシンボル「ゼロ」についての考察」(PDF)。Home of Kairos 。 2020年11月5日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) 。 2020年3月28日閲覧。[自費出版元? ]
- ^ プトレマイオス(1998) [1984, c. 150].プトレマイオスのアルマゲスト.トゥーマー、GJ訳 プリンストン大学出版局. pp. 306–307. ISBN 0-691-00260-6。
- ^ O'Connor, JJ; Robertson, EF「ゼロの歴史」。MacTutor数学史。2020年4月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。2020年3月28日閲覧。
- ^ ペダーセン、オラフ(2010) [1974]。アレクサンダー・ジョーンズ (編)。アルマゲスト概説。数学と物理科学の歴史における資料と研究。シュプリンガー。pp. 232–235。doi :10.1007 / 978-0-387-84826-6_7。ISBN 978-0-387-84825-9。
- ^ 「ギリシャ文字のゼロをUCSにエンコードする提案」(PDF) 2024年7月31日。2022年10月7日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) 。
- ^ ノイゲバウアー、オットー(2016) [1979]。エチオピアの天文学と計算(レッドシープレス編集)。レッドシープレス。pp. 25、53、93、183、プレートI。ISBN 978-1-56902-440-9。この版のページ番号は、オリジナル版の同じページ番号より 6 ページ少なくなっています。
- ^ デッカーズ、マイケル (2003) [525]。「ディオニュシオスの19年周期」。2019年1月15日時点のオリジナルよりアーカイブ。
- ^ CW Jones 編、Opera Didascalica、vol. Corpus Christianorumの 123C 、シリーズ ラティーナ。
- ^ ab ホジキン、ルーク（2005年）。数学の歴史：メソポタミアから近代まで。オックスフォード大学出版局。p. 85。ISBN 978-0-19-152383-0。
- ^ オコナー、ジョン・J.、ロバートソン、エドマンド・F.（2004年1月）「中国の数字」、MacTutor数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
- ^ 「中国の数字」.数学の歴史. 2024年4月28日閲覧。
- ^ Shen、Crossley、Lun 1999、p. 12：「古代中国のシステムは場所表記システムである」
- ^ エバーハルト・ブレアール、アンドレア（2008）「中国の数学」、セリン、ヘレイン（編）、非西洋文化における科学、技術、医学の歴史百科事典、ドルドレヒト：シュプリンガー・ネザーランド、pp. 1371–1378、doi：10.1007/978-1-4020-4425-0_9453、ISBN 978-1-4020-4425-0、 2024年4月28日閲覧。
- ^ シェン・カンシェン・クロスリー、ジョン・N.; ルン、アンソニー・W.-C. (1999)。数学の芸術に関する9つの章：コンパニオンと解説。オックスフォード大学出版局。p. 35。ISBN 978-0-19-853936-0インドでは
ゼロは数字とみなされていたが、中国では空席のポジションを採用した。
- ^ 「近東と極東の数学」(PDF) . grmath4.phpnet.us . p. 262. 2013年11月4日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2012年6月7日閲覧。
- ^ マーツロフ、ジャン＝クロード（2007年）。中国数学の歴史。ウィルソン、スティーブン・S・シュプリンガー訳。p. 208。ISBN 978-3-540-33783-6。
- ^ Struik, Dirk J. (1987). A Concise History of Mathematics . New York: Dover Publications. pp. 32–33. 「これらの行列には負の数が含まれていますが、これは歴史上初めて登場するものです。」
- ^ ab Plofker, Kim (2009).インドの数学. プリンストン大学出版局. pp. 54–56. ISBN 978-0-691-12067-6紀元前
3世紀か2世紀のピンガラのチャンダ・スートラでは、[...] ピンガラがゼロ記号 [śūnya] を目印として使用したことは、ゼロへの最初の明示的な言及として知られているようです。... 紀元前3世紀か2世紀のピンガラのチャンダ・スートラには、任意の値「n」の可能なメートルに関する5つの質問があります。[...] 答えは予想どおり (2) 7 = 128 ですが、7回の倍数計算の代わりに、(スートラで説明されている) プロセスでは3回の倍数計算と2回の平方計算のみが必要でした。これは、「n」が大きい場合に便利な時間節約法です。ピンガラがゼロ記号を目印として使用したことは、ゼロへの最初の明示的な言及として知られているようです。
- ^ Vaman Shivaram Apte (1970)。「インドの古代史におけるサンスクリットの韻律と重要な文学名および地名」。学生用サンスクリット語-英語辞典。Motilal Banarsidass。648～649 ページ。ISBN 978-81-208-0045-8. 2017年4月21日閲覧。
- ^ Hall, Rachel (2005年2月15日). 「詩人とドラマーのための数学：リズムの数学」（PDF）（スライドショー）. セントジョセフ大学. 2019年1月22日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2015年12月20日閲覧。
- ^ abc Devlin, Hannah (2017年9月13日). 「大騒ぎは無用：古代インドのテキストに最古のゼロ記号が含まれる」. The Guardian . ISSN 0261-3077. 2017年11月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2017年9月14日閲覧。
- ^ ブルバキ1998年、46ページ。
- ^ Weiss, Ittay (2017年9月20日). 「何も重要ではない：インドによるゼロの発明が現代数学の創造にどのように貢献したか」The Conversation。 2018年7月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2018年7月12日閲覧。
- ^ 「炭素年代測定により、バクシャーリ写本に「ゼロ」記号の最も古い起源が記録されていることが判明」ボドリアン図書館。2017年9月14日。2017年9月14日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2017年10月25日閲覧。
- ^ プロフカー、キム; ケラー、アガテ;林、タカオ;モンテル、クレメンシー; ウジャスティク、ドミニク（2017年10月6日）。「バクシャーリー写本：ボドリアン図書館の放射性炭素年代測定への応答」南アジアの科学史。5 （1）：134–150。doi ：10.18732 / H2XT07。
- ^ イフラ（2000）、416頁。
- ^ 「Aryabhata」のAryabhatiya 、ウォルター・ユージン・クラーク訳。
- ^ O'Connor, JJ; Robertson, EF (2000). 「Aryabhata the Elder」. School of Mathematics and Statistics, University of St. Andrews . スコットランド. 2015年7月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2013年5月26日閲覧。
- ^ ホッシュ、ウィリアム L. 編 (2010 年 8 月 15 日)。ブリタニカ数字と測定ガイド (数学解説)。ローゼン出版グループ。97～98 ページ。ISBN 978-1-61530-108-9. 2016年9月26日閲覧。
- ^ ブラーフメグプタとバースカラのサンスクリット語による代数学、算術、測量。ヘンリー・トーマス・コールブルック訳。ロンドン、イギリス：ジョン・マレー。1817年。OCLC 1039515732。
- ^ カプラン2000、68～75ページ。
- ^
- コデス、ジョージ(1931)。「アラブの羊の起源について」。ロンドン大学東洋学院紀要(フランス語)。6 ( 2)。ケンブリッジ大学出版局: 323–328。doi :10.1017 / S0041977X00092806。JSTOR 607661。S2CID 130482979 。
- ディラー、アンソニー (1996) 「新しいゼロと古いクメール」(PDF) .モン・クメール研究. 25 : 125–132.
- ^ Casselman, Bill . "All for Nought". ams.org . ブリティッシュコロンビア大学)、アメリカ数学会。2015年12月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2015年12月20日閲覧。
- ^ イフラ（2000）、400頁。
- ^ パンネクーク、アントン（ 1961年）。天文学の歴史。ジョージ・アレン＆アンウィン。p.165。ISBN 9780045200023. OCLC 840043.
- ^ abc デュラント、ウィル（1950年）。文明の物語、第4巻、信仰の時代：コンスタンティヌスからダンテまで - 西暦325-1300年。サイモン＆シュスター。ISBN 978-0-9650007-5-8241 ページ:
アラビアの科学の遺産は圧倒的にギリシャ的でしたが、ヒンドゥー教の影響がそれに次ぐものでした。773 年、マンスールの命令により、紀元前 425 年にまで遡るインドの天文学論文であるシッダーンタが翻訳されました。これらのバージョンは、アラビア数字とゼロがインドからイスラム教にもたらされた媒体である可能性があります。813 年、アル フワーリズミーは天文表でヒンドゥー数字を使用しました。
- ^ ブレジナ、コロナ (2006)。アル・フワーリズミー: 代数の発明者。ローゼン出版グループ。ISBN 978-1-4042-0513-0. 2016年9月26日閲覧。
- ^ Durant 1950、p. 241：「976年、ムハンマド・イブン・アフマドは『科学の鍵』の中で、計算で十の位に数字が現れない場合は、小さな円を使って「列を保たなければならない」と述べた。この円をモロム人は「空の」という意味のシフルと呼び、ここから私たちの暗号が生まれた。」
- ^
- シグラー、ローレンス (2003)。フィボナッチの算盤: レオナルド・ピサーノの計算書の現代英語への翻訳。数学と物理科学の歴史における資料と研究。シグラー、ローレンス E. シュプリンガー訳。doi : 10.1007 / 978-1-4613-0079-3。ISBN 978-1-4613-0079-3。
- グリム、リチャード・E.（1973年2月）。「レオナルド・ピサーノの自伝」。フィボナッチ・クォータリー。第11巻第1号。99～104ページ。2023年11月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。
- ハンセン、アリス（2008）。初等数学：実践における知識の拡張。SAGE。doi ： 10.4135 / 9781446276532。ISBN 978-0-85725-233-3. 2021年3月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。2020年11月7日閲覧。
- ^ ab Smith, DE; Karpinski, LC (1911)。「ヨーロッパにおける[ヒンドゥー-アラビア]数字の普及」。ヒンドゥー-アラビア数字。Ginn and Company。pp. 134–136 – インターネットアーカイブ経由。
- ^ ペダーセン、オラフ (1985)。「サクロボスコの探求」天文学史ジャーナル。16 (3): 175–221。Bibcode : 1985JHA ....16..175P。doi : 10.1177 /002182868501600302。S2CID 118227787 。
- ^ イフラ2000、588-590頁。
- ^ ab Bemer, RW (1967). 「手書きのゼロとオーの標準に向けて: 大騒ぎ (そして文字)、または手書きのゼロとオーの区別に関する部分的な書類」Communications of the ACM . 10 (8): 513–518. doi :10.1145/363534.363563. S2CID 294510.
- ^ ライマー2014、156、199-204頁。
- ^ バント、ルーカス・ニコラス・ヘンドリック、ジョーンズ、フィリップ・S、ベディエント、ジャック・D (1976)。初等数学の歴史的ルーツ。クーリエ・ドーバー出版。pp. 254–255。ISBN 978-0-486-13968-5. 2016年6月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。2016年1月5日閲覧。、254～255ページの抜粋 2016年5月10日アーカイブ、Wayback Machineより
- ^ チェン2017、32頁。
- ^ Cheng 2017、41、48–53 ページ。
- ^ Weisstein, Eric W. 「Zero」。Wolfram。2013年6月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。2018年4月4日閲覧。
- ^ ウェイル、アンドレ（2012年12月6日）。初心者のための数論。シュプリンガーサイエンス＆ビジネスメディア。ISBN 978-1-4612-9957-8. 2021年6月14日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年4月6日閲覧。
- ^ 補題B.2.2、整数 0 は偶数であり、奇数ではない、 Penner, Robert C. (1999)。離散数学: 証明技法と数学的構造。World Scientific。p. 34。ISBN 978-981-02-4088-2。
- ^ リード、コンスタンス (1992)。ゼロから無限大へ: 数字を面白くするもの(第 4 版)。アメリカ数学協会。p. 23。ISBN 978-0-88385-505-8.
素数でも合成数でもないゼロ
- ^ チェン2017、47頁。
- ^ ハーマン、エドウィン;ギルバート・ストラング;他。 （2017年）。微積分。 Vol. 1. テキサス州ヒューストン: OpenStax。 454–459ページ。ISBN 978-1-938168-02-4. OCLC 1022848630. 2022年9月23日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年7月26日閲覧。
- ^ ロナルド・L・グラハム;ドナルド・E・クヌース;パタシュニク、オーレン(1988)。具体的な数学。マサチューセッツ州レディング: アディソン・ウェスリー。 p. 111.ISBN 0-201-14236-8。
- ^ チェン2017、60頁。
- ^ カルダール2007、35ページ。
- ^ リール、エミリー(2016)。文脈におけるカテゴリー理論。ドーバー。p. 103。ISBN 978-0-486-80903-8。
- ^ レックス、アンドリュー; フィン、CBP (2017)。フィンの熱物理学（第3版）。CRCプレス。pp.8–16。ISBN 978-1-4987-1887-5。
- ^ Kardar 2007、pp. 4–5、103–104。
- ^ ウッドフォード2006、9ページ。
- ^ ヒル2020、20頁。
- ^ オーバーランド、ブライアン（2004年9月14日）。『C++ Without Fear: 賢くなった気分になれる初心者向けガイド』ピアソン・エデュケーション。132ページ。ISBN 978-0-7686-8488-9。
- ^ Oliveira, Suely; Stewart, David E. (2006 年 9 月 7 日)。Writing Scientific Software: A Guide to Good Style。ケンブリッジ大学出版局。p. 64。ISBN 978-1-139-45862-7。
- ^ “ResultSet (Java Platform SE 8)”。docs.oracle.com。2022年5月9日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年5月9日閲覧。
- ^ リース、リチャード M. (2013)。C ポインタの理解と使用: メモリ管理のコアテクニック。オライリー メディア。ISBN 978-1-449-34455-9。
- ^ Wu, X.; Ichikawa, T.; Cercone, N. (1996 年 10 月 25 日)。知識ベース支援データベース検索システム。World Scientific。ISBN 978-981-4501-75-0. 2022年3月31日時点のオリジナルよりアーカイブ。2020年11月7日閲覧。
- ^ 「Null 値と null 許容型」。IBM。2018年12 月 12 日。2021 年 11 月 23 日のオリジナルからアーカイブ。2021 年11 月 23 日に取得。
サービスに関しては、リモート サービス呼び出しで引数として null 値を送信すると、データが送信されないことを意味します。受信パラメーターは null 許容型であるため、受信関数は欠落しているデータに対して新しい初期化されていない値を作成し、要求されたサービス関数に渡します。
- ^ Paul DuBois. 「MySQL Cookbook: データベース開発者および管理者向けソリューション」。2014 年、 Wayback Machineで2017 年 2 月 24 日にアーカイブ。p. 204。
- ^ Arnold Robbins、Nelson Beebe。「Classic Shell Scripting」。Wayback Machineに 2017 年 2 月 24 日にアーカイブ。2005 年。274 ページ。
- ^ Iztok Fajfar. 「HTML、CSS、JavaScript を使ったプログラミングを始める」。Wayback Machineに 2017 年 2 月 24 日にアーカイブ。2015 年。160 ページ。
- ^ Darren R. Hayes. 「コンピュータフォレンジック調査の実践ガイド」。Wayback Machineに 2017 年 2 月 24 日にアーカイブ。2014 年。399 ページ。
- ^ Rochkind, Marc J. (1985). Advanced UNIX Programming . Prentice-Hall Software Series. ニュージャージー州エングルウッドクリフス: Prentice Hall. ISBN 0-13-011818-4。セクション 5.5、「Exit システム コール」、p.114。
- ^ 「フォント調査: 42 のベスト モノスペース プログラミング フォント」。codeproject.com。2010年 8 月 18 日。2012 年 1 月 24 日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年7 月 22 日閲覧。
- ^ Cepelewicz, Jordana (2021年8月9日). 「動物はゼロを数え、使う。彼らの数感覚はどこまで及ぶのか？」Quanta Magazine . 2021年8月18日時点のオリジナルよりアーカイブ。
- ^ スティール、ダンカン（2000年）。『マーキング・タイム：完璧なカレンダーを発明する壮大な冒険』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。113ページ。ISBN 978-0-471-29827-4. OCLC 1135427740。BC
/AD 方式では、0 年はありません。 紀元前 1 年 12 月 31 日の次は、AD 1 年 1 月 1 日です。... 0 年がない方式に異議がある場合は、使用しないでください。負の年数を使用する天文学者の計算方式を使用してください。
文献
- アチェル、アミール・D. (2015)。『ゼロを見つける』。ニューヨーク：パルグレイブ・マクミラン。ISBN 978-1-137-27984-2。
- アシモフ、アイザック(1978)。「Nothing Counts」。アシモフの数論。ニューヨーク: ポケットブックス。ISBN 978-0-671-82134-0. OCLC 1105483009.
- バロー、ジョン・D. (2001)。『The Book of Nothing』。ヴィンテージ。ISBN 0-09-928845-1。
- チェン、ユージニア（2017）。無限を超えて：数学の限界への探検。ベーシックブックス。ISBN 978-1-5416-4413-7。
- カルダー、メラン（2007年）。粒子の統計物理学。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-87342-0。
- ライマー、デイヴィッド（2014年）。エジプト人のように数えよう。プリンストン大学出版。ISBN 978-0-691-16012-2。
- ウッドフォード、クリス(2006)。デジタルテクノロジー。エバンスブラザーズ。ISBN 978-0-237-52725-9. 2019年8月17日時点のオリジナルよりアーカイブ。2016年3月24日閲覧。
- ヒル、クリスチャン（2020年）。Pythonで科学プログラミングを学ぶ（第2版）。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-1-10707541-2。
歴史研究
- ブルバキ、ニコラス（1998年）。『数学史の要素』ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 3-540-64767-8。
- ディール、リチャード A. (2004)。『オルメカ：アメリカ初の文明』。ロンドン、イギリス：テムズ＆ハドソン。ISBN 978-0-500-28503-9。
- イフラ、ジョルジュ（2000年）。『数字の世界史：先史時代からコンピュータの発明まで』。ワイリー。ISBN 0-471-39340-1。
- カプラン、ロバート（2000年）。『The Nothing That Is: A Natural History of Zero 』オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-198-02945-8。
- セイフェ、チャールズ（2000年）。『ゼロ：危険なアイデアの伝記』ペンギンUSA。ISBN 0-14-029647-6。
外部リンク
無料辞書『ウィクショナリー』でゼロを調べてみましょう。
0 Wikipediaの姉妹プロジェクト
ウィクショナリーの定義
コモンズからのメディア
ウィキクォートからの引用
- 世界初のゼロを求めて
- ゼロの歴史
- ゼロサーガ
- 代数学の歴史
- Edsger W. Dijkstra : 番号付けはなぜゼロから始めるべきか、EWD831 (手書き原稿のPDF )
- BBCの「In Our Time」に出演したゼロ
- Weisstein、Eric W.「0」。MathWorld。
Wikisource のテキスト:
- "ゼロ"。ブリタニカ百科事典(第 11 版)。 1911年。
- 「ゼロ」。アメリカーナ百科事典。1920年。