代数学の歴史

代数は本質的に、算術に似た計算を非数値的な数学的対象で行うものと考えることができます。しかし、19 世紀までは、代数は本質的に方程式の理論で構成されていました。たとえば、代数の基本定理は方程式の理論に属しており、今日では代数に属するとは考えられていません (実際、すべての証明は実数の完全性を使用する必要がありますが、これは代数的性質ではありません)。

この記事では、方程式の理論（この記事では「代数学」と呼ぶ）の歴史について、その起源から代数学が数学の独立した分野として出現するまでを説明します。

「代数学」という言葉はアラビア語のالجبر al-jabrに由来しており、これは中世ペルシャの数学者Al-Khwārizmīが 830 年に書いた論文に由来しています。そのアラビア語の題名Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala は、「補完と平衡による計算に関する簡潔な書」と翻訳できます。この論文は、線形方程式と二次方程式の体系的な解法を提供しました。ある歴史書によると、「アル・ジャブルとムカバラという用語が何を意味するのかは定かではないが、通常の解釈は以前の翻訳で示唆されたものと似ている。アル・ジャブルという語はおそらく「修復」または「完成」のような意味を持ち、減算された項を方程式の反対側に転置することを指すと思われる。一方、「ムカバラ」という語は「削減」または「バランス調整」、つまり方程式の反対側にある同種の項の相殺を指すと言われている。アル・フワーリズミーの時代よりずっと後のスペインにおけるアラビアの影響はドン・キホーテに見られ、そこでは「アルジェブリスタ」という語が「整骨師」、つまり「修復者」として使用されている。」^{[1]この用語は、アル＝フワーリズミーが導入した「}削減」と「バランス」という操作を説明するために使用されており、減算された項を方程式の反対側に転置すること、つまり方程式の反対側にある同種の項をキャンセルすることを指します。^[2]

代数学は、現在数学で広く使われている記号を常に使用していたわけではなく、3つの異なる段階を経てきました。記号代数の発展段階は、おおよそ次のようになります。^[3]

• 修辞代数。方程式が完全な文章で書かれます。たとえば、の修辞形式は「物に 1 を加えると 2 になる」または「物に 1 を加えると 2 になる」です。修辞代数は古代バビロニア人によって最初に開発され、16 世紀まで主流でした。${\displaystyle x+1=2}$

• シンコペーション代数では、ある程度の記号が使われますが、記号代数の特徴をすべて備えているわけではありません。たとえば、減算は方程式の片側で 1 回しか使用できないという制限がある場合がありますが、これは記号代数には当てはまりません。シンコペーション代数式は、ディオファントスの『算術』 (紀元 3 世紀)で初めて登場し、その後、ブラフマグプタの『ブラフマー・スプタ・シッダーンタ』(7 世紀)に登場しました。
• 記号代数では、完全な記号表現が使われます。これへの初期の取り組みは、イブン・アル＝バンナ（13～14世紀）やアル＝カラサディ（15世紀）など、イスラムの数学者の著作に見られますが、完全な記号代数はフランソワ・ビエト（16世紀）によって開発されました。その後、ルネ・デカルト（17世紀）が現代の表記法（たとえば、xの使用 - 以下を参照）を導入し、幾何学で生じる問題は代数（デカルト幾何学）で表現および解決できることを示しました。

代数学における記号の使用または不使用と同様に重要なのは、扱われる方程式の程度です。二次方程式は初期の代数学で重要な役割を果たしました。そして、歴史のほとんどを通じて、近代初期まで、すべての二次方程式は 3 つのカテゴリのいずれかに属するものとして分類されていました。

• ${\displaystyle x^{2}+px=q}$
• ${\displaystyle x^{2}=px+q}$
• ${\displaystyle x^{2}+q=px}$

ここで、およびは正である。この三分法は、およびが正である形式の二次方程式には正の根がないため生じる。^[4]${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle x^{2}+px+q=0,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

記号代数の修辞的段階とシンコペーション段階の間に、古代ギリシャとインドのヴェーダ数学者によって幾何学的構成代数が開発され、代数方程式は幾何学によって解かれました。たとえば、次の形式の方程式は、面積の正方形の辺を求めることによって解かれました。${\displaystyle x^{2}=A}$${\displaystyle A.}$

代数的アイデアを表現する3つの段階に加えて、表現の変化に伴って代数の発展に4つの概念段階があることを認識した著者もいる。これらの4つの段階は以下のとおりである。^[5]

• 幾何学段階。代数の概念は主に幾何学的である。これはバビロニア人にまで遡り、ギリシャ人に引き継がれ、後にオマール・ハイヤームによって復活した。
• 静的方程式を解く段階。この段階では、特定の関係を満たす数を見つけることが目的です。幾何学段階からの移行はディオファントスとブラフマグプタにまで遡りますが、アル・フワーリズミーが代数問題を解くための一般化されたアルゴリズムプロセスを導入するまで、代数学は静的方程式を解く段階に決定的に移行しませんでした。
• 運動が基礎となる概念である動的関数の段階。関数の概念はシャラフ・アルディーン・トゥーシーによって現れ始めましたが、代数学が動的関数の段階に決定的に移行したのはゴットフリート・ライプニッツの登場まででした。
• 抽象段階。数学的構造が中心的な役割を果たす。抽象代数は主に 19 世紀と 20 世紀の産物である。

代数学の起源は古代バビロニア人にまで遡ることができます。^[6]彼らは位取り記数法を考案し、修辞的な代数方程式を解くのに大いに役立ちました。バビロニア人は正確な解ではなく近似値に興味があったため、中間値を近似するために線形補間を使用することがよくありました。 ^[7]最も有名な粘土板の1つは、紀元前1900年から1600年頃に作られたプリンプトン322粘土板で、ピタゴラスの三つ組の表が示されており、ギリシャ数学以前の最も進んだ数学の一部を表しています。^[8]

バビロニアの代数学は、当時のエジプトの代数学よりはるかに進んでいた。エジプト人が主に線形方程式に関心を持っていたのに対し、バビロニア人は二次方程式と三次方程式に関心を持っていた。^[7]バビロニア人は、等しいものを等しいものに加えたり、方程式の両辺に同種の量を掛け合わせて分数や因数を消去したりする柔軟な代数演算を開発した。^[7]彼らは、多くの単純な因数分解、^[7]正の根を持つ3項二次方程式、^[9]および多くの三次方程式^[10]に精通していたが、一般的な三次方程式を簡約できたかどうかはわかっていない。^[10]

古代エジプトの代数学は主に線形方程式を扱っていたが、バビロニア人はこれらの方程式が初歩的すぎると感じ、エジプト人よりも高いレベルの数学を発展させた。^[7]

リンド・パピルスは、アハメス・パピルスとしても知られ、紀元前1650年頃にアハメスによって書かれた古代エジプトのパピルスで、紀元前2000年から1800年の間に書かれたとされる以前の作品から転写されたものである。^[11]これは、歴史家が知る古代エジプトの数学文書の中で最も広範囲にわたるものである。^[12]リンド・パピルスには、およびの形式の線形方程式を解く問題が含まれており、およびは既知であり、「アハ」またはヒープと呼ばれるものは未知数である。^[13]おそらく、その解は「偽位置法」またはレギュラ・ファルシを使用して導き出されたと思われるが、これは、まず特定の値を方程式の左側に代入し、次に必要な算術計算を行い、次にその結果を方程式の右側と比較し、最後に比率を使用して正しい答えを見つけるというものである。いくつかの問題では著者は自分の解答を「検証」しており、それによって最も初期の単純な証明の一つを書いている。^[13]${\displaystyle x+ax=b}$${\displaystyle x+ax+bx=c}$${\displaystyle a,b,}$${\displaystyle c}$${\displaystyle x,}$

ギリシャ人は代数学を持っていなかったと主張されることもあるが、これには異論がある。 ^[15]プラトンの時代までに、ギリシャの数学は劇的な変化を遂げていた。ギリシャ人は幾何代数を創り出し、項は幾何学的対象（ ^[16]通常は線）の辺で表され、その辺には文字が関連付けられていた。 ^[17]この新しい形式の代数により、彼らは「面積の適用」として知られる自らが発明したプロセスを使用して方程式の解を求めることができた。^{[16] 「面積の適用」は幾何代数の一部に過ぎず、}ユークリッドの『原論』で徹底的に扱われている。

幾何代​​数の例としては、線型方程式を解くことが挙げられます。古代ギリシャ人は、この方程式を、比と面積の等式としてではなく、面積の等式として解いていました。ギリシャ人は、長さの辺を持つ長方形を描き、次に長方形の一辺を長さまで延長し、最後に延長した長方形を完成させて、長方形の解となる辺を見つけました。^[16]${\displaystyle ax=bc.}$${\displaystyle a:b}$${\displaystyle c:x.}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c,}$${\displaystyle a,}$

イアンブリコスは『算術入門』の中で、ティマリダス（紀元前400年頃 - 紀元前350年頃）が連立一次方程式を研究していたと述べています。 ^[18]特に、彼は当時有名だった「ティマリダスの花」または「ティマリダスの花」として知られる規則を考案しました。それは次のことを述べています。

量の合計が与えられ、さらに特定の量を含むすべてのペアの合計も与えられた場合、この特定の量はこれらのペアの合計と最初に与えられた合計との差に等しくなります。^[19]${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/(n-2)}$

あるいは現代の記法を用いると、次の未知数線形方程式系の解は、^[18]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle x+x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}=s}$
${\displaystyle x+x_{1}=m_{1}}$
${\displaystyle x+x_{2}=m_{2}}$
${\displaystyle \vdots}$
${\displaystyle x+x_{n-1}=m_{n-1}}$

は、

${\displaystyle x={\cfrac {(m_{1}+m_{2}+...+m_{n-1})-s}{n-2}}={\cfrac {(\sum _{i=1}^{n-1}m_{i})-s}{n-2}}.}$

イアンブリコスは、この形式ではないいくつかの線形方程式系をどのようにしてこの形式に配置できるかを説明しています。^[18]

ユークリッド（ギリシャ語：Εὐκλείδης）は、エジプトのアレクサンドリアで活躍したギリシャの数学者であり、プトレマイオス1世の治世（紀元前323-283年）の頃とほぼ確実に考えられている。^{[20] [21]}彼の生誕年や場所^[20]、死因も明らかにされていない。

ユークリッドは「幾何学の父」とみなされている。彼の著書『原論』は数学史上最も成功した教科書である。^[20]彼は歴史上最も有名な数学者の一人であるが、彼に帰せられる新しい発見はない。むしろ、彼はその優れた説明力で記憶されている。^[22]『原論』は、時々考えられているように、当時のギリシャ数学の知識のすべてをまとめたものではなく、むしろ数学の初歩的な入門書である。^[23]

ユークリッドの『原論』に代表されるギリシャ人の幾何学的著作は、特定の問題の解決を超えて、方程式を述べて解くより一般的なシステムへと公式を一般化する枠組みを提供した。

原論第2巻には14の命題が含まれており、ユークリッドの時代には幾何代数学を行う上で極めて重要でした。これらの命題とその結果は、現代の記号代数と三角法の幾何学的等価物です。^[15]今日、現代の記号代数を使用して、記号で既知および未知の大きさ（つまり数）を表し、それらに代数演算を適用しますが、ユークリッドの時代には大きさは線分と見なされ、結果は幾何学の公理または定理を使用して演繹されました。^[15]

加算と乗算の多くの基本法則は『原論』に含まれており、幾何学的に証明されています。たとえば、第 2 巻の命題 1 は次のように述べています。

2 本の直線があり、そのうちの 1 本が任意の数の線分に切断される場合、2 本の直線によって囲まれる長方形は、切断されていない直線と各線分によって囲まれる長方形に等しくなります。

しかし、これは（左）分配法則の幾何学的バージョンに過ぎません。原論の第5巻と第7巻では、乗法の交換法則と結合法則が実証されています。^[15]${\displaystyle a(b+c+d)=ab+ac+ad}$

多くの基本方程式は幾何学的にも証明されている。例えば、第2巻の命題5は^[24]を証明し、第2巻の命題4は^{[15]を証明している。}${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(ab),}$${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.}$

さらに、多くの方程式には幾何学的な解も与えられている。例えば、第2巻の命題6は二次方程式の解を与え、第2巻の命題11は^[25]の解を与えている。${\displaystyle ax+x^{2}=b^{2},}$${\displaystyle ax+x^{2}=a^{2}.}$

『データ』は、アレクサンドリアの学校での使用のためにユークリッドが書いた作品であり、『原論』の最初の6巻の姉妹書として使われることを意図していた。この本には約15の定義と95の命題が含まれており、そのうち約24の命題は代数の規則や公式として役立つ。 ^[26]これらの命題のいくつかは、2次方程式の解と幾何学的に同等である。 ^[26]たとえば、『データ』には方程式の解とよく知られているバビロニアの方程式^{が含まれている[26]。}${\displaystyle dx^{2}-adx+b^{2}c=0}$${\displaystyle xy=a^{2},x\pm y=b.}$

円錐曲線は、円錐と平面の交差によって生じる曲線です。円錐曲線には、楕円（円を含む）、放物線、双曲線の3つの主要なタイプがあります。円錐曲線は、メナエクモス^[27] （紀元前380年頃-紀元前320年頃）によって発見されたと言われており、円錐曲線を扱うことはそれぞれの方程式を扱うことと同等であるため、3次方程式やその他の高次方程式と同等の幾何学的役割を果たしました。

メナエクモスは、放物線では方程式が成り立つことを知っていた。ここで、はlatus rectumと呼ばれる定数であるが、2つの未知数に関する方程式は曲線を決定するという事実は知らなかった。^{[28]彼は円錐曲線のこれらの特性やその他の特性も明らかに導き出した。この情報を使用して、2つの放物線が交差する点を解くことで}立方体の複製の問題を解くことが可能になり、これは3次方程式を解くのと同等の解であった。^[28]${\displaystyle y^{2}=lx}$${\displaystyle l}$

エウトキオスによれば、彼が三次方程式を解くために使った方法は、ディオニソドロス(紀元前 250 年 - 紀元前 190 年) に由来する。ディオニソドロスは、直角双曲線と放物線の交差を利用して三次方程式を解いた。これは、アルキメデスの『球と円柱について』の問題に関連していた。円錐曲線は、ギリシャ、そして後にはイスラムやヨーロッパの数学者によって何千年も研究され、使用されることになる。特に、ペルガのアポロニオスの有名な『円錐曲線論』は、他のトピックとともに円錐曲線を扱っている。

中国の数学は紀元前300年頃に遡る『周壁算経』で、これは一般的に中国最古の数学文献の一つと考えられている。^[29]

紀元前250年頃に書かれた九章算術書は、中国の数学書の中でも最も影響力のある書の一つで、約246問の問題から構成されている。第8章では、正負の数を使った定常線形方程式と不定線形方程式の連立方程式を解く問題を扱っており、5つの未知数を持つ4つの方程式を解く問題を1問扱っている。^[29]

『測円海鏡』は、李治（李業、1192年 - 1279年）が書いた約170の問題集である。李治はファンファ法、つまりホーナー法を使って6次までの方程式を解いたが、方程式を解く方法については記述していない。^[30]

『九部数学論』は、裕福な知事で大臣でもあった秦秋韶（ 1202年頃 - 1261年頃）によって書かれた。同時合同を解く方法（現在では中国剰余定理と呼ばれている）が導入され、中国の不定解析の最高点となった^[要説明]。^[30]

最も古い魔方陣は中国で登場した。^[31] 『九章』では、著者は連立一次方程式の係数と定数項を魔方陣（つまり行列）に配置し、その魔方陣に対して列削減操作を実行することで、連立一次方程式を解いている。^[31] 3次以上の魔方陣で最も古い魔方陣は楊慧（1261年頃活躍 - 1275年）の作とされ、楊慧は10次までの魔方陣を研究した。^[32]

四元玉鏡は1303年に朱世傑によって書かれたもので、中国代数学の発展の頂点を成す書である。天、地、人、物と呼ばれる四つの要素は、彼の代数方程式における4つの未知数を表す。四元玉鏡は連立方程式や14次までの方程式を扱っている。著者はこれらの方程式を解くのに、今日ではホーナー法と呼ばれるファンファ法を使用している。^[33]

『宝鏡』は丸いゼロ記号を使った算術三角形（パスカルの三角形）の図で始まるが、朱世傑はそれを自分の作品だとは否定している。楊慧の著作にも同様の三角形が登場するが、ゼロ記号は使われていない。^[34]

宝鏡には証明なしの和の方程式が数多く示されている。そのいくつかは以下の通りである。^[34]

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 3!}}$

${\displaystyle 1+8+30+80+\cdots +{n^{2}(n+1)(n+2) \over 3!}={n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1) \over 5!}}$

ディオファントスは紀元250年頃に生きたヘレニズム時代の数学者だが、この年代は不確実性が非常に高く、1世紀以上ずれている可能性がある。彼は『算術』を著したことで知られており、この論文はもともと13巻だったが、現存するのは最初の6巻のみである。^[35] 『算術』は、代数によって算術問題を解く現存する最古の著作である。しかし、ディオファントスは代数の方法を発明したわけではなく、彼以前にも代数の方法は存在していた。^[36]代数は実践者によって口頭で実践され、普及し、ディオファントスは算術の問題を解くテクニックを習得した。^[37]

現代代数学では、多項式は指数、スカラー乗算、加算、減算から構成される変数xの線形結合である。ディオファントスの代数は、中世アラビア代数に似ており、演算のない異なるタイプのオブジェクトの集合である^[38]

例えば、ディオファントスの多項式「6 4 ′逆べき乗、9 単位が足りない 25 べき乗」は、現代の記法では、演算が存在しない 9 個の第三種のオブジェクトが欠けている 2 種目のオブジェクト 25 個を持つ 1 種のオブジェクトの集合である。 ^[39]${\displaystyle 6{\tfrac {1}{4}}x^{-1}+25x^{2}-9}$${\displaystyle 6{\tfrac {1}{4}}}$

中世アラビア代数と同様に、ディオファントスは代数によって問題を解決するために 3 つの段階を使用します。

1) 未知数に名前を付け、方程式を立てる

2) 方程式は標準形（アラビア語では al-jabr と al-muqābala）に簡略化されます。

3) 簡略化された方程式を解く^[40]

ディオファントスは、アル＝フワーリズミーのように方程式を6つのタイプに分類して、現存する『算術書』には記載していない。彼は、後に3項方程式の解法を与えると述べているため、この部分はおそらく失われていると思われる^[37]。

ディオファントスは『算術』の中で、初めて未知数を表す記号や、数の累乗、関係、演算の略語を使用した。^{[41]こうして彼は、現在では}シンコペーション代数として知られるものを使用した。ディオファントスのシンコペーション代数と現代の代数記法の主な違いは、前者には演算、関係、指数を表す特別な記号が欠けていたことである。^[42]

例えば、次のように書くと

${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+10x-1=5,}$

これは次のように書き直すことができる。

${\displaystyle \left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5,}$

ディオファントスのシンコペーション記譜法では次のように書かれる。

${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\;\zeta {\overline {\iota }}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon }{\overline {\beta }}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha }}\,\;}$ἴ${\displaystyle \sigma \;\,\mathrm {M} {\overline {\varepsilon }}}$

ここで、記号は以下の意味を表す：^{[43] [44]}

現代の記法とは異なり、係数は変数の後に来ており、その加算は項の並置によって表される。ディオファントスのシンコペーション方程式を現代の記号方程式に文字通り記号ごとに翻訳すると、次のようになる。^[43]

${\displaystyle {x^{3}}1{x}10-{x^{2}}2{x^{0}}1={x^{0}}5}$

ここで明確にしておくと、現代の括弧とプラス記号を使用すると、上記の式は次のように書き直すことができます。^[43]

${\displaystyle \left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5}$

しかし、「修辞代数」、「シンコペーション代数」、「記号代数」の区別は、ジェフリー・オークスとジャン・クリスティアーニディスによって時代遅れとみなされている。問題は何らかの記法を使ってダストボード上で解かれ、一方、本では解答は「修辞的スタイル」で書かれていた。^[45]

算数では恒等式も使われている: ^[46]

インドの数学者は数体系の研究に熱心に取り組んでいた。最も古いインドの数学文献は紀元前1千年紀の中頃（紀元前6世紀頃）のものである。^[47]

インドの数学で繰り返し登場するテーマとしては、確定的および不確定的な線形方程式と二次方程式、単純な測量法、ピタゴラスの三つ組などがある。^[48]

アリヤバータ(476–550) はインドの数学者で、『Aryabhatiya』を著しました。その中で彼は規則を与えた^[49]

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}}$

そして

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\cdots +n^{3}=(1+2+\cdots +n)^{2}}$

ブラフマグプタ（628年頃活躍）はインドの数学者で、ブラフマー・スプタ・シッダーンタを著した。その著作の中で、ブラフマグプタは正負両方の根を持つ一般二次方程式を解いている。^[50]不定解析において、ブラフマグプタはピタゴラスの三つ組を与えているが、これはブラフマグプタが精通していた可能性のある古代バビロニアの規則の修正形である。^[51]彼は、およびが整数である線形ディオファントス方程式の一般解を初めて与えた。不定方程式に1つの解しか与えなかったディオファントスとは異なり、ブラフマグプタはすべての整数解を与えた。しかし、ブラフマグプタがディオファントスと同じ例をいくつか使ったことから、一部の歴史家はブラフマグプタの著作にギリシャの影響、あるいは少なくとも共通のバビロニアの資料がある可能性を考察している。^[52]${\displaystyle m,{\frac {1}{2}}\left({m^{2} \over n}-n\right),}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({m^{2} \over n}+n\right),}$${\displaystyle ax+by=c,}$${\displaystyle a,b,}$${\displaystyle c}$

ディオファントスの代数学と同様に、ブラフマグプタの代数学もシンコペーションがとられていた。加算は数字を並べて表し、減算は減数の上に点を置き、除算は除数を被除数の下に置くことで表した。これは現代の記法に似ているが、バーは付いていない。乗算、進化、未知数は適切な用語の省略形で表した。^[52]このシンコペーションにギリシャの影響がどの程度あったかは不明であり、ギリシャとインドのシンコペーションはどちらも共通のバビロニア起源である可能性がある。^[52]

バースカラ2世（1114年 - 1185年頃）は12世紀を代表する数学者。代数学において、彼はペル方程式の一般解を与えた。^[52]彼は『リラヴァティ』と『ヴィジャ・ガニタ』の著者であり、そこには確定的および不確定的な線形方程式と二次方程式、ピタゴラス数列を扱う問題が含まれているが^[48]、彼は正確な記述と近似的な記述を区別できていない。^[53] 『リラヴァティ』と『ヴィジャ・ガニタ』の問題の多くは他のヒンドゥー教の文献から引用されており、バースカラは不確定解析を扱うのに最も長けている。^[53]

バースカラは、色の名前の最初の記号を未知の変数の記号として使用します。したがって、たとえば、今日では次のように書きます。

${\displaystyle (-x-1)+(2x-8)=x-9}$

バースカラはこう書いただろう

. _ .

や1る1

。

ヤ2ル8

。

1 ル9をさがす

ここで、ya はblackという単語の最初の音節を示し、ru はspecies という単語から取られています。数字の上の点は減算を示しています。

イスラム教の アラブ帝国の最初の世紀には、アラブ人が新たに征服した帝国でまだ知的意欲を獲得しておらず、世界の他の地域での研究が衰退していたため、科学的または数学的な成果はほとんど見られなかった。8世紀後半には、イスラム教は文化的覚醒を遂げ、数学と科学の研究が増加した。^[54]イスラム教のアッバース朝の カリフ 、アル・マムーン（809-833）は、アリストテレスが彼の前に現れる夢を見たと言われており、その結果、アル・マムーンはプトレマイオスのアルマゲストとユークリッドの原論を含む可能な限り多くのギリシャ語の作品をアラビア語に翻訳するように命じた。2つの帝国が不安定な平和を保っていたため、ギリシア語の作品は条約と引き換えにビザンチン帝国からイスラム教徒に与えられた。 ^[54]これらのギリシャ語の著作の多くは、ユークリッド、アルキメデス、アポロニウス、プトレマイオス、エウトキオスらの著書を翻訳したタビト・イブン・クルラ（826-901）によって翻訳された。 ^[55]

アラビアの数学者は代数を独立した学問として確立し、代数学（アル・ジャブル）と名付けた。彼らは代数を初歩的な形で、それ自体のために教えた最初の人々であった。^[56]アラビア代数の起源については3つの説がある。1つ目はヒンドゥー教の影響を強調し、2つ目はメソポタミアまたはペルシャ・シリアの影響を強調し、3つ目はギリシャの影響を強調している。多くの学者は、代数は3つの源泉すべてが組み合わさった結果であると考えている。^[57]

アラブ人は権力を握っていた間ずっと、完全に修辞的な代数を使用しており、数字でさえしばしば言葉で綴られていた。アラブ人は最終的に綴られた数字（例：22）をアラビア数字（例：22）に置き換えたが、アラブ人はシンコペーションされた代数や記号代数を採用または開発することはなかった^{[55] 。}イブン・アル・バンナは13世紀に記号代数を、続いて15世紀に アブー・アル・ハサン・イブン・アリー・アル・カラサーディが記号代数を開発した。

代数学の父^{[59] [60] [61]}あるいは創始者^{[62] [63]と評されるイスラム教徒[58]の} ペルシャの数学者ムハンマド・イブン・ムーサ・アル・フワーリズミーは、アル・マムーンが設立したバグダッドの「知恵の家」（バイト・アル・ヒクマ）の教員であった。西暦850年頃に亡くなったアル・フワーリズミーは、数学や天文学に関する著作を6冊以上著した。 ^[54]アル・フワーリズミーの最も有名な著書の一つは『完成と平衡による計算に関する簡潔な書』と題され、2次までの多項式を解く方法を網羅的に説明している。^{[64]この本ではまた、「}減算」と「バランス」という基本的な概念も紹介されており、減算された項を方程式の反対側に転置すること、つまり方程式の反対側にある同類の項を相殺することを指します。これは、アル・フワーリズミーがもともとアル・ジャブルと表現した演算です。^[65] 「代数」という名前は、彼の本のタイトルの 「アル・ジャブル」に由来しています。

R. ラシェドとアンジェラ・アームストロングは次のように書いている。

「アル・フワーリズミーのテキストは、バビロニアの粘土板だけでなく、ディオファントスの『算術』とも異なることが分かる。もはや解決すべき一連の問題ではなく、基本的な用語から始まる解説であり、その組み合わせによって方程式のあらゆる可能な原型が与えられ、それ以降、方程式が研究の真の目的を明示的に構成する。一方、方程式自体の考え方は最初から現れており、一般的なやり方で現れていると言える。方程式は単に問題を解く過程で現れるのではなく、無限の問題のクラスを定義するために特に求められる。」^[66]

アル・ジャブルは6つの章に分かれており、それぞれが異なるタイプの公式を扱っています。アル・ジャブルの第1章では平方根が等しい方程式を扱い、第2章では平方根が数に等しい方程式を扱い、第3章では平方根が数に等しい方程式を扱い、第4章では平方根が数に等しい方程式を扱い、第5章では平方根が数に等しい方程式を扱い、第6章と最後の章では平方根が数に等しい方程式を扱っています^[67]${\displaystyle \left(ax^{2}=bx\right),}$${\displaystyle \left(ax^{2}=c\right),}$${\displaystyle \left(bx=c\right),}$${\displaystyle \left(ax^{2}+bx=c\right),}$${\displaystyle \left(ax^{2}+c=bx\right),}$${\displaystyle \left(bx+c=ax^{2}\right).}$

アル・ジャブルでは、アル・フワーリズミーは幾何学的証明を用いているが^[17]、根を認識しておらず^[67]、正の根のみを扱っている。^[68]また、判別式が正でなければならないことも認識しており、平方完成法を述べているが、その手順を正当化していない。^[69]ギリシャの影響は、アル・ジャブルの幾何学的基礎^{[57] [70]}と、ヘロンから引用した問題 1 つに表れている。^[71]彼は文字付き図を使用しているが、すべての方程式の係数はすべて特定の数値である。これは、幾何学的に表現できるものをパラメータで表現する方法がなかったためである。ただし、方法の一般性は意図されている。^[17]${\displaystyle x=0,}$

アル＝フワーリズミーは、ディオファントスの『算術』 [ ^72]を知らなかった可能性が高い。これは10世紀以前にアラブ人に知られるようになった。^[73]また、アル＝フワーリズミーはブラフマグプタの著作を知っていた可能性が高いが、アル＝ジャブルは完全に修辞的で、数字も言葉で綴られている。^[72]たとえば、

${\displaystyle x^{2}+10x=39}$

ディオファントスは次のように書いたであろう^[74]

${\displaystyle \Delta ^{\Upsilon }{\overline {\alpha }}\varsigma {\overline {\iota }}\,\;}$ἴ${\displaystyle \sigma \;\,\mathrm {M} \lambda {\overline {\theta }}}$

そしてアル＝フワーリズミーはこう書いている^[74]

1 つの平方とその平方根 10 個を足すと 39ディルヘムになります。つまり、平方根を 10 個足すと 39 になる平方はいくらになるでしょうか。

アブドゥルハミード・イブン・トゥルクは『混合方程式の論理的必然性』と題する手稿を著したが、これはアル＝フワーズミーの『アル＝ジャブル』と非常に類似しており、アル＝ジャブルとほぼ同時期か、あるいはそれ以前に出版された。^{[73]この手稿は}アル＝ジャブルにあるものと全く同じ幾何学的証明を与えており、ある場合にはアル＝ジャブルにあるのと同じ例を示し、判別式が負の場合二次方程式には解がないという幾何学的証明を与えることでアル＝ジャブルを超えている。 ^[73]この2つの著作の類似性から、一部の歴史家は、アラビア代数学はアル＝フワーズミーとアブドゥルハミードの時代までに十分に発達していた可能性があると結論付けている。^[73]

アラビアの数学者は無理数を代数的対象として扱った。^[75]エジプトの数学者アブー・カーミル・シュジャー・イブン・アスラム（850年頃 - 930年）は、平方根や4乗根の形で無理数を二次方程式の解や方程式の係数として初めて受け入れた。^[76]彼はまた、 3つの未知変数を持つ3つの非線形連立方程式を初めて解いた人物でもある。^[77]

アル・カラージー（953–1029）はアル・カルキとしても知られ、アブー・アルワファ・アルブズジャーニー（940–998）の後継者であり、次の形式の方程式の最初の数値解を発見した。 ^[78]アル・カラージーは正の根だけを考慮した。^{[78]彼はまた、代数を幾何}学的演算から解放し、今日の代数の中核となっている算術演算に置き換えた最初の人物と見なされている。彼の代数と多項式に関する研究は、多項式を操作する算術演算の規則を与えた。数学史家F. ヴォエプケは、著書『Extrait du Fakhri, traded'Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi』（パリ、1853年）の中で、アル・カラージーを「代数微積分理論を導入した最初の人物」として称賛した。これを踏まえて、アル・カラジは二項係数とパスカルの三角形を研究した。^[79]${\displaystyle ax^{2n}+bx^{n}=c.}$

オマール・ハイヤーム（1050年頃 – 1123年）は代数学に関する本を著し、アル・ジャブルを超えて3次方程式を取り上げている。^[80]オマール・ハイヤームは2次方程式については算術的解法と幾何的解法の両方を提示したが、一般的な3次方程式については算術的解法は不可能であると誤って信じていたため、幾何的解法しか提示しなかった。^[80]交差する円錐曲線を用いて3次方程式を解く彼の方法は、メナエクモス、アルキメデス、イブン・アル＝ハイサム（アルハゼン）によって使用されていたが、オマール・ハイヤームはその方法を一般化して、正の根を持つすべての3次方程式をカバーした。^[80]彼は正の根のみを考慮し、3次を超えることはしなかった。^[80]彼はまた、幾何学と代数の間に強い関係があることも見出した。^[80]

12世紀、シャラフ・アルディーン・トゥーシー（1135-1213）は、アル・ムアダラト（方程式論）を著し、正の解を持つ8種類の3次方程式と、正の解を持たない可能性のある5種類の3次方程式を扱った。彼は、後に「ルフィニ-ホーナー法」として知られる方法を使用して、3次方程式の根を数値的に近似した。また、正の解を持たない可能性のある3次方程式を解くために、曲線の最大値と最小値の概念を開発した。 ^{[81]彼は3次方程式の}判別式の重要性を理解しており、カルダノの公式の初期バージョン^[82]を使用して、特定の種類の3次方程式の代数解を見つけた。ロシュディ・ラシェドのような一部の学者は、シャラフ・アッディーンが三次多項式の微分を発見し、その重要性を理解したと主張しているが、他の学者は彼の解法をユークリッドとアルキメデスのアイデアに結び付けている。^[83]

シャラフ・アル＝ディーンは関数の概念も開発した。^[要出典]例えば、彼は方程式の分析において、まず方程式の形を に変更する。次に、方程式に解があるかどうかという問題は、左辺の「関数」が値 に達するかどうかによって決まると述べる。これを判定するために、彼は関数の最大値を求める。彼は、最大値は のときに発生し、関数値 を与えることを証明する。次にシャラフ・アル＝ディーンは、この値が より小さい場合、正の解は存在しないと述べる。これが に等しい場合、 に 1 つの解が存在する。これが より大きい場合、 と の間に 1 つ、および と の間に 1 つの、合計2 つの解が存在すると述べる。^[84]${\displaystyle x^{3}+d=bx^{2}}$${\displaystyle x^{2}(b-x)=d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle x={\frac {2b}{3}}}$${\displaystyle {\frac {4b^{3}}{27}}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle x={\frac {2b}{3}}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\frac {2b}{3}}}$${\displaystyle {\frac {2b}{3}}}$${\displaystyle b}$

15世紀初頭、ジャムシード・アル・カーシーは、方程式を数値的に解いての根を求めるニュートン法の初期の形を開発した。^[85]アル・カーシーはまた、小数も開発し、それを自ら発見したと主張した。しかし、J・レナート・ベルグレンは、アル・カーシーが間違っていたと指摘している。小数は、バグダッドの数学者アブル・ハサン・アル・ウクリディシによって、10世紀という早い時期に初めて使用されていたからである。^[77]${\displaystyle x^{P}-N=0}$${\displaystyle N}$

12世紀にイスラムの相続法を専門とするモロッコ出身の数学者アル・ハッサールは、分子と分母を横棒で区切る分数の現代的な記号数学表記法を考案した。この同じ分数表記法は、 13世紀のフィボナッチの著作にもすぐに登場した。 ^{[86] [検証に失敗した]}

アブー・アル＝ハサン・イブン・アリー・アル＝カラサディー（1412–1486）は中世アラブ代数学者最後の大物で、 2世紀前のイブン・アル＝バンナ以来初めて代数記法を考案した人物である。イブン・アル＝バンナ自身も、古代のディオファントスとブラフマグプタ以来初めて代数記法を考案した人物である。 ^[87]しかし、彼の先人たちのシンコペーション記法には数学演算の記号が欠けていた。^[42]アル＝カラサディーは「数字の代わりに文字を使うことで代数記号の導入に向けた第一歩を踏み出した」^[87]ことと「短いアラビア語の単語、またはその頭文字だけを数学記号として使うことで」^[87]

ヒュパティアの死が数学の中心地としてのアレクサンドリア図書館の終焉を告げたのとちょうど同じように、ボエティウスの死は西ローマ帝国における数学の終焉を告げるものである。アテネでは多少の研究が行われていたが、529年にビザンチン皇帝ユスティニアヌスが異教の哲学学校を閉鎖したことにより終了した。529年は現在では中世の始まりとみなされている。学者たちは西からより住みやすい東方、特にペルシアへと逃れ、そこでホスロー王のもとで避難所を見つけ、「アテネ亡命アカデミー」とも呼べるものを設立した。^[88]ユスティニアヌスとの条約に基づき、ホスローは最終的に学者たちを東ローマ帝国に帰還させた。暗黒時代の間、ヨーロッパの数学は最低水準にあり、数学研究は主に古代の論文の注釈で構成され、この研究のほとんどはビザンチン帝国に集中していた。中世の終わりは、 1453 年にコンスタンティノープルがトルコに陥落した時点とされています。

12 世紀にはアラビア語からラテン語への翻訳が大量に行われ、13 世紀にはヨーロッパの数学が他の国々の数学に匹敵するようになりました。13 世紀、フィボナッチによる 3 次方程式の解は、ヨーロッパの代数学の復活の始まりを象徴しています。

15 世紀以降、イスラム世界が衰退する一方で、ヨーロッパ世界が台頭してきました。そして、ここで代数学がさらに発展しました。

算術演算の現代的な表記法は、15 世紀末から 16 世紀初頭にかけて、ヨハネス・ヴィトマンとミヒャエル・シュティフェルによって導入されました。16 世紀末には、フランソワ・ヴィエトが不確定数や未知の数を表すために、現在では変数と呼ばれる記号を導入しました。これにより、記号式を数値であるかのように計算する新しい代数が生まれました。

代数学のさらなる発展におけるもう一つの重要な出来事は、16世紀半ばに開発された三次方程式と四次方程式の一般代数解法である。行列式の考え方は、17世紀に日本の数学者関 興和によって開発され、 10年後にはゴットフリート・ライプニッツが、行列を使用して連立一次方程式を解く目的でそれに続いた。ガブリエル・クラマーも18世紀に行列と行列式に関する研究を行った。

伝統的に、代数問題の最初の未知変数は現在では記号 で表され、2 番目または 3 番目の未知数がある場合はそれぞれおよびと表記されます。代数は乗算記号と区別するために 慣例的にイタリック体で印刷されます。${\displaystyle {\mathit {x}}}$${\displaystyle {\mathit {y}}}$${\displaystyle {\mathit {z}}}$${\displaystyle x}$

数学史家^[89]は、代数学におけるの使用はルネ・デカルトによって導入され、彼の論文La Géométrie (1637) で初めて発表されたということで概ね一致している。^{[90] [91]}その著作の中で、彼は既知の量にはアルファベットの先頭の文字を使用し、未知数にはアルファベットの末尾の文字を使用した。^[92]彼が後に最初の未知数として( の代わりに)を使用するようになったのは、当時のフランス語とラテン語の印刷フォントで比較的多かったためではないかと推測されている。^[93]${\displaystyle x}$${\displaystyle (a,b,c,\ldots )}$${\displaystyle (z,y,x,\ldots )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$

19世紀には、代数の起源について3つの説が提唱された。(1)ドイツの代数学者が使用し、と間違えられた筆記体文字に由来すると考えられた記号、^[94] (2)斜線を引いた数字の1 ^[95] (3)アラビア語/スペイン語の起源（下記参照）である。しかし、スイス系アメリカ人の数学史家フロリアン・カジョリはこれらを検証し、3つとも具体的な証拠が欠けていることを発見した。カジョリはデカルトを創始者とし、彼のと は「伝統から自由で、完全に恣意的な選択である」と述べた。 ^[96]${\displaystyle x}$${\displaystyle r,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x,y,}$${\displaystyle z}$

それにもかかわらず、スペイン・アラビア語仮説は今日でも大衆文化の中に存在し続けている。^[97]これは、algebraic が古代スペイン語におけるアラビア語からの借用語の略語であるという主張である。この理論は、1884年にドイツの東洋学者ポール・ド・ラガルドが、1505年のスペイン語/アラビア語の二か国語用語集^[98]の版を出版した直後に始まった。その中で、スペイン語のcosa (「物」) は、アラビア語の同義語であるشىء ( shay ^ʔ ) と対になっていて、xeiと転写されていた。(古代スペイン語の「sh」の音は、通常 と綴られていた) 明らかに、ラガルドは、代数の発展の「修辞的」段階にあるアラブの数学者が、未知数を表すためにその単語をよく使用していたことを知っていた。彼は、アラビア語の単語の頭文字を古代スペイン語としてローマ字化したものを代数学に採用することほど「自然なことは何もないだろう」（「自然でもない...」）と推測した。^[99]後の読者は、ラガルドの推測を「証明した」と再解釈した。^{[100]ラガルドは、初期のスペインの数学者がアラビア語の単語の}転写ではなく、むしろ自国語の翻訳である「cosa」を使用していたことを知らなかった。 ^[101]スペイン語のいくつかの歴史的語彙集には、xeiまたは類似の形式の例はない。 ^{[102] [103]}${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$${\displaystyle x}$

関数という数学的概念は、当時存在していた三角関数表や対数表に暗黙的に含まれていたが、ゴットフリート・ライプニッツは1692年と1694年に初めて関数を明示的に用いて、横座標、縦座標、接線、弦、垂線など、曲線から得られるいくつかの幾何学的概念のいずれかを表した。^[104] 18世紀には、「関数」はこれらの幾何学的関連性を失った。

ライプニッツは、線形方程式系の係数を配列（現在では行列と呼ばれる）に並べることができ、これを操作することで方程式系の解（もしあれば）を見つけることができることに気付きました。この方法は後にガウス消去法と呼ばれるようになりました。ライプニッツは、ブール代数と記号論理も発見しました。これらも代数に関連しています。

代数を行う能力は、数学教育で培われるスキルです。アンドリュー・ワーウィックが説明したように、19世紀初頭のケンブリッジ大学の学生は「混合数学」を実践し、 ^{[105]空間、時間、重量などの物理的変数に基づいた}演習を行いました。時間の経過とともに、数学的手法が発達するにつれて、変数と物理量の関連は薄れていきました。最終的に、数学は抽象的な多項式、複素数、超複素数などの概念に完全に関係するようになりました。物理的な状況への応用は、応用数学または数理物理学と呼ばれ、数学の分野は抽象代数を含むように拡大しました。たとえば、構成可能数の問題にはいくつかの数学的な限界が示され、ガロア理論の分野が開発されました。

「代数学の父」という称号は、ペルシャの数学者アル＝フワーリズミーに帰せられることが多く、^{[106] [107] [108] 、}カール・ベンジャミン・ボイヤー、^[106]ソロモン・ガンツ、バーテル・レーンダート・ファン・デル・ワールデン^[109]などの数学史家によって支持されている。しかし、この点は議論の余地があり、この称号はヘレニズム時代の数学者ディオファントスに帰せられることもある。^{[106] [110]}ディオファントスを支持する人々は、アル＝ジャブルの代数はアリトメティカの代数よりも初歩的であり、アリトメティカはシンコペーションされているのに対し、アル＝ジャブルは完全に修辞的であると指摘している。^[106]しかし、数学史家クルト・フォーゲルは、ディオファントスがこの称号を保持することに反対しており、^{[111]彼の数学は古代}バビロニア人の数学よりもそれほど代数的ではなかったと主張している。^[112]

アル＝フワーリズミーを支持する人々は、彼が正の根を持つ二次方程式の代数的解法について徹底的な説明を与えたという事実^[113]と、代数を初歩的な形で、それ自体のために教えた最初の人物であるという事実を指摘する。一方、ディオファントスは主に数論に関心があった。^{[56]アル＝フワーリズミーはまた、「減算」と「均衡」という基本概念を導入した（彼はこれを当初、}アル＝ジャブルという用語で指していた）。これは、減算された項を方程式の反対側に移すこと、つまり方程式の反対側にある同類の項を相殺することを指す。^[65]アル＝フワーリズミーの他の支持者は、彼の代数学はもはや「解決すべき一連の問題ではなく、組み合わせが方程式のあらゆる可能なプロトタイプを与える基本的な項から始まる説明であり、これ以降、それが研究の真の目的を明示的に構成する」と指摘する。彼らはまた、彼が方程式をそれ自体のために扱い、「問題を解く過程で単に現れるのではなく、無限の問題のクラスを定義するために具体的に求められる限りにおいて、一般的な方法で」扱っていることを指摘している。^[66] ビクター・J・カッツは、アル・ジャブルを現存する最初の真の代数学のテキストとみなしている。 ^[114]

ジェフリー・オークスとジャン・クリスティアーニディスによれば、ディオファントスもアル＝フワーリズミーも「代数学の父」と呼ばれるべきではない。^{[115] [116]}前近代代数学は、イェンス・ホイロップが「非科学的」伝統と呼んだものの一部として、商人や測量士によって開発され、使用されていた。ディオファントスは、特に不確定な問題に対して、この代数学の手法を著書で使用し、アル＝フワーリズミーは、この手法についてアラビア語で最初の本の一つを書いた。^[37]

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