空の合計

数学において、空和（むくわ）または零和（すいわん） [ ^{1]とは、項の数がゼロとなる}和のことである。空でない和^[2]を拡張する自然な方法は、空和を加法恒等式にすることである。

、、、 …を数列とし 、${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle a_{3}}$

${\displaystyle s_{m}=\sum _{i=1}^{m}a_{i}=a_{1}+\cdots +a_{m}}$

数列の 最初のm項の合計とする。これは再帰性を満たす。

${\displaystyle s_{m}=s_{m-1}+a_{m}}$

ただし、次の自然な規則を使用します。。言い換えると、1 つの項のみを含む「和」はその 1 つの項に評価され、項を含まない「和」は 0 に評価されます。 1 項または 0 項のみを含む「和」を許可すると、多くの数式で考慮されるケースの数が減ります。 このような「和」は、帰納的証明やアルゴリズムの自然な出発点です。 これらの理由から、「空の和はゼロ」という拡張は、数学とコンピューター プログラミングの標準的な方法です (ドメインにゼロ要素があると仮定)。 同じ理由で、空の積は乗法単位元と見なされます。 ${\displaystyle s_{0}=0}$${\displaystyle s_{1}}$${\displaystyle s_{0}}$

他のオブジェクト（ベクトル、行列、多項式など）の和については、空の合計の値は加法単位元として扱われます。

線型代数において、ベクトル空間Vの基底は、Vのすべての要素がBの線型結合となるような線型独立部分集合Bである。空和規則により、0 次元ベクトル空間V ={0} は基底、つまり空集合を持つことができる。

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