階層化（数学）

階層化は数学において様々な用途で用いられる。

数理論理学において、階層化とは、論理理論の一意な形式的解釈が存在することを保証する、述語記号への一貫した数値の割り当てのことである。具体的には、次の形式の節の集合は、${\displaystyle Q_{1}\wedge \dots \wedge Q_{n}\wedge \neg Q_{n+1}\wedge \dots \wedge \neg Q_{n+m}\rightarrow P}$層別化されているのは、以下の条件を満たす層別化割り当てSが存在する場合に限る。

1. 述語 P が述語 Q から正に導出される場合 (つまり、P が規則のヘッドであり、Q が同じ規則の本体に正に現れる場合)、P の階層化数は Q の階層化数以上でなければならない。${\displaystyle S(P)\geq S(Q)}$。
2. 述語 P が否定述語 Q から派生する場合 (つまり、P が規則のヘッドであり、Q が同じ規則の本体で否定的に出現する場合)、P の階層化数は Q の階層化数よりも大きくなければなりません。${\displaystyle S(P)>S(Q)}$。

階層的否定の概念は、階層的最小不動点という観点から階層的プログラムに対する非常に効果的な操作的意味論をもたらします。これは、プログラムの各階層に不動点演算子を最下位から順に繰り返し適用することによって得られます。階層化は、ホーン節 理論の一意な解釈を保証するために役立つだけでなく、他にも多くの利点があります。

新基礎論（NF）および関連する集合論では、${\displaystyle \phi }$等号とメンバーシップを持つ一階述語論理の言語では、 関数が存在する場合に限り 階層化されていると言われます。${\displaystyle \sigma }$に現れる各変数を送信します${\displaystyle \phi }$（構文項目として考え）自然数に（これはすべての整数が使用される場合も同様に機能します）任意の原子式が${\displaystyle x\in y}$に登場${\displaystyle \phi }$満たす${\displaystyle \sigma (x)+1=\sigma (y)}$および任意の原子式${\displaystyle x=y}$に登場${\displaystyle \phi }$満たす${\displaystyle \sigma (x)=\sigma (y)}$。

原子式内の両方の変数が集合抽象に束縛されている場合にのみこれらの条件が満たされるように要求すれば十分であることが判明した。${\displaystyle \{x\mid \phi \}}$ 検討中。このより弱い条件を満たす集合抽象は、 弱層化されていると言われる。

新しい基盤の階層化は、述語が多く項構造を持つ言語にも容易に一般化できる。各原始述語は、値間の必要な変位を指定する必要がある。${\displaystyle \sigma }$（弱）階層化された式における（束縛された）引数において。項構造を持つ言語では、項自体に値を割り当てる必要がある。${\displaystyle \sigma }$（弱）階層化された式において、それぞれの（束縛された）引数の値から固定された変位を持つ。定義された項の構成は、（おそらく暗黙的に）記述理論を用いることで、きれいに処理される。${\displaystyle (\iota x.\phi )}$(x は、${\displaystyle \phi }$）には同じ値を割り当てる必要があります${\displaystyle \sigma }$変数 x として。

式が階層化されているのは、式に現れるすべての変数に、New Foundationsの記事で説明されている型理論のTSTバージョンで意味を成すような型を割り当てることが可能である場合に限る。そして、これがNew Foundationsの階層化を実際に理解する最良の方法であると考えられる。

階層化の概念はラムダ計算にも拡張することができ、これはランドール・ホームズの論文に見られる。

階層化を用いる動機の一つは、フレーゲの中心的な著作『算術の基本法則』（1902年） を弱体化させたと考えられているラッセルのパラドックス、すなわち矛盾に対処することである。クワイン、ウィラード・ヴァン・オーマン（1963年）[1961年]。『論理的観点から』（第2版）。ニューヨーク：ハーパー＆ロウ。90ページ。LCCN 61-15277。   

特異点理論では、位相空間Xを互いに素な部分集合に分解し、各部分集合が位相多様体である（つまり、特に 層化によって位相空間の分割が定義される ）という異なる意味があります。これは制限がないと有用な概念ではありませんが、さまざまな層が何らかの認識可能な条件（例えば、局所的に閉じていること）によって定義され、扱いやすい形で互いに適合する場合、この考え方は幾何学でよく応用されます。ハスラー・ホイットニーとルネ・トムが最初に層化の形式的な条件を定義しました。ホイットニー層化と位相的に層化された空間を参照してください。^{[ 1 ]}

層化抽出法を参照してください。