ゼロから無限へ

『ゼロから無限へ: 数字を面白くするもの』は、コンスタンス・リードによる数学と数論の一般向け書籍です。1955年にトーマス・Y・クロウェル社から初版が出版されました。 ^[1]第4版は1992年にアメリカ数学協会のMAAスペクトラムシリーズから出版されました。 ^{[2] [3] [4]} AKピーターズは2006年に第5版の「50周年記念版」を出版しました^{。[5] [6] [7] [8] [9] [10]}

リード自身はプロの数学者ではなかったが、姉のジュリア・ロビンソンと義理の兄のラファエル・M・ロビンソンを含む数学一家の出身であった。^{[11]彼女は教師として働いていたが、} 『ゼロから無限へ』が出版された頃には「主婦兼フリーライター」となっていた。^[1]彼女は数学と数学者に関する多くの本で知られ、それらは一般読者を対象としており、この本はその最初の本であった。^[11]

リードの数論への興味は、彼女の姉がコンピュータを使ってメルセンヌ素数を発見したことに端を発する。彼女は1953年にサイエンティフィック・アメリカン誌に、密接に関連したテーマである完全数に関する論文を発表し、その後すぐにこの本を執筆した。^{[4]彼女が意図したタイトルは}「What Makes Numbers Interesting」であったが、出版社によって「From Zero to Infinity」というタイトルに変更された。^[8]

『ゼロから無限へ』の12の章は、10進数の10の位、（オイラー数、約2.71828）、および最小の無限基数で番号が付けられている。各章のトピックは、何らかの形でその章番号と関連しており、本が進むにつれて一般的には洗練度が増していく。^{[4] [5] [10]}${\displaystyle e}$${\displaystyle \aleph_{0}}$

• 第0章では、数体系の歴史、位取り記法の発展とゼロの仮置き記号の必要性、そしてずっと後になってゼロが数そのものであるという理解について論じています。また、ゼロが他のすべての数の中で持つ特別な性質と、ゼロ除算から生じる不定形の概念についても論じています。^{[4] [5] [10]}
• 第1章では、数を数えること、算術、素数と因数分解の概念について説明します。^{[4] [5]}
• 第2章のトピックには、 2進数表現、その古代の農民の掛け算や現代のコンピュータ演算での使用、ゴットフリート・ライプニッツによる数体系としての形式化などが含まれます。より一般的には、異なる基数を持つ数体系のアイデアと、16進数を含む特定の基数について説明します。^{[4] [5]}
• 第3章では素数に戻り、エラトステネスのふるいを使って素数を生成する方法や、より現代的な素数判定法などについて説明します。^[4]
• 第4章では平方数、平方数が数と等しいというガリレオの観察、ピタゴラスの定理、フェルマーの最終定理、そしてより一般的にはディオファントス方程式について取り上げます。^{[4] [5]}
• 第5章では、図形数、整数分割、そしてこれら2つの概念を結びつける生成関数と五角数定理について説明します。 ^{[4] [5]}
• 第6章では、リードは、以前の記事で取り上げた完全数（そのうち6は最小の非自明な例）と、完全数とメルセンヌ素数の関連、大きな素数の探索、リードの親族による新しいメルセンヌ素数の発見について取り上げています。^{[4] [5]}
• メルセンヌ素数は2の累乗より1小さい素数です。第7章では、2の累乗より1大きい素数、フェルマー素数、およびそれらの作図可能な多角形との密接な関係について説明します。7辺を持つ七角形はフェルマー素数の積ではないため、作図できない最小の多角形です。^[4]
• 第8章では立方体と、整数を立方体や他の累乗の和として表すウォーリングの問題について取り上げます。 ^{[4] [5]}
• 第9章のテーマは、モジュラー算術、割り切れるかどうか、そしてそれらの位置表記法との関係であり、 9で割り切れるかどうかを判断するために9を除外することも含まれます。 ^{[4] [5] [10]}
• 第4章では、ゼロから無限大まで、整数から無理数、複素数、対数、オイラーの公式へと話題が移ります。そして、連分数の理論と素数定理を通して、これらの話題を再び整数へと結び付けます。^[4]${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e^{i\pi}=1}$
• 最終章では、アレフ数と無限集合論の基本的な入門書が提供され、その中にはカントールの対角線による無限集合の存在の証明も含まれる。^{[4] [5]}${\displaystyle \aleph_{0}}$

初版には第0章から第9章までしか収録されていませんでした。^{[1]無限集合に関する章は第2版で追加され、}興味深い数のパラドックスに関するセクションが置き換えられました。^[12]その後の版では、リードによって「徹底的に更新」されました。^{[4]特に、第5版では}メルセンヌ素数の探索とフェルマーの最終定理の証明に関する更新が含まれており、以前の版から削除されていた索引が復元されています。^[9]

『ゼロから無限へ』は、学生と数学に詳しくない大人の両方が読めるように書かれており、^[4]高校レベルの数学の知識だけを前提としている。^[7]最後の章にある短い「クイズ問題」は、教室での議論を刺激するのに役立ち、中等学校の数学コースの補足教材として役立つだろう。^{[6] [10]}

第4版を評して、数学者のデイビッド・シングマスターは、この本を「初版以来の数学普及の古典的著作の一つ」であり、「数学とは何かを知るための楽しい入門書」と評している。^[4]評論家のリン・ゴッドシャルは、この本を「非常に読みやすい数字の歴史書」であり、「教育者と学生の両方が容易に理解できる」と評している。^[6]マレー・シーゲルは、この本を「すべての数学教師と、数学を教えるために学生を準備する大学教授陣の図書館」になくてはならない本だと評している。^[10]

シンマスターは、この本の数学的な部分についてのみ不満を述べている。それは、第4章でエジプト人が3-4-5の直角三角形を知っていたという主張（これは今でもかなりの学術的議論の対象となっている）と、第7章で、作図可能な多角形の分類がなぜ素数の辺の場合に還元できるのかという議論が省略されている点である。 ^[4]シーゲルは、代数因数分解に関する別の小さな誤りを指摘しているが、それを見つけることは学生にとって別の有用な演習になるかもしれないと示唆している。^[10]