構築可能な束

数学において、構成可能層とは、ある位相空間X上のアーベル群の層であり、X は有限個の局所閉部分集合の和集合であり、その各々において層は局所定数層である。これは代数幾何学に起源を持ち、エタールコホモロジーにおいて構成可能層は同様の方法で定義される (Artin, Grothendieck & Verdier 1972, Exposé IX § 2)。構成可能層の導来カテゴリについては、 ℓ進層のセクションを参照のこと。

エタールコホモロジーにおける有限性定理は、構成可能な層の高次の直接像が構成可能であることを述べています。

ここでは、以下で参照されている Freitag と Kiehl の著書にある構築可能なエタール層の定義を使用します。このサブセクションの以降の部分では、特に断りがない限り、スキーム上のすべての層はエタール層です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$

層は、被覆の各サブスキームに対して層が有限局所定数層となるような局所的に閉じたサブスキームの有限和として記述できる場合、構成可能と呼ばれます。特に、これは有限被覆に現れる各サブスキームに対して、エタール被覆が存在し、の被覆内のすべてのエタール サブスキームに対して層が定数であり、有限集合によって表されることを意味します。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i_{Y}:Y\to X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{Y}=i_{Y}^{\ast }{\mathcal {F}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \lbrace U_{i}\to Y\mid i\in I\rbrace }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (i_{Y})^{\ast }{\mathcal {F}}|_{U_{i}}}$

この定義により、ネーター帰納法と、エタール層が定数となるのはからへの制約も定数となる場合に限るという事実から、 がスキーム の縮小である を導くことができます。すると、表現可能なエタール層はそれ自体が構成可能であることがわかります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{\text{赤}}}$${\displaystyle X_{\text{赤}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

構成可能なエタール層の理論で特に興味深いのは、アーベル群の構成可能なエタール層を扱う場合です。注目すべき結果は、アーベル群の構成可能なエタール層が、すべての捩れエタール層のカテゴリにおけるノイザン対象とまったく同じであるということです (Freitag-Kiehl の命題 I.4.8 を参照)。

構成可能な層のほとんどの例は、交差コホモロジー層、または基底空間によってパラメータ化された位相空間の族上の 局所システムの導出プッシュフォワードから来ています。

構成可能な層のよい例の1つは、 上の局所システムの導出プッシュフォワード（コンパクトサポートの有無にかかわらず）から得られます。 の周りの任意のループはの周りのループにホモトピックなので、と の周りのモノドロミーを記述するだけで済みます。たとえば、モノドロミー演算子を次のように設定できます。 ${\displaystyle U=\mathbb {P} ^{1}-\{0,1,\infty \}}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle 0,1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}={\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}},\quad &T_{1}={\begin{bmatrix}1&l\\0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

ここで、局所システムの茎はと同型です。次に、について導出されたプッシュフォワードまたはを取ると、点における茎がにおける近傍に制限された局所システムのコホモロジーを計算する構成可能な層が得られます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\oplus 2}}$${\displaystyle \mathbf {R} j_{*}}$${\displaystyle \mathbf {R} j_{!}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle j:U\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle 0,1,\infty }$${\displaystyle U}$

例えば、退化する楕円曲線の族を考えてみましょう。

${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(xt)}$

上。この曲線族は節点曲線に退化する。この曲線族を と表記すると、 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle t=0,1}$${\displaystyle \pi :X\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbf {R} ^{0}\pi _{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong \mathbf {R} ^{2}\pi _{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {C} }}$

そして

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1}\pi _{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong {\mathcal {L}}_{\mathbb {C} -\{0,1\}}\oplus {\underline {\mathbb {Q} }}_{\{0,1\}}}$

ここで、局所系の茎はと同型です。この局所系の の周りの局所モノドロミーは、ピカール・レフシェッツの公式を使って計算できます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathbb {C} -\{0,1\}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$${\displaystyle 0,1}$

• ガンニンガム、サム、ヒューズ、リチャード、D-モジュールのトピック(PDF) 、 2017-09-21 のオリジナル(PDF)からアーカイブ

• マイケル・アーティン;アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン＝ルイ・ヴェルディエ編。 （1972年）。 Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 3 (PDF)。数学の講義ノート (フランス語)。 Vol. 305.ベルリン。ニューヨーク: Springer-Verlag。 pp.vi+640。土井：10.1007/BFb0070714。ISBN 978-3-540-06118-2MR  0354654 。
• ディムカ、アレクサンドル（2004）、位相幾何学における層、Universitext、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-20665-1、MR  2050072
• フライタグ、エバーハルト。 Kiehl、Reinhardt (1988)、Etale Cohomology and the Weil Conjecture、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3)、vol. 13、ベルリン: Springer-Verlag、土井:10.1007/978-3-662-02541-3、ISBN 3-540-12175-7、MR  0926276