層（数学）

させて${\displaystyle X}$位相空間である。前層$\displaystyle {\mathcal {F}}}$セットの${\displaystyle X}$以下のデータで構成されています。

• 各開集合について${\displaystyle U\subseteq X}$集合が存在する$\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$この集合は次のように表記されます。$\displaystyle \Gamma (U,\mathcal {F}})$このセットの要素は、$\displaystyle {\mathcal {F}}}$以上${\displaystyle U}$セクション$\displaystyle {\mathcal {F}}}$以上${\displaystyle X}$グローバルセクションと呼ばれる$\displaystyle {\mathcal {F}}}$。
• 開集合の各包含について${\displaystyle V\subseteq U}$関数$\displaystyle \operatorname {res} _{V}^{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(V)}$以下の多くの例を考慮すると、射は${\displaystyle {\text{res}}_{V}^{U}}$これらは制限射と呼ばれます。$\displaystyle s\in \mathcal {F}}(U)$すると、その制限${\displaystyle {\text{res}}_{V}^{U}(s)}$しばしば表記される$s|_V$関数の制限との類推による。

制限射は、さらに2つの（関数論的な）性質を満たす必要がある。

• すべての開集合に対して${\displaystyle U}$の${\displaystyle X}$制限射$\displaystyle \operatorname {res} _{U}^{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(U)}$は恒等射である$\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$。
• オープンセットが3つある場合${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U}$すると、複合${\displaystyle {\text{res}}_{W}^{V}\circ {\text{res}}_{V}^{U}={\text{res}}_{W}^{U}}$。

非公式には、2 番目の公理は、制限するかどうかは問題ではないと述べている。${\displaystyle W}$1ステップで、または最初に制限して${\displaystyle V}$それから${\displaystyle W}$この定義を簡潔に関数的に再定式化したものを以下に示す。

前層の多くの例は、さまざまなクラスの関数から得られます。${\displaystyle U}$集合を割り当てることができる${\displaystyle C^{0}(U)}$連続実数値関数の${\displaystyle U}$制限マップは、連続関数を制限することによって与えられる。${\displaystyle U}$より小さなオープンサブセットへ${\displaystyle V\subseteq U}$これもまた連続関数である。2つの前層公理は直ちに検証され、それによって前層の例が得られる。これは正則関数の前層にも拡張できる。${\displaystyle {\mathcal {H}}(-)}$そして滑らかな関数のプレシーフ${\displaystyle C^{\infty }(-)}$。

もう一つの一般的な例は、${\displaystyle U}$上の定数実数値関数の集合${\displaystyle U}$この前層は定数前層と呼ばれ、${\displaystyle \mathbb {R} }$そして、と表記される${\displaystyle {\underline {\mathbb {R} }}^{\text{psh}}}$。

前層が与えられたとき、自然な疑問は、それが開集合上のどの程度まで分割できるかということである。${\displaystyle U}$は、開集合に対する制限によって指定される。${\displaystyle U}$層とは、技術的な意味で、制約によってその部分が一意に決定される前層のことである。

公理的に言えば、層とは、以下の2つの公理を両方とも満たす前層のことである。

1. （地域性）仮に${\displaystyle U}$は開集合であり、${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$開いたカバーは${\displaystyle U}$と${\displaystyle U_{i}\subseteq U}$すべての人々のために${\displaystyle i\in I}$、 そして${\displaystyle s,t\in {\mathcal {F}}(U)}$セクションです。${\displaystyle s|_{U_{i}}=t|_{U_{i}}}$すべての人々のために${\displaystyle i\in I}$、 それから${\displaystyle s=t}$。
2. （接着）仮に${\displaystyle U}$は開集合であり、${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$開いたカバーは${\displaystyle U}$と${\displaystyle U_{i}\subseteq U}$すべての人々のために${\displaystyle i\in I}$、 そして${\displaystyle \{s_{i}\in {\mathcal {F}}(U_{i})\}_{i\in I}}$はセクションのファミリーです。セクションのすべてのペアがドメインの重なりについて一致する場合、つまり、${\displaystyle s_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$すべての人々のために${\displaystyle i,j\in I}$すると、セクションが存在する${\displaystyle s\in {\mathcal {F}}(U)}$そのため${\displaystyle s|_{U_{i}}=s_{i}}$すべての人々のために${\displaystyle i\in I}$[ ^{1 ]​}

• 
  2点空間の2つの開口部にわたるセクション。
• 
  互換性のある局所的なセクションを、接合部上のセクションに接着する。

これら2つの公理において、開いたカバーに関する仮説は、次の仮定と同等である。${\textstyle \bigcup _{i\in I}U_{i}=U}$。

セクション${\displaystyle s}$その存在が公理2によって保証されているものは、セクションの接着、連結、または照合と呼ばれる。${\displaystyle s_{i}}$公理1により、それは一意である。セクション${\displaystyle s_{i}}$そして${\displaystyle s_{j}}$公理2の合意前提条件を満たすものはしばしば互換性がある と呼ばれます。したがって、公理1と2を合わせると、ペアワイズ互換性のあるセクションの任意の集合は一意に結合できることが示されます。分離前層、または単一前層は、公理1を満たす前層です。^{[ 2 ]}

上述の連続関数からなる前層は層である。この主張は、連続関数が与えられた場合に、次のことを確認することに帰着する。${\displaystyle f_{i}:U_{i}\to \mathbb {R} }$交差点で一致する${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$一意の連続関数が存在する${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$その制限は${\displaystyle f_{i}}$対照的に、定数前層は通常、空集合の局所性公理を満たさないため、層ではありません（これについては定数層の項で詳しく説明します）。

前層と層は通常大文字で表され、${\displaystyle F}$特に一般的で、おそらくフランス語で束を意味するfaisceauに由来する。カリグラフィー文字の使用例${\displaystyle {\mathcal {F}}}$これもよくあることです。

層を指定するには、基礎となる空間の位相の基底の開集合への制限を指定すれば十分であることが示せる。さらに、被覆の開集合に関して上記の層の公理を検証すれば十分であることも示せる。この観察は、代数幾何学において重要な別の例、すなわち準連接層を構成するために用いられる。ここで問題となる位相空間は、可換環のスペクトルである。${\displaystyle R}$その要点は、第一の理想である。${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$で${\displaystyle R}$開集合${\displaystyle D_{f}:=\{{\mathfrak {p}}\subseteq R,f\notin {\mathfrak {p}}\}}$この空間上のザリスキー位相の基底を形成する。${\displaystyle R}$-モジュール${\displaystyle M}$、で示される束がある。${\displaystyle {\tilde {M}}}$で${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$、それを満たす $${\displaystyle {\tilde {M}}(D_{f}):=M[1/f],}$$ どこ${\displaystyle M[1/f]}$は、​${\displaystyle M}$で${\displaystyle f}$。

先に述べたものと同等の、別の層の記述方法がある。前層${\displaystyle {\mathcal {F}}}$は任意の開層に対して、かつその場合に限り層である。${\displaystyle U}$開いたカバー${\displaystyle \{U_{a}\}}$の${\displaystyle U}$、${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$繊維製品${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\cong {\mathcal {F}}(U_{a})\times _{{\mathcal {F}}(U_{a}\cap U_{b})}{\mathcal {F}}(U_{b})}$この特徴付けは、例えば、層の構成に役立ちます。${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}$がアーベル層である場合、層の核射は${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$射影極限は射影極限と可換であるため、 は層である。一方、帰納極限は必ずしも射影極限と可換ではないため、余核は必ずしも層ではない。これを解決する一つの方法は、ネーター位相空間を考えることである。すべての開集合はコンパクトであるため、有限射影極限は帰納極限と可換であり、余核は層となる。

層の概念の歴史的な動機の一つは、複素多様体^{[ 4 ]} 、複素解析幾何学^{[ 5 ]}、および代数幾何学のスキーム理論の研究に由来する。これは、これまでのすべての場合において、位相空間を考察しているためである。${\displaystyle X}$構造束とともに${\displaystyle {\mathcal {O}}}$それによって、複素多様体、複素解析空間、あるいはスキームの構造が与えられる。位相空間に層を付与するというこの視点は、局所環空間の理論にとって不可欠である（後述参照）。

層の射は、大まかに言えば、層間の関数に類似している。単に入力に出力を割り当てるだけの集合間の関数とは対照的に、層の射は、基となる層の局所的・大域的構造と整合していなければならない。この考え方は、以下の定義でより明確にされる。

させて${\displaystyle {\mathcal {F}}}$そして${\displaystyle {\mathcal {G}}}$は、それぞれアーベル群、環などである2つの集合の層である。${\displaystyle X}$射​${\displaystyle \varphi$ :{\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}} は射から構成される${\displaystyle \varphi _{U}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {G}}(U)}$各開集合に対応する集合（それぞれアーベル群、環など）${\displaystyle U}$の${\displaystyle X}$ただし、この射が制約と両立するという条件を満たす。言い換えれば、すべての開集合に対して${\displaystyle V}$開集合の${\displaystyle U}$次の図は可換である。

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\mathcal {F}}(U)&\xrightarrow {\quad \varphi _{U}\quad } &{\mathcal {G}}(U)\\r_{V}^{U}{\Biggl \downarrow }&&{\Biggl \downarrow }{r'}_{V}^{U}\\{\mathcal {F}}(V)&{\xrightarrow[{\quad \varphi _{V}\quad }]{}}&{\mathcal {G}}(V)\end{array}}}$$

例えば、微分を取ると、上の層の射が得られる。${\displaystyle \mathbb {R} }$、

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\colon {\mathcal {O}}_{\mathbb {R} }^{n}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {R} }^{n-1}.}$$

実際、(${\displaystyle n}$（連続的に微分可能な）関数${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$（と${\displaystyle U}$で${\displaystyle \mathbb {R} }$オープン）、制限（より小さなオープンサブセットへの制限）${\displaystyle V}$）その導関数は、${\displaystyle f|_{V}}$。

この射の概念では、固定された位相空間上の集合の層（それぞれアーベル群、環など）は${\displaystyle X}$層は圏を形成する。したがって、単同型、全同型、同型といった一般的な圏論の概念は層にも適用できる。

実際、圏論の観点から言えば、（小さな）圏上の層の圏は${\displaystyle C}$別のカテゴリの値を持つ${\displaystyle D}$は、前層のカテゴリーの完全なサブカテゴリーである。${\displaystyle C}$値は${\displaystyle D}$これは単にカテゴリです${\displaystyle D^{C^{\text{op}}}}$反変関数の${\displaystyle C}$に${\displaystyle D}$それらの間の自然な変換を射として定義すると、上記で定義された射の概念は単純に次のように表すことができます。${\displaystyle \varphi }$これは、関数として見なされる2つの層間の自然な変換である。

射${\displaystyle \varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}}$束の${\displaystyle X}$が同型（または単型）であるのは、任意の開集合に対して が成り立つ場合かつその場合に限る。${\displaystyle U\subseteq X}$同型写像が存在する${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\approx {\mathcal {G}}(U)}$これは制限写像に関して自然なことです。これらの記述は、局所情報を使用して層を扱う方法の例を示していますが、層の射が全射であるかどうかを同じ方法でチェックすることはできないことに注意することが重要です。実際、開集合のレベルで写像するという記述は${\displaystyle \varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {G}}(U)}$層のエピモルフィズムに対して常に全射であるとは限らないことは、大域セクション関手の非完全性、あるいは同等に、層コホモロジーの非自明性と同値である。

茎​${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$束の${\displaystyle {\mathcal {F}}}$点の「周り」の層の特性を捉える${\displaystyle x\in X}$関数の芽を一般化する。ここで「周囲」とは、概念的には、点のより小さな近傍をますます小さく見ていくことを意味する。もちろん、どの近傍も十分に小さくはならないため、何らかの極限を考慮する必要がある。より正確には、茎は次のように定義される。

$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}=\varinjlim _{U\ni x}{\mathcal {F}}(U),}$$

直接極限は、すべての開部分集合にわたる${\displaystyle X}$与えられた点を含む${\displaystyle x}$言い換えれば、茎の要素は、ある開いた近傍上の断面によって与えられる。${\displaystyle x}$また、そのような2つの区画は、より小さな近隣地域に関する制限が一致している場合、同等とみなされます。

自然な射影${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}_{x}}$セクションを取る${\displaystyle s}$で${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$その胚芽に${\displaystyle s_{x}}$で${\displaystyle x}$これは、細菌の通常の定義を一般化したものです。

多くの場合、層の茎を知るだけで層自体を制御できます。たとえば、層の射が単射、全射、同型であるかどうかは、茎上でテストできます。この意味で、層はその茎によって決定され、茎は局所的なデータです。対照的に、層に存在するグローバルな情報、つまりグローバルなセクション、つまりセクションは、${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$空間全体にわたって${\displaystyle X}$一般的に、情報量は少なくなります。例えば、コンパクトな複素多様体の場合${\displaystyle X}$正則関数の層のグローバルセクションはちょうど${\displaystyle \mathbb {C} }$任意の正則関数${\displaystyle X\to \mathbb {C} }$リウヴィルの定理により定数である。^{[ 6 ]}

前層に含まれるデータを取り出して層として表現することは、しばしば有用です。これを行うための最良の方法があることがわかっています。前層を取り、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$そして新しい束を生み出す${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$束化または前束に関連付けられた束と呼ばれる${\displaystyle {\mathcal {F}}}$例えば、定数前層（上記参照）の層化は定数層と呼ばれます。その名前とは裏腹に、その断面は局所的に定数関数です。

束${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$エタレ空間を用いて構築することができる${\displaystyle E}$の${\displaystyle {\mathcal {F}}}$すなわち、地図のセクションの束として

$${\displaystyle E\to X.}$$

束の別の構成${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$ファンクターによって進行する${\displaystyle L}$前層から前層へ、前層の特性を徐々に改善する：任意の前層${\displaystyle {\mathcal {F}}}$、${\displaystyle L{\mathcal {F}}}$は分離前層であり、任意の分離前層に対して${\displaystyle {\mathcal {F}}}$、${\displaystyle L{\mathcal {F}}}$は束です。関連する束${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$は${\displaystyle LL{\mathcal {F}}}$[ ^{8 ]​}

束のアイデア${\displaystyle a{\mathcal {F}}}$は、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$層による定義は、次の普遍的な性質を用いて厳密に行われる。すなわち、前層の自然な射が存在する。${\displaystyle i\colon {\mathcal {F}}\to a{\mathcal {F}}}$任意の束に対して${\displaystyle {\mathcal {G}}}$および前層の任意の射${\displaystyle f\colon {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$層の一意な射が存在する${\displaystyle {\tilde {f}}\colon a{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}}$そのため${\displaystyle f={\tilde {f}}i}$。 実際には、${\displaystyle a}$は層の圏から前層の圏への包含関手（または忘却関手）の左随伴関手であり、${\displaystyle i}$は随伴の単位です。このようにして、層の圏は前層のジロー部分圏になります。この圏論的な状況が、層射の余核や層のテンソル積を構成する際に層化関手が現れるのに、例えば核には現れない理由です。

もし${\displaystyle K}$は層のサブ層である${\displaystyle F}$アーベル群の場合、商層${\displaystyle Q}$前の束に関連付けられた束は${\displaystyle U\mapsto F(U)/K(U)}$言い換えれば、商層はアーベル群の層の正確な列に収まる。

$${\displaystyle 0\to K\to F\to Q\to 0.}$$

（これは層拡張とも呼ばれます。）

させて${\displaystyle F,G}$アーベル群の層である。${\displaystyle \operatorname {Hom} (F,G)}$層の射の${\displaystyle F}$に${\displaystyle G}$アーベル群を形成する（アーベル群の構造により）${\displaystyle G}$)束のホム${\displaystyle F}$そして${\displaystyle G}$、で示される、

$${\displaystyle {\mathcal {Hom}}(F,G)}$$

アーベル群の束${\displaystyle U\mapsto \operatorname {Hom} (F|_{U},G|_{U})}$どこ${\displaystyle F|_{U}}$束は${\displaystyle U}$によって与えられた${\displaystyle (F|_{U})(V)=F(V)}$（ここでは層化は不要です）。${\displaystyle F}$そして${\displaystyle G}$は、${\displaystyle U\mapsto F(U)\oplus G(U)}$、そしてテンソル積${\displaystyle F}$そして${\displaystyle G}$前の束に関連付けられた束は${\displaystyle U\mapsto F(U)\otimes G(U)}$。

これらの操作はすべて、環の層上の加群の層にまで拡張される。${\displaystyle A}$; 上記は、${\displaystyle A}$定数の束${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$。

（前）層のデータは基底空間の開部分集合に依存するため、異なる位相空間上の層は、それらの間に射が存在しないという意味で互いに無関係である。しかし、連続写像が与えられた場合${\displaystyle f:X\to Y}$2 つの位相空間間では、プッシュフォワードとプルバックは層を関連付けます。${\displaystyle X}$に${\displaystyle Y}$そしてその逆もまた然り。

ゼロによる拡張

含めるために${\displaystyle j:U\to X}$開集合のゼロによる拡張${\displaystyle j_{!}{\mathcal {F}}}$（「j lower shriek of F」と発音）束の${\displaystyle {\mathcal {F}}}$アーベル群の${\displaystyle U}$前層の層化は次のように定義されます。

$${\displaystyle V\mapsto {\begin{cases}{\mathcal {F}}(V)&{\textrm {if}}\ V\subseteq U\\0&{\textrm {otherwise.}}\end{cases}}}$$

束のために${\displaystyle {\mathcal {G}}}$の上${\displaystyle X}$この構造はある意味で補完的である${\displaystyle i_{*}}$、 どこ${\displaystyle i:X\setminus U\to X}$補数を含めることは${\displaystyle U}$:

${\displaystyle (j_{!}j^{*}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{x}}$のために${\displaystyle x}$で${\displaystyle U}$それ以外の場合は茎はゼロですが、

${\displaystyle (i_{*}i^{*}{\mathcal {G}})_{x}=0}$のために${\displaystyle x}$で${\displaystyle U}$、そして等しい${\displaystyle {\mathcal {G}}_{x}}$さもないと。

より一般的に言えば、${\displaystyle A\subset X}$が局所的に閉じた部分集合であるならば、開いた部分集合が存在する。${\displaystyle U}$の${\displaystyle X}$含む${\displaystyle A}$そのため${\displaystyle A}$閉鎖中${\displaystyle U}$。 させて${\displaystyle f:A\to U}$そして${\displaystyle j:U\to X}$自然な包含物とする。すると、層のゼロによる拡張は${\displaystyle {\mathcal {F}}}$の上${\displaystyle A}$定義される${\displaystyle j_{!}f_{*}F}$。

茎上でのその優れた挙動により、ゼロ関手による拡張は層理論上の問題を減らすのに役立ちます。${\displaystyle X}$層状構造の層上のもの、すなわち分解${\displaystyle X}$より小さな、局所的に閉じた部分集合に分割する。

上記で紹介した（前）シーブに加えて、${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$は単なる集合に過ぎず、多くの場合、これらのセクションに関する追加的な構造を把握しておくことが重要です。例えば、連続関数の層のセクションは自然に実ベクトル空間を形成し、制限はこれらのベクトル空間間の線形写像です。

任意のカテゴリの値を持つ前層${\displaystyle C}$は、まず開集合のカテゴリを考察することによって定義される。${\displaystyle X}$ポセタルカテゴリーである${\displaystyle O(X)}$その対象は、${\displaystyle X}$そしてその射は包含である。すると${\displaystyle C}$-値前層${\displaystyle X}$は、反変関数と同じです。${\displaystyle O(X)}$に${\displaystyle C}$このファンクターのカテゴリーにおける射（自然変換とも呼ばれる）は、定義を解き明かせば分かるように、上で定義された射と同じである。

対象カテゴリの場合${\displaystyle C}$すべての制限を認める、${\displaystyle C}$次の図がすべての開被覆の イコライザーである場合、-値前層は層である。${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$任意の開集合の${\displaystyle U}$:

$${\displaystyle F(U)\rightarrow \prod _{i}F(U_{i}){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).}$$

ここで最初のマップは制限マップの産物である

$${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i},U}\colon F(U)\rightarrow F(U_{i})}$$

そして、2組の制限の積である一対の矢印

$${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}\colon F(U_{i})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j})}$$

そして

$${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}\colon F(U_{j})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j}).}$$

もし${\displaystyle C}$はアーベル圏である。この条件は、正確なシーケンスが存在することを要求することによって言い換えることもできる。

$${\displaystyle 0\to F(U)\to \prod _{i}F(U_{i})\xrightarrow {\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}-\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}} \prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).}$$

この束条件の特殊なケースは、${\displaystyle U}$空集合、インデックス集合${\displaystyle I}$また空である。この場合、層条件は${\displaystyle {\mathcal {F}}(\emptyset )}$終端オブジェクトになる${\displaystyle C}$。

代数幾何学や微分幾何学を含むいくつかの幾何学分野では、空間には自然な環の層が伴い、それはしばしば構造層と呼ばれ、で表されます。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$そんなペア${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$環状空間と呼ばれる。多くの種類の空間は、特定の種類の環状空間として定義できる。一般的に、すべての茎は${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$構造層の は局所環であり、その場合、ペアは局所環空間と呼ばれる。

例えば、${\displaystyle n}$次元${\displaystyle C^{k}}$多様体${\displaystyle M}$は、構造層が${\displaystyle C^{k}}$-開部分集合上の関数${\displaystyle M}$局所的にリングされた空間であるという性質は、ある点でゼロでない関数が、${\displaystyle x}$は、十分に小さな開いた近傍でもゼロではない。${\displaystyle x}$. 一部の著者は、実多様体（または複素多様体）を、開集合からなるペアと局所的に同型な、局所的に環状の空間として定義している。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$（それぞれ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$束と一緒に${\displaystyle C^{k}}$（それぞれ正則）関数。^{[ 10 ]}同様に、代数幾何学における空間の基礎概念であるスキームは、局所的に環のスペクトルと同型な局所環空間である。

環空間が与えられたとき、加群の層は${\displaystyle {\mathcal {M}}}$すべての開集合上で${\displaystyle U}$の${\displaystyle X}$、${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)}$は${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$-モジュール、および開集合のすべての包含について${\displaystyle V\subseteq U}$制限マップ${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)\to {\mathcal {M}}(V)}$制限マップと互換性があります${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)\to {\mathcal {O}}(V)}$: 制限${\displaystyle fs}$制限は${\displaystyle f}$その倍の${\displaystyle s}$いかなる場合でも${\displaystyle f}$で${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$そして${\displaystyle s}$で${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)}$。

最も重要な幾何学的対象は加群の層である。例えば、ベクトル束と局所的に自由な層の間には1対1の対応関係がある。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-モジュール。このパラダイムは、実ベクトル束、複素ベクトル束、または代数幾何学におけるベクトル束（ここで）に適用されます。${\displaystyle {\mathcal {O}}}$それぞれ滑らかな関数、正則関数、または正則関数から構成される。微分方程式の解の層は${\displaystyle D}$-モジュール、つまり微分作用素の層上のモジュール。任意の位相空間では、定数層上のモジュールは${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$これらは、上記の意味でのアーベル群の層と同じである。

環の層上の加群の層には、異なる逆像関手があります。この関手は通常、次のように表記されます。${\displaystyle f^{*}}$そしてそれは${\displaystyle f^{-1}}$逆像ファンクターを参照してください。

上記の例では、一部の層が自然に断面の層として現れることが指摘されました。実際、すべての集合の層は、エタレ空間と呼ばれる位相空間の断面の層として表現できます。エタレ空間は、フランス語の「 étalé」 （フランス語の発音：[ étalé ]）に由来し、おおよそ「広がる」という意味です。${\displaystyle F\in {\text{Sh}}(X)}$束の上に${\displaystyle X}$、次に、次のエタレ空間(エタレ空間とも呼ばれます)${\displaystyle F}$位相空間${\displaystyle E}$局所同相写像とともに${\displaystyle \pi :E\to X}$セクションの束${\displaystyle \Gamma (\pi ,-)}$の${\displaystyle \pi }$は${\displaystyle F}$空間${\displaystyle E}$通常は非常に奇妙で、たとえ束が${\displaystyle F}$自然な位相的状況から生じる、${\displaystyle E}$明確な位相的解釈がない場合もあります。たとえば、${\displaystyle F}$連続関数のセクションの束である${\displaystyle f:Y\to X}$、 それから${\displaystyle E=Y}$かつその場合に限り${\displaystyle f}$は局所同相写像である。

エタレ空間${\displaystyle E}$茎から作られる${\displaystyle F}$以上${\displaystyle X}$集合としては、それらの非交和であり、${\displaystyle \pi }$は、値を取る明白なマップです。${\displaystyle x}$茎の上で${\displaystyle F}$以上${\displaystyle x\in X}$トポロジー${\displaystyle E}$は次のように定義されます。各要素について${\displaystyle s\in F(U)}$そしてそれぞれ${\displaystyle x\in U}$種を採取すると${\displaystyle s}$で${\displaystyle x}$、と表記される${\displaystyle [s]_{x}}$または${\displaystyle s_{x}}$これらの細菌は、${\displaystyle E}$どのような場合でも${\displaystyle U}$そして${\displaystyle s\in F(U)}$これらの点の和集合（すべての点について）${\displaystyle x\in U}$）は、${\displaystyle E}$各茎は部分空間位相として離散位相を持つことに注意してください。2 つの層間の射は、対応するエタール空間の連続写像を決定します。この写像は射影写像と互換性があります (すべての芽が同じ点上の芽に写像されるという意味で)。これにより、構成は関手になります。

上記の構成は、集合の層のカテゴリ間のカテゴリの同値性を決定する。${\displaystyle X}$そしてエタレ空間のカテゴリー${\displaystyle X}$エタレ空間の構成は前層にも適用でき、その場合、エタレ空間の切断層は、与えられた前層に関連付けられた層を再現する。

この構成により、すべての層が位相空間の特定のカテゴリ上の表現可能な関手になります。上記と同様に、${\displaystyle F}$束に${\displaystyle X}$、 させて${\displaystyle E}$そのエタレ空間とし、${\displaystyle \pi :E\to X}$自然な投影とする。オーバーカテゴリを考える${\displaystyle {\text{Top}}/X}$位相空間の${\displaystyle X}$すなわち、位相空間のカテゴリーと固定された連続写像${\displaystyle X}$このカテゴリのすべてのオブジェクトは連続マップです${\displaystyle f:Y\to X}$、そしてからの射${\displaystyle Y\to X}$に${\displaystyle Z\to X}$連続マップ${\displaystyle Y\to Z}$2 つの地図で通勤できる${\displaystyle X}$ファンクターが存在する

${\displaystyle \Gamma$ :{\text{Top}}/X\to {\text{Sets}}}

オブジェクトを送信する${\displaystyle f:Y\to X}$に${\displaystyle f^{-1}F(Y)}$例えば、${\displaystyle i:U\hookrightarrow X}$開集合の包含である場合、

${\displaystyle \Gamma (i)=f^{-1}F(U)=F(U)=\Gamma (F,U)}$

そしてポイントの追加のために${\displaystyle i:\{x\}\hookrightarrow X}$、 それから

${\displaystyle \Gamma (i)=f^{-1}F(\{x\})=F|_{x}}$

茎は${\displaystyle F}$で${\displaystyle x}$自然な同型性が存在する

${\displaystyle (f^{-1}F)(Y)\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {Top} /X}(f,\pi )}$、

これは、${\displaystyle \pi :E\to X}$（エタレ空間の場合）はファンクターを表す${\displaystyle \Gamma }$。

${\displaystyle E}$投影図が構築されるように${\displaystyle \pi }$は被覆写像です。代数幾何学では、被覆写像の自然な類似物はエタール射と呼ばれます。「étalé」と似ていますが、フランス語の「étale [ etal ]」は異なる意味を持ちます。${\displaystyle E}$計画に組み込んで${\displaystyle \pi }$スキームの射に、${\displaystyle \pi }$同じ普遍的な性質を保持していますが、${\displaystyle \pi }$は準有限ではないため、一般にはエタール射ではない。しかし、形式的にはエタール射である。

エタレ空間による層の定義は、この記事で先に述べた定義よりも古いものです。数学解析などの一部の分野では、今でもこの定義が一般的に用いられています。

特に多様体上の層の文脈では、層コホモロジーは、ソフト層、ファイン層、フラビー層（フランス語のflasque、つまり「柔らかい」に由来するflasque層とも呼ばれる）による分解を用いて計算できることが多い。例えば、単位の分割の議論により、多様体上の滑らかな関数の層はソフトであることがわかる。高次のコホモロジー群${\displaystyle H^{i}(U,{\mathcal {F}})}$のために${\displaystyle i>0}$ソフト層では消滅し、他の層のコホモロジーを計算する方法を提供する。例えば、ド・ラーム複体は定数層の分解である。${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$任意の滑らかな多様体上で、層コホモロジーは${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$は、そのド・ラームコホモロジーに等しい。

別のアプローチとして、チェフコホモロジーがある。チェフコホモロジーは層に対して開発された最初のコホモロジー理論であり、複素射影空間のコヒーレント層コホモロジーの計算など、具体的な計算に適している。${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$[ ^{11 ]これは、}空間の開部分集合上のセクションを空間上のコホモロジー類に関連付けます。ほとんどの場合、チェフコホモロジーは導出関手コホモロジーと同じコホモロジー群を計算します。ただし、一部の病理的空間では、チェフコホモロジーは正しい結果を与えます。${\displaystyle H^{1}}$しかし、高次コホモロジー群が正しくありません。これを回避するため、ジャン＝ルイ・ヴェルディエはハイパーカバリングを開発しました。ハイパーカバリングは、正しい高次コホモロジー群を与えるだけでなく、上述の開集合を別の空間からの特定の射で置き換えることも可能にします。この柔軟性は、ピエール・ドリーニュの混合ホッジ構造の構築など、いくつかの応用において必要となります。

埋め込みを用いることで、他の多くのコヒーレント層コホモロジー群が見つかる。${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y}$空間の${\displaystyle X}$既知のコホモロジーを持つ空間へ、例えば${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$、または何らかの重み付き射影空間。このようにして、これらの周囲空間上の既知の層コホモロジー群は層と関連付けることができます。${\displaystyle i_{*}{\mathcal {F}}}$与える${\displaystyle H^{i}(Y,i_{*}{\mathcal {F}})\cong H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$例えば、射影平面曲線のコヒーレント層コホモロジーを計算することは容易に見つかる。この分野における大きな定理の一つは、層コホモロジー群に関連付けられたスペクトル系列を用いて発見されたホッジ分解であり、これはデリーニュによって証明された。^{[ 12 ] [ 13 ]}本質的に、${\displaystyle E_{1}}$-利用規約ページ

${\displaystyle E_{1}^{p,q}=H^{p}(X,\Omega _{X}^{q})}$

滑らかな射影多様体の層コホモロジー${\displaystyle X}$退化する、つまり${\displaystyle E_{1}=E_{\infty }}$これにより、コホモロジー群上に標準的なホッジ構造が得られる。${\displaystyle H^{k}(X,\mathbb {C} )}$後に、これらのコホモロジー群はグリフィス剰余を用いて容易に明示的に計算できることがわかった。ヤコビアンイデアルを参照。これらの定理は、代数多様体のコホモロジーに関する最も深遠な定理の1つである分解定理につながり、混合ホッジ加群への道を開く。