ルレイスペクトル列

数学において、ルレイスペクトル列はホモロジー代数の先駆的な例であり、1946年にジャン・ルレイによって導入された^{[1] [2] 。今日では、}グロタンディークスペクトル列の特殊なケースとして見られることが多い。

を位相空間の連続写像とします。これは特に、上のアーベル群の層から上のアーベル群の層への関数を与えます。これを上で切断する関数と合成することは、直像関数の定義により、上で切断することと同じです。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle {\text{Sh}}_{\text{Ab}}(Y)}$${\displaystyle {\text{Sh}}_{\text{Ab}}(X)}$${\displaystyle f_{*}}$

${\displaystyle \mathrm {Sh_{Ab}} (X)\xrightarrow {f_{*}} \mathrm {Sh_{Ab}} (Y)\xrightarrow {\Gamma } \mathrm {Ab} .}$

したがって、の導来関手は の層コホモロジーを計算します。 ${\displaystyle \Gamma \circ f_{*}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle R^{i}(\Gamma \cdot f_{*})({\mathcal {F}})=H^{i}(X,{\mathcal {F}}).}$

しかし、とがの入射的オブジェクトをの非巡回的オブジェクトに送るので、スペクトル列^{[3] pg 33,19}が存在し、その2ページ目は ${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle {\text{Sh}}_{\text{Ab}}(X)}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle {\text{Sh}}_{\text{Ab}}(Y)}$

${\displaystyle E_{2}^{pq}=(R^{p}\Gamma \cdot R^{q}f_{*})({\mathcal {F}})=H^{p}(Y,R^{q}f_{*}({\mathcal {F}})),}$

そしてそれは

${\displaystyle E^{p+q}=R^{p+q}(\Gamma \circ f_{*})({\mathcal {F}})=H^{p+q}(X,{\mathcal {F}}).}$

これはルレイスペクトル列と呼ばれます。

この結果は、固定された可換環 に対する局所定数環の層上の加群の層を考えることによって一般化できることに注意する。すると、層は-加群の層となり、開集合 に対して、そのような層はに対する -加群となる。さらに、層の代わりに、の導来カテゴリに対して下に有界な層の複合体を考えることもできる。すると、層コホモロジー が層ハイパーコホモロジーに置き換えられる。 ${\displaystyle {\underline {A}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\underline {A}}}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in {\text{Sh}}_{\underline {A}}(X)}$${\displaystyle {\underline {A}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }\in D_{\underline {A}}^{+}(X)}$${\displaystyle {\text{Sh}}_{\underline {A}}(X)}$

ルレイスペクトル列の存在は、グロタンディークスペクトル列^{[3] pg 19}の直接的な応用である。これは、加法関数が与えられたときに

${\displaystyle {\mathcal {A}}\xrightarrow {G} {\mathcal {B}}\xrightarrow {F} {\mathcal {C}}}$

十分な数の単射を持つアーベル圏、左完全関数、および単射オブジェクトを-非巡回オブジェクトに送るアーベル圏の間には、導来関数の同型性が存在する。${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle R^{+}(F\circ G)\simeq R^{+}F\circ R^{+}G}$

導来カテゴリに対して。上記の例では、導来関数の合成が行われている。 ${\displaystyle D^{+}({\mathcal {A}}),D^{+}({\mathcal {B}}),D^{+}({\mathcal {C}})}$

${\displaystyle D^{+}({\text{Sh}}_{\text{Ab}}(X))\xrightarrow {Rf_{*}} D^{+}({\text{Sh}}_{\text{Ab}}(Y))\xrightarrow {\Gamma } D^{+}({\text{Ab}}).}$

を滑らかな多様体の連続写像とする。が の開被覆である場合、の被覆に関して層のČech 複体を形成する:${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in {\text{Sh}}(X)}$${\displaystyle f^{-1}(U)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\text{C}}^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$

境界写像と層の写像を組み合わせると、二重複体上の境界写像が得られる。${\displaystyle d^{p}\colon C^{p}\to C^{p+1}}$${\displaystyle \delta ^{q}\colon \Omega _{X}^{q}\to \Omega _{X}^{q+1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{C}}^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{q})}$

${\displaystyle D=d+\delta \colon C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet })\longrightarrow C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet }).}$

この二重複体は によって次数付けされた単一複体でもあり、に関しては境界写像である。 の各有限交差がに微分同相であれば、コホモロジーが であることを示すことができる。 ${\displaystyle n=p+q}$${\displaystyle D}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle H_{D}^{n}(C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet }))=H_{\text{dR}}^{n}(X,\mathbb {R} )}$

この複体のド・ラームコホモロジーはである。^{[4] : 96}さらに、^{[4] : 179  [5]} 任意の二重複体はスペクトル列Eを 持ち、${\displaystyle X}$

${\displaystyle E_{\infty }^{n-p,p}={\text{the }}p{\text{th graded part of }}H_{dR}^{n}(C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet }))}$

（したがって、これらの合計は）、そして ${\displaystyle H_{dR}^{n}}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},{\mathcal {H}}^{q}),}$

ここで、はY上の前層であり、を送信します。この文脈では、これはルレイスペクトル列と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{q}}$${\displaystyle U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)}$

現代の定義では、高次の直接像関数が前層の層化であるため、これが包含されます。${\displaystyle R^{p}f_{*}(F)}$${\displaystyle U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)}$

• を滑らかな多様体とし、を単連結とすると、 となる。射影 のルレイスペクトル列を計算する。被覆が良好であれば（有限交差が）、${\displaystyle X,F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{1}(X)=0}$${\displaystyle f\colon X\times F\to X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p}(f^{-1}U_{i})\simeq H^{q}(F)}$

は単連結なので、任意の局所定数前層は定数なので、これは定数前層です。したがって、ルレイスペクトル列の2ページ目は ${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{q}(F)={\underline {\mathbb {R} }}^{n_{q}}}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},H^{q}(F))=H^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},\mathbb {R} )\otimes H^{q}(F)}$

のカバーも良いので、 ${\displaystyle \{f^{-1}(U_{i})\}_{i\in I}}$${\displaystyle X\times F}$${\displaystyle H^{p}(f^{-1}(U_{i});\mathbb {R} )\cong H^{p}(f;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(X)\otimes H^{q}(F)\ \Longrightarrow \ H^{p+q}(X\times F,\mathbb {R} )}$

ここで、 が単なるファイバー束ではなく射影であるということを初めて使用します。 のすべての要素は のすべての上で実際の閉微分形式であるため、との両方をそれらに適用すると 0 になります。したがって です。これは、単連結 のキュネス定理を証明します。${\displaystyle f}$${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle X\times F}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle E_{\infty }=E_{2}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{\bullet }(X\times Y,\mathbb {R} )\simeq H^{\bullet }(X)\otimes H^{\bullet }(Y)}$

• がファイバー を持つ一般ファイバーバンドルである場合、 は局所的に定数な前束であり、定数ではないことを除いて、上記が適用されます。${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle V^{p}\to H^{p}(f^{-1}V,H^{q})}$

• Serre スペクトル列を使用したすべての計算例は、定数層の Leray 列です。

上の準射影多様体のカテゴリでは、ルレイスペクトル列に対してピエール・ドリーニュとブランシャールによって証明された退化定理があり、これは、多様体の滑らかな射影射影写像により、 のスペクトル列の -ページが退化すること、したがって ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle {\underline {\mathbb {Q} }}_{X}}$

${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Q} )\cong \bigoplus _{p+q=k}H^{p}(Y;\mathbf {R} ^{q}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})).}$

Y が単連結であれば、簡単な例を計算することができます。たとえば、次元の完全な交差です (これは、 Hurewicz 準同型とLefschetz 超平面定理によるものです)。この場合、局所システムは自明なモノドロミーを持つため、 となります。たとえば、滑らかなK3 曲面上の種数 3 の曲線の滑らかな族を考えます。すると、 ${\displaystyle \geq 2}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{q}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{q}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus l_{q}}}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R} ^{0}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})&\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}\\\mathbf {R} ^{1}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})&\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6}\\\mathbf {R} ^{2}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})&\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}\end{aligned}}}$

-ページ を提供する${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}=E_{\infty }={\begin{bmatrix}H^{0}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{2}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{4}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})\\H^{0}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6})&0&H^{2}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6})&0&H^{4}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6})\\H^{0}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{2}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{4}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})\end{bmatrix}}}$

滑らかな射影族のもう一つの重要な例は、楕円曲線に関連する族である。

${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-t)}$

以上。ここでモノドロミーの周り${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\setminus \{0,1,\infty \}}$0と1 はピカール・レフシェッツ理論を使って計算することができ、局所モノドロミーを合成することで周りのモノドロミーが得られます。 ${\displaystyle \infty }$

ルレーの研究当時、関係する 2 つの概念 (スペクトル列、層コホモロジー) はどちらも決定的な状態に達していませんでした。そのため、ルレーの結果が元の形式で引用されることはほとんどありません。特にアンリ カルタンのセミナーでの多大な研究の後、一般的なグロタンディーク スペクトル列ではないものの、現代的な表現が得られました。

以前 (1948/49) 、ファイバー束に対する含意は、層を使用しないセール スペクトル列と形式的に同一の形式で抽出された。しかし、この処理は、コンパクト サポートを持つアレクサンダー–スパニエ コホモロジーには適用され、局所コンパクト ハウスドルフ空間の適切な写像に適用された。これは、スペクトル列の導出には、球面への埋め込みに沿ったド ラーム複体を引き戻すことで得られる、全空間上の実微分次数層の細かい層が必要だったためである。全空間が局所コンパクトになることがほとんどないパス空間ファイバー化に適用されるホモロジーにおけるスペクトル列を必要としたジャン=ピエール セールは、そのため元のルレイ スペクトル列を使用することができず、そのため、コホモロジー変種が上記の列を持つ行儀のよい空間上のコンパクト ファイバー束に対して一致する関連スペクトル列を導出した。

1957 年頃にアレクサンダー・グロタンディークによって達成された定式化では、ルレイ スペクトル列は2 つの導来関数の合成に対するグロタンディーク スペクトル列です。

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