符号付き数値表現

コンピューティングでは、負の数を2 進数システムで エンコードするために符号付き数値表現が必要です。

数学では、負の数はどの基数であっても、その前にマイナス記号 ("-") を付けて表されます。ただし、RAMまたは CPUレジスタでは、数は追加の記号なしでビットのシーケンスとしてのみ表されます。2進数システムを拡張して符号付き数を表す最もよく知られた 4 つの方法は、符号絶対値、1 の補数、2 の補数、オフセット 2 進数です。代替方法の中には、負の 2 進数で基数 -2 を使用するなど、明示的な符号ではなく暗黙の符号を使用するものもあります。正、負、分数、またはそのようなテーマの他の詳細化など、他の基数に対しても、対応する方法を考案できます。

いずれかの表現が普遍的に優れているという決定的な基準はありません。整数の場合、現在のほとんどのコンピューティング デバイスで使用される表現は 2 の補数ですが、Unisys ClearPath Dorado シリーズメインフレームでは 1 の補数が使用されます。

デジタルコンピューティングの初期の頃は、ハードウェア技術と数学技術 (番号体系) の両方について競合するアイデアが特徴的でした。大きな論争の 1 つは負の数の形式であり、当時のトップクラスの専門家の何人かが非常に強く異なる意見を表明しました。^[要出典] 1 つのグループは、今日主流となっている2 の補数方式を支持しました。別のグループは 1 の補数方式を支持しました。これは、負の値は正の等価ビットすべてを反転することによって形成されます。3 番目のグループは、ワードの最上位ビットを切り替えるだけで値が正から負に変更される、符号絶対値方式を支持しました。

それぞれのシステムには賛否両論があった。符号絶対値方式では、小さな数値では 1 のビットが少なくなるため、メモリ ダンプのトレースが容易になる (1960 年代には一般的なプロセス)。これらのシステムは内部で 1 の補数の計算を行うため、数値はレジスタから演算ユニットに送信されるときに 1 の補数値に変換され、結果がレジスタに返されるときに符号絶対値に戻される必要がある。電子機器には他のシステムよりも多くのゲートが必要であり、これは個別のトランジスタのコストとパッケージングが重要である場合に重要な懸念事項であった。IBM は符号絶対値の初期の支持者の 1 つであり、704、709、および709xシリーズのコンピューターは、おそらく符号絶対値を使用した最もよく知られたシステムである。

1の補数を使用すると、数値演算ユニットとの間で値の受け渡しを行う際に値を変換する必要がないため、ハードウェア設計が多少簡素化されます。しかし、負のゼロ(-0) を表すことができるという、符号・絶対値と同じ望ましくない特性も持っています。負のゼロは正のゼロとまったく同じように動作します。つまり、計算でオペランドとして使用した場合、オペランドが正のゼロでも負のゼロでも結果は同じになります。欠点は、同じ値の2つの形式が存在すると、ゼロとの等価性を確認する際に2回の比較が必要になることです。1の補数の減算は、エンドアラウンドボロー(後述) になることもあります。これにより、加算と減算のロジックがより複雑になるか、または減算では加算器に渡す2番目のオペランドのビットを反転するだけでよいため、より簡単になると言えます。 PDP -1、CDC 160 シリーズ、CDC 3000シリーズ、CDC 6000 シリーズ、UNIVAC 1100シリーズ、およびLINCコンピュータでは、1 の補数表現が使用されます。

2の補数はハードウェアで実装するのが最も容易であり、それが広く普及した最終的な理由であると考えられる。^[1]初期のメインフレームのプロセッサは数千個のトランジスタで構成されていたことが多く、トランジスタを大幅に削減することでコストを大幅に削減できた。IBM System/360、GE-600シリーズ^[2]、PDP -6およびPDP-10などのメインフレームは2の補数を使用しており、ミニコンピュータのPDP-5お​​よびPDP-8、PDP-11およびVAXマシンも同様である。初期の集積回路ベースのCPU（Intel 8080など）の設計者も、2の補数計算を使用することを選択した。ICテクノロジが進歩するにつれて、2の補数テクノロジは、x86 [ ^{3] 、} m68k、Power ISA [ ^4] MIPS、SPARC、ARM、Itanium、PA-RISC、およびDEC Alphaを含むほぼすべてのプロセッサで採用された。

符号絶対値表現（符号絶対値とも呼ばれる）では、符号ビット（多くの場合、最上位ビットで、正の数の場合は 0 に、負の数の場合は 1 に設定される）は数の符号に対応し、残りのビットは数の大きさ（または絶対値）に対応するビットパターンで符号付き数が表される。たとえば、8 ビットのバイトでは、7 ビットのみが絶対値を表し、その範囲は 0000000（0）から 1111111（127）である。したがって、符号ビット（8 番目のビット）が追加されると、-127 ₁₀から+127 ₁₀までの数を表すことができる。たとえば、8 ビットのバイトでエンコードされた-43 _{10 は}1 0101011 であるのに対し、43 _10は0 0101011である。符号絶対値表現を使用すると、実装がより複雑になるさまざまな結果が生じる。^[5]

1. ゼロを表す方法は 00000000 (0) と 10000000 ( -0 ) の 2 つがあります。
2. 加算と減算では、符号ビットに応じて異なる動作が必要になりますが、1 の補数は符号ビットを無視して単に桁上げを行うことができ、2 の補数は符号ビットを無視してオーバーフロー動作に依存できます。
3. 比較では符号ビットの検査も必要ですが、2 の補数では、単に 2 つの数値を減算し、結果が正か負かを確認するだけです。
4. 負の最小数は、2 の補数の場合の -128 ではなく、 -127 です。

このアプローチは、符号を表示する一般的な方法（数値の絶対値の横に「+」または「-」を配置する）に直接相当します。一部の初期のバイナリ コンピューター（IBM 7090など）では、おそらく一般的な使用法との自然な関係から、この表現が使用されています。符号絶対値は、浮動小数点値の仮数を表す最も一般的な方法です。

1の補数表現^[6]では、負の数は正の数のビットごとのNOT（つまり「補数」）に対応するビットパターンで表されます。符号-絶対値表現と同様に、1の補数には0の2つの表現があります：00000000（+0）と11111111（-0）。^[7]

たとえば、00101011 (43 ₁₀ ) の 1 の補数形式は 11010100 (−43 ₁₀ ) になります。1の補数を使用した符号付き数値の範囲は、−(2 ^{N −1} − 1)～(2 ^{N −1} − 1)および ±0 で表されます。従来の 8 ビット バイトは −127 ₁₀～ +127 ₁₀で、ゼロは 00000000 (+0) または 11111111 (−0) のいずれかになります。

このシステムで表される2つの数を加算するには、従来の2進加算を行いますが、その後、エンドアラウンドキャリーを行う必要があります。つまり、結果として生じるキャリーを結果の合計に加算し戻します。^[8]なぜこれが必要なのかを理解するために、-1 (11111110) と +2 (00000010) を加算する場合を示す次の例を考えてみましょう。

    2進数 10進数
   11111110 −1
+ 00000010 +2
────────
 1 00000000 0 ← 正解ではありません
          1 +1 ← 繰り上がりを追加
────────
   00000001 1 ← 正解

前の例では、最初の 2 進数の加算で 00000000 が得られましたが、これは正しくありません。正しい結果 (00000001) は、繰り上がりを加算し直した場合にのみ表示されます。

用語に関する注意: このシステムは「1の補数」と呼ばれます。これは、正の値xの否定( xのビットごとの否定として表される) が、1 の長いシーケンス (-0) であるゼロの 1 の補数表現からx を減算することによっても形成されるためです。一方、2 の補数演算では、+0と一致する単一の大きな 2 の累乗からx を減算することによってxの否定を形成します。^[9]したがって、同じ負の値の 1 の補数表現と 2 の補数表現は 1 だけ異なります。

負の数の 1 の補数表現は、絶対値をビット単位で補数化する(最初のビット以降のすべてのビットを反転する) だけで、符号絶対値表現から取得できることに注意してください。たとえば、10 進数 -125 の符号絶対値表現 11111101 は、1 の補数形式で 10000010 と表すことができます。

2 の補数表現では、負の数は、正の数に 1 を加えた値のビット単位の NOT (つまり「補数」)、つまり 1 の補数に 1 を加えた値に対応するビット パターンで表されます。これにより、0 の複数の表現の問題や、1 の補数表現の桁上げの必要性を回避できます。これは、最上位ビットが符号なし整数の値の逆数を表すと考えることもできます。8 ビットの符号なしバイトでは、最上位ビットは 128 分の 1 の位を表しますが、2 の補数ではそのビットは -128 を表します。

2の補数では、0は1つだけで、00000000と表されます。数値（負数でも正数でも）の反転は、すべてのビットを反転してから、その結果に1を加算することで行います。^[10]これは、実際には2 ^{N を}法とするすべての整数のリング構造を反映しています。2の補数整数のペアの加算は、符号なし数値のペアの加算と同じです（オーバーフローの検出（行われる場合）を除く）。減算についても同じことが言え、積（乗算の値）のN最下位ビットについても同じです。たとえば、127と-128の2の補数の加算は、8ビットの2の補数表からわかるように、127と128の符号なし加算と同じ2進ビットパターンになります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2^{N}\mathbb {Z} }$

2 の補数で数値の否定を取得するより簡単な方法は次のとおりです。

方法 2:

1. 数値のすべてのビットを反転します。これは、負の 1 から減算するのと同じ結果を計算します。
2. 1つ追加

例: +2 は 2 進数では 00000010 です (~ 文字はC の ビット単位の NOT演算子なので、~X は「X のすべてのビットを反転する」という意味です):

1. ~00000010 → 11111101
2. 11111101 + 1 → 11111110 (2の補数では-2)

オフセット2進表現（過剰Kまたはバイアス付きとも呼ばれる）では、符号付き数は、符号なし数にK を加えたビットパターンで表され、Kはバイアス値またはオフセットです。したがって、 0 はKで表され、 − Kはすべてゼロのビットパターンで表されます。これは、前述の2の補数（実質的には最上位ビットを反転した過剰 (2 ^{N −1} )表現）をわずかに修正して一般化したものと考えることができます。

バイアス表現は現在、主に浮動小数点数の指数に使用されています。IEEE 754 浮動小数点標準では、単精度(32 ビット) 数の指数フィールドを8 ビットの超過 127フィールドとして定義しています。倍精度(64 ビット) 指数フィールドは 11 ビットの超過 1023フィールドです。指数バイアスを参照してください。また、2 進化 10 進数の超過 3としても使用されていました。

基数 -2 の表現では、符号付き数は基数 -2 の記数法を使用して表されます。従来の 2 進数システムでは、基数、つまり基数は 2 です。したがって、右端のビットは 2 ⁰、次のビットは 2 ¹、次のビットは 2 ²などを表します。ただし、基数 -2 の 2 進数システムも可能です。右端のビットは(-2) ⁰ = +1、次のビットは(-2) ¹ = -2、次のビットは(-2) ² = +4などを表し、交互に符号が付きます。4 ビットで表すことができる数値を以下の比較表に示します。

表現できる数値の範囲は非対称です。ワードのビット数が偶数の場合、表現できる最大の負の数値の大きさは、表現できる最大の正の数値の 2 倍になります。ワードのビット数が奇数の場合はその逆になります。

次の表は、4 ビットを使用して表すことができる正の整数と負の整数を示しています。

同じ表を「これらのバイナリ ビットが与えられた場合、表現システムによって解釈される数値は何か」から見ると、次のようになります。

Google のプロトコル バッファ「ジグザグ エンコーディング」は、符号絶対値に似たシステムですが、最下位ビットを使用して符号を表し、ゼロの単一の表現を持ちます。これにより、非負 (符号なし) 整数を対象とした可変長数量エンコーディングを、符号付き整数に効率的に使用できます。^[11]

同様の方法が、Advanced Video Coding/H.264およびHigh Efficiency Video Coding/H.265ビデオ圧縮規格で使用され、指数ゴロム コーディングを負の数に拡張します。この拡張では、最下位ビットはほぼ符号ビットです。ゼロはすべての負の数と同じ最下位ビット (0) を持ちます。この選択により、2 の補数やプロトコル バッファーのジグザグ エンコーディングとは異なり、表現可能な正の数の最大値は負の数の最大値より 1 つ大きくなります。

別のアプローチは、各桁に符号を付けて、符号付き桁表現を生成することです。たとえば、1726 年にジョン・コルソンは、式を「小さな数」、つまり数字の 1、2、3、4、5 に縮小することを提唱しました。1840 年にオーギュスタン・コーシーも、計算のエラーを減らすために、このような修正された 10 進数を好むと表明しました。

• バランスのとれた三元
• 2進化10進数
• コンピュータの数値形式
• 補語法
• 署名

• イヴァン・フローレス『コンピュータ演算の論理』プレンティス・ホール（1963年）
• Israel Koren、Computer Arithmetic Algorithms、AK Peters (2002)、ISBN 1-56881-160-8