局所化（可換代数）

局所化は、一般的に、環Rの要素の乗法的に閉じた集合S (乗法集合または乗法システムとも呼ばれる)に関して行われます。これは、乗法に関して閉じており、1 を含むRの部分集合です。

S が乗法集合でなければならないという要件は、局所化によって導入されるすべての分母がSに属することを意味するため、自然なものです。乗法的に閉じていない集合Uによる局所化も、 Uの要素のすべての積を可能な分母として用いることで定義できます。しかし、 Uの要素のすべての積からなる乗法的に閉じた集合Sを用いることで、同じ局所化が得られます。このようにすることで推論や表記が簡潔になることが多いため、乗法集合による局所化のみを考慮するのが一般的です。

例えば、単一の要素sによる局所化は、次の形式の分数を導入します。${\displaystyle {\tfrac {a}{s}},}$しかし、そのような分数の製品も、 $\displaystyle {\tfrac {ab}{s^{2}}}.}$したがって、分母は乗法集合に属することになる。${\displaystyle \{1,s,s^{2},s^{3},\ldots \}}$sのべき乗による局所化。したがって、一般的には「要素による局所化」ではなく「要素のべき乗による局所化」と言う。

乗法集合Sによる環Rの局所化は一般に次のように表される。${\displaystyle S^{-1}R,}$ただし、特殊なケースでは他の表記法がよく使われます。${\displaystyle S=\{1,t,t^{2},\ldots \}}$単一の元素の力から成り、${\displaystyle S^{-1}R}$しばしば表記される${\displaystyle R_{t};}$もし${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$素イデアルの補集合である${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$、 それから${\displaystyle S^{-1}R}$と表記される${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.}$

本稿の残りの部分では、乗法集合による局所化のみを考察する。

環Rが整域であり、S が0を含まない場合、環${\displaystyle S^{-1}R}$はRの分数体の部分環である。したがって、領域の局所化は領域である。

より正確には、それはRの分数体の部分環であり、分数から構成される。${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}}$そのため${\displaystyle s\in S.}$これは部分環です。なぜなら、和が${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}+{\tfrac {b}{t}}={\tfrac {at+bs}{st}},}$そしてその製品は${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}\,{\tfrac {b}{t}}={\tfrac {ab}{st}}}$2 つの要素の${\displaystyle S^{-1}R}$は${\displaystyle S^{-1}R.}$これは乗法集合の定義特性から生じるものであり、それはまた次のことを意味する。${\displaystyle 1={\tfrac {1}{1}}\in S^{-1}R.}$この場合、R はの部分環である${\displaystyle S^{-1}R.}$以下に示すように、これは一般にはもはや真ではなく、特にSが零因子を含む場合には真ではない。

例えば、小数は、10のべき乗の乗法集合による整数環の局所化である。この場合、${\displaystyle S^{-1}R}$は、次のように書ける有理数から成ります。${\displaystyle {\tfrac {n}{10^{k}}},}$ここで、nは整数、kは非負整数である。

一般的には、零因子で問題が生じる。Sを可換環Rの乗法集合とする。${\displaystyle s\in S,}$そして${\displaystyle 0\neq a\in R}$は零因子であり、${\displaystyle as=0.}$それから${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}}$画像は${\displaystyle S^{-1}R}$の${\displaystyle a\in R,}$そして、${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}={\tfrac {as}{s}}={\tfrac {0}{s}}={\tfrac {0}{1}}.}$したがって、 Rの非ゼロ要素のいくつかはゼロでなければならない${\displaystyle S^{-1}R.}$以下に述べる構造は、この点を考慮して設計されている。

上記のようにRとSが与えられた場合、以下の同値関係を考える。${\displaystyle R\times S}$それは次のように定義されます${\displaystyle (r_{1},s_{1})\sim (r_{2},s_{2})}$存在する場合${\displaystyle t\in S}$そのため${\displaystyle t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1})=0.}$

ローカライズ${\displaystyle S^{-1}R}$は、この関係の同値類の集合として定義されます。 ( r , s )のクラスは次のように表されます。${\displaystyle {\frac {r}{s}},}$${\displaystyle r/s,}$または$\displaystyle s^{-1}r.}$つまり、$\displaystyle {\tfrac {r_{1}}{s_{1}}}={\tfrac {r_{2}}{s_{2}}}}$存在する場合に限り${\displaystyle t\in S}$そのため${\displaystyle t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1})=0.}$理由は${\displaystyle t}$上記のようなケースに対処する${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}={\tfrac {0}{1}},}$どこ${\displaystyle s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1}}$分数は等しいとみなされるべきであるにもかかわらず、ゼロではない。

ローカライズ${\displaystyle S^{-1}R}$は加算を持つ可換環である

${\displaystyle {\frac {r_{1}}{s_{1}}}+{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}s_{2}+r_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}},}$

乗算

${\displaystyle {\frac {r_{1}}{s_{1}}}\,{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}r_{2}}{s_{1}s_{2}}},}$

付加的なアイデンティティ${\displaystyle {\tfrac {0}{1}},}$乗法的な恒等式$\displaystyle {\tfrac {1}{1}}.}$

機能​

${\displaystyle j:r\mapsto {\frac {r}{1}},}$

正準局在化マップとして知られる、環準同型を定義する${\displaystyle R}$の中へ${\displaystyle S^{-1}R,}$これは、Sが零因子を一切含まない場合、かつその場合に限り単射である。

もし${\displaystyle 0\in S,}$それから${\displaystyle S^{-1}R}$は、唯一の固有要素0を持つゼロリングです。

SがRのすべての正則要素(つまり、零因子でない要素)の集合である場合、${\displaystyle S^{-1}R}$これはRの分数環全体と呼ばれます。

（上記で定義した）環準同型${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$以下に説明する普遍的な性質を満たします。これは、${\displaystyle S^{-1}R}$同型写像を除いて。したがって、局所化のすべての性質は、その構築方法に関係なく、普遍的性質から推論できます。さらに、局所化の多くの重要な性質は、普遍的性質の一般的な性質から容易に推論できますが、それらの直接的な証明はより技術的になる場合があります。

普遍的な性質を満たす${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$以下のとおりです。

もし ${\displaystyle f\colon R\to T}$Sのすべての要素をTの単位元(可逆元)に写像する環準同型が存在する。${\displaystyle g\colon S^{-1}R\to T}$そのため${\displaystyle f=g\circ j.}$

圏論を用いると、これは局所化が忘却関手に左随伴する関手であると表現できる。より正確には、$\displaystyle {\mathcal {C}}}$そして${\displaystyle {\mathcal {D}}}$を、それぞれ可換環と、その乗法モノイドまたは環の単位群のサブモノイドのペアを対象とする圏とする。これらの圏の射は、最初の対象のサブモノイドを2番目の対象のサブモノイドに写像する環準同型である。最後に、$\displaystyle {\mathcal {F}}\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$ペアの2番目の要素の要素が可逆であることを忘れてしまう、忘れっぽいファンクターである。

次に因数分解${\displaystyle f=g\circ j}$普遍性の定義は全単射である

$\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}((R,S),{\mathcal {F}}(T,U))\to \hom _{\mathcal {D}}((S^{-1}R,j(S)),(T,U)).}$

これは普遍性を表現するには少々複雑な方法のように思えるかもしれないが、2つの左随伴関手の合成が左随伴関手になるという事実を利用することで、多くの性質を容易に示すことができる。

• もし${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$は整数環であり、${\displaystyle S=\mathbb {Z} \setminus \{0\},}$それから${\displaystyle S^{-1}R}$フィールドは${\displaystyle \mathbb {Q} }$有理数の。
• Rが整域である場合、${\displaystyle S=R\setminus \{0\},}$それから${\displaystyle S^{-1}R}$はRの分数体である。前述の例は、この例の特殊な場合である。
• Rが可換環であり、Sがその零因子でない要素の部分集合である場合、${\displaystyle S^{-1}R}$はRの分数環全体である。この場合、Sは準同型写像が成り立つ最大の乗法集合である。${\displaystyle R\to S^{-1}R}$これは単射である。前述の例は、この例の特殊なケースである。
• もし${\displaystyle x}$は可換環Rの要素であり、${\displaystyle S=\{1,x,x^{2},\ldots \},}$それから${\displaystyle S^{-1}R}$識別可能である（正準的に同型である）${\displaystyle R[x^{-1}]=R[s]/(xs-1).}$（証明は、この環が上記の普遍性を満たすことを示すことによって行われる。）${\displaystyle S^{-1}R}$一般的には${\displaystyle R_{x}}$[ ^{1 ]このような局所化は、}アフィンスキーム の定義において基本的な役割を果たします。
• もし${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$は可換環Rの素イデアルであり、その補集合は${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$の${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$Rにおけるは乗法集合である（素イデアルの定義による）。${\displaystyle S^{-1}R}$は、一般に表記されるローカルリングです。${\displaystyle R_{\mathfrak {p}},}$そして、Rのローカルリングと呼ばれた${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$このような局所化は可換代数において基本的である。なぜなら、可換環の多くの性質は、その局所環上で読み取ることができるからである。このような性質はしばしば局所性質と呼ばれる。例えば、環が正則であるのは、そのすべての局所環が正則である場合に限る。

局所化は、多くの有用な性質を持つ豊かな構成概念です。この節では、環と単一の局所化に関する性質のみを考察します。イデアル、加群、または複数の乗法集合に関する性質は、他の節で考察します。

• ${\displaystyle S^{-1}R=0}$かつその場合に限り${\displaystyle S}$を含む${\displaystyle 0}$。
• 環準同型${\displaystyle R\to S^{-1}R}$単射であるのは、${\displaystyle S}$ゼロの約数は含まれていません。
• 環準同型${\displaystyle R\to S^{-1}R}$は環の圏における全射準同型であり、一般には全射ではない。
• 指輪${\displaystyle S^{-1}R}$これはフラットなRモジュールです（詳細は§ モジュールのローカライゼーションを参照）。
• 理想${\displaystyle S^{-1}R}$は理想の拡張である${\displaystyle R}$による${\displaystyle j:R\to S^{-1}R}$、${\displaystyle r\mapsto r/1}$つまり、理想的な${\displaystyle I}$の${\displaystyle R}$、 ${\displaystyle j(I)(S^{-1}R)=\{r/s\in S^{-1}R:r\in I\}}$理想は${\displaystyle S^{-1}R}$そしてしばしば表記される${\displaystyle I(S^{-1}R)}$または${\displaystyle S^{-1}I}$（この表記は、この理想を局所化とみなすことから来ています。${\displaystyle I}$として${\displaystyle R}$-モジュール${\displaystyle S}$（下記参照））イデアルが真イデアルであるのは、以下の条件を満たす場合のみである。${\displaystyle I\cap S=\emptyset }$。
• もし${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$素イデアルの補集合である${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$の${\displaystyle R}$、 それから${\displaystyle S^{-1}R,}$表記${\displaystyle R_{\mathfrak {p}},}$は局所環である。つまり、極大イデアルは1つしか持たない。${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$（つまり、拡張${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$による${\displaystyle j:R\to S^{-1}R\ (=R_{\mathfrak {p}})}$上記で定義され、時には表記される${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{\mathfrak {p}}}$）、 そして${\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$Rの剰余場は${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$。
• 局所化は有限和、積、交差、根号の形成と可換である。^{[ 2 ]}例えば、${\displaystyle {\sqrt {I}}}$イデアルの根号を表す${\displaystyle I}$で${\displaystyle R}$、 それから

${\displaystyle {\sqrt {I}}\cdot S^{-1}R={\sqrt {I\cdot S^{-1}R}}\,.}$

特に、${\displaystyle R}$は、その全分数環が簡約されている場合に限り簡約される。^{[ 3 ]}

• 局所化は商を取ることと可換である。つまり、I がRのイデアルである場合、${\displaystyle S^{-1}R/S^{-1}I\cong {\overline {S}}^{-1}(R/I)}$、 どこ${\displaystyle {\overline {S}}}$は${\displaystyle S}$で${\displaystyle R/I}$。
• させて${\displaystyle R}$分数の体を持つ整域である${\displaystyle K}$.次にその位置特定${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$最高の理想${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$は、${\displaystyle K}$。 さらに、

${\displaystyle R=\bigcap _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=\bigcap _{\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}}$

ここで、最初の共通部分はすべての素イデアルについてであり、2番目の共通部分は極大イデアルについてである。^{[ 4 ]}

• 素イデアルの集合と の間には全単射が存在する。${\displaystyle S^{-1}R}$そして素イデアルの集合は${\displaystyle R}$互いに排他的な${\displaystyle S}$この全単射は、与えられた準同型写像によって誘導される。${\displaystyle R\to S^{-1}R}$。

させて${\displaystyle S\subseteq R}$乗法集合である。飽和${\displaystyle {\hat {S}}}$の${\displaystyle S}$セットは

${\displaystyle {\hat {S}}=\{r\in R\colon \exists s\in R,rs\in S\}.}$

乗法集合Sは、その飽和値と等しい場合、つまり、${\displaystyle {\hat {S}}=S}$または同等に、 ${\displaystyle rs\in S}$これは、 rとsがSに含まれることを意味する。

Sが飽和していない場合、${\displaystyle rs\in S,}$それから${\displaystyle {\frac {s}{rs}}}$は、 rの像の乗法逆元である。${\displaystyle S^{-1}R.}$つまり、${\displaystyle {\hat {S}}}$すべて可逆です${\displaystyle S^{-1}R,}$そして普遍性は、${\displaystyle S^{-1}R}$そして${\displaystyle {\hat {S}}{}^{-1}R}$これらは正準的に同型である、つまり、Rの要素の像を固定する一意の同型写像がそれらの間に存在する。

SとTが2つの乗法集合である場合、${\displaystyle S^{-1}R}$そして${\displaystyle T^{-1}R}$が同型であるのは、飽和度が同じである場合、または同等に、s が乗法集合のいずれかに属する場合、${\displaystyle t\in R}$つまり、stはもう一方に属する。

飽和乗法集合は、集合が飽和していることを検証するには環のすべての単位元を知る必要があるため、明示的に広く使用されることはない。

MがR加群Nの部分加群であり、S がRの乗法集合である場合、次の式が成り立つ。${\displaystyle S^{-1}M\subseteq S^{-1}N.}$これは、もし${\displaystyle f\colon M\to N}$は単射加群準同型である、

${\displaystyle S^{-1}R\otimes _{R}f:\quad S^{-1}R\otimes _{R}M\to S^{-1}R\otimes _{R}N}$

これも単射準同型写像である。

テンソル積は右完全関手であるため、これはSによる局所化がR加群の完全列をの完全列に写像することを意味する。${\displaystyle S^{-1}R}$-モジュール。言い換えれば、ローカリゼーションは正確なファンクターであり、${\displaystyle S^{-1}R}$はフラットなRモジュールです。

この平坦性と、局所化が普遍的な性質を解決するという事実により、局所化はモジュールや環の多くの性質を保持し、他の普遍的な性質の解決と互換性があります。例えば、自然写像

${\displaystyle S^{-1}(M\otimes _{R}N)\to S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N}$

同型写像である。${\displaystyle M}$は有限表示モジュールであり、自然な写像である。

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Hom} _{R}(M,N)\to \operatorname {Hom} _{S^{-1}R}(S^{-1}M,S^{-1}N)}$

これも同型写像である。^{[ 5 ]}

モジュールMがR上の有限生成である場合、次のことが成り立つ。

${\displaystyle S^{-1}(\operatorname {Ann} _{R}(M))=\operatorname {Ann} _{S^{-1}R}(S^{-1}M),}$

どこ${\displaystyle \operatorname {Ann} }$は消滅元、つまりモジュールのすべての要素をゼロに写像する環の要素のイデアルを表します。 ^{[ 6 ]}特に、

${\displaystyle S^{-1}M=0\quad \iff \quad S\cap \operatorname {Ann} _{R}(M)\neq \emptyset ,}$

つまり、もし${\displaystyle tM=0}$一部の人にとって${\displaystyle t\in S.}$^{[ 7 ]}

RモジュールMのプロパティPは、以下の条件が同等である場合にローカルプロパティである。

• PはMに対して成り立つ。
• Pはすべての${\displaystyle M_{\mathfrak {p}},}$どこ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$はRの素イデアルである。
• Pはすべての${\displaystyle M_{\mathfrak {m}},}$どこ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$はRの極大イデアルである。

以下は地元物件です。

• Mはゼロです。
• Mはねじれのない空間である（ Rが可換領域の場合）。
• Mは平面モジュールである。
• Mは可逆加群である（ Rが可換整域であり、MがRの分数体の部分加群である場合）。
• ${\displaystyle f\colon M\to N}$は単射（または全射）であり、Nは別のR加群である。

一方、一部の性質は局所的な性質ではない。例えば、無限個の体の直積は整域でもネーター環でもないが、そのすべての局所環は体であり、したがってネーター整域である。