未定義（数学）

数学において、未定義という用語は、解釈や値が割り当てられていない式（異なる値をとることができる不定形式など）を指すためによく使用されます。 ^[1]この用語は、文脈に応じていくつかの異なる意味を持つことがあります。例えば、

• 数学のさまざまな分野では、特定の概念が基本概念として導入されています (たとえば、幾何学における「点」、「線」、「平面」という用語)。これらの用語は他の概念によって定義されていないため、「未定義の用語」と呼ばれることがあります。
• 関数は、その定義域の外側の点では「未定義」であると言われます 。たとえば、実数値関数はに対して未定義です  。${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$${\displaystyle x=0}$
• 代数学では、算術演算によっては、そのオペランドの特定の値に意味が割り当てられない場合があります（例：ゼロ除算）。その場合、そのようなオペランドを含む式は「未定義」と呼ばれます。^[2]

古代の幾何学者は、あらゆる用語を定義しようとしました。たとえば、ユークリッドは点を「部分を持たないもの」と定義しました。現代の数学者は、あらゆる単語を定義しようとすると必然的に循環的な定義につながることを認識しており、そのため、一部の用語 (「点」など) は定義されていません (詳細については、原始概念を参照してください)。

このより抽象的なアプローチにより、実りある一般化が可能になります。位相幾何学では、位相空間は特定の特性を持つ点の集合として定義されますが、一般的な設定では、これらの「点」の性質は完全に未定義のままです。同様に、圏論では、圏は「オブジェクト」と「矢印」で構成されますが、これらも原始的で未定義の用語です。これにより、このような抽象的な数学理論を非常に多様な具体的な状況に適用できます。

この式は、ゼロ除算で説明されているように算術的には定義されていません(この式は、不定形式を表すために微積分で使用されます)。 ${\displaystyle {\frac {n}{0}},n\neq 0}$${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$

数学者の間では、 0 ^{0 を}1 と等しく定義すべき か、それとも未定義のままにしておくべきかについてさまざまな意見があります。

関数が定義される数値の集合は、関数の定義域と呼ばれます。数値が関数の定義域にない場合、その関数はその数値に対して「未定義」であると言われます。一般的な 2 つの例としては、 は に対して未定義であり、は (実数システムでは) 負の に対して未定義です 。 ${\textstyle f(x)={\frac {1}{x}}}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$${\displaystyle x}$

三角法では、すべての に対して、関数および はすべての に対して未定義ですが、関数および はすべての に対して未定義です。 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \tan \theta }$${\displaystyle \sec \theta }$${\textstyle \theta =\pi \left(n-{\frac {1}{2}}\right)}$${\displaystyle \cot \theta }$${\displaystyle \csc \theta }$${\displaystyle \theta =\pi n}$

複素解析では、正則関数が定義されていない点は特異点と呼ばれます。除去可能な特異点（つまり、関数は に正則拡張できる）、極（つまり、関数は に有理型拡張できる）、および本質的な特異点（つまり、 への有理型拡張が存在できない）を区別します。 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$

計算可能性理論では、が 上の部分関数でありが の要素である場合、これは と書かれ、「f ( a ) はと定義される」と読みます。^[3]${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle a}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f(a)\downarrow }$

が の定義域にない場合は、 と記述され、「は未定義」と読み取られます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(a)\uparrow }$${\displaystyle f(a)}$

「存在の論理」（標準的なもの）と「明確性の論理」を区別することが重要です。両方の矢印は、通常、全関数のセマンティクスを使用する存在の論理の述語として明確に定義されていません。項 f(x) は項であり、たとえば何らかの値を持ちますが、同時に関数の正当な値になることもあります。したがって、「定義された」述語は等式を尊重しないため、明確に定義されていません。 ${\displaystyle \emptyset }$${\displaystyle \emptyset }$

明確性の論理には異なる述語計算があり、例えば、全称量化子を持つ式の特殊化には 、その項が明確に定義されていることが必要である。さらに、準等式の概念の導入が必要であり、公理の再定式化が必要となる。^[4]${\displaystyle (\forall x:\varphi )\&(t\downarrow )\Longrightarrow \varphi [t/x]}$

解析学、測度論、その他の数学の分野では、記号 は、その負の数 とともに、擬似無限数を表すために頻繁に使用されます。記号 自体には明確な意味はありませんが、 のような表現は発散列の省略形であり、ある時点では任意の実数よりも大きくなります。 ${\displaystyle \infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}\rightarrow \infty }$

シンボルを使用して標準的な算術演算を実行することは定義されていません。ただし、一部の拡張機能では、加算と乗算の次の規則が定義されています。 ${\displaystyle \pm \infty }$

• ${\displaystyle x+\infty =\infty }$   すべてに対して。${\displaystyle x\in \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$
• ${\displaystyle -\infty +x=-\infty }$   すべてに対して。${\displaystyle x\in \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$
• ${\displaystyle x\cdot \infty =\infty }$   すべてに対して。${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}}$

以下の場合には、 加算と乗算の合理的な拡張は存在しません。${\displaystyle \infty }$

• ${\displaystyle \infty -\infty }$
• ${\displaystyle 0\cdot \infty }$（ただし測度論では、これは次のように定義されることが多い）${\displaystyle 0}$
• ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$
• ${\displaystyle -\infty [{1(0)}]}$

詳細については、拡張実数直線を参照してください。

• スマート、ジェームズ R. (1988)。現代幾何学（第 3 版）。ブルックス/コール。ISBN 0-534-08310-2。