ゼロモルフィズム

数学の一分野である圏論において、ゼロ射は、ゼロ対象への射やゼロ対象からの射のような特性を示す特殊な種類の射である。

Cがカテゴリで、f  : X → YがC内の射であるとします。射fは、 C内の任意のオブジェクトWと任意のg , h  : W → Xに対して、 fg = fh が成り立つとき、定数射 (または左ゼロ射 と呼ばれることもあります) と呼ばれます。双対的に、 C 内の任意のオブジェクト Z と任意の g, h : Y → Z に対して、gf = hf が成り立つとき、fはコ定数射(または右ゼロ 射と呼ばれることもあります)と呼ばれます。ゼロ射は、定数射とコ定数射の両方である射です。

ゼロ射を持つカテゴリとは、C内のすべての 2 つのオブジェクトAとBに対して、固定された射 0 _AB  : A → Bがあり、この射のコレクションは、C内のすべてのオブジェクトX、Y、Zとすべての射f  : Y → Z、g  : X → Yに対して、次の図が可換であるようなカテゴリです。

射 0 _XYは必然的にゼロ射であり、互換性のあるゼロ射のシステムを形成します。

Cが零射を持つカテゴリである場合、 _0XYの集合は一意である。^[1]

「ゼロ射」と「ゼロ射を持つカテゴリ」というフレーズを別々に定義するこの方法は残念ですが、各ホムセットが一意の「ゼロ射」を持つ場合、カテゴリは「ゼロ射を持つ」ことになります。

C にゼロオブジェクト0がある場合、C内の2 つのオブジェクトXとYが与えられると、標準射f  : X → 0とg  : 0 → Yが存在します。すると、gf はMor _C ( X , Y )内のゼロ射になります。したがって、ゼロオブジェクトを持つすべてのカテゴリは、合成 0 _XY  : X → 0 → Yによって与えられるゼロ射を持つカテゴリです。

カテゴリにゼロ射がある場合、そのカテゴリ内の任意の射に対して カーネルとコカーネルの概念を定義できます。

• パレイギス、ボド（1970）「カテゴリーと関数」第1.7節、純粋数学と応用数学、第39巻、アカデミック・プレス、ISBN 978-0-12-545150-5
• ヘルリッヒ、ホルスト。 Strecker、George E. (2007)、圏論、Heldermann Verlag。