トポス

数学において、トポス（米語：/ ˈ t ɒ p ɒ s /、英語：/ ˈ t oʊ p oʊ s、ˈ t oʊ p ɒ s /、複数形はtopoi / ˈ t ɒ p ɔɪ /または/ ˈ t oʊ p ɔɪ /、あるいはtoposes）は、位相空間（より一般的にはサイト）上の集合の層のカテゴリのように振舞うカテゴリである。トポスは集合のカテゴリとよく似た振舞いをし、局所化の概念を持ち、点集合位相を直接一般化したものである。^[1] グロタンディークのトポスは代数幾何学で応用され、より一般的な基本トポスは論理学で用いられる。

トポスを研究する数学の分野はトポス理論と呼ばれます。

1940 年代に層が数学に導入されて以来、空間上の層を研究することによって空間を研究することが主要なテーマとなってきました。この考えは、アレクサンダー グロタンディークが「トポス」という概念を導入することで詳しく説明しました。この概念の主な有用性は、位相的ヒューリスティックスが非常に効果的であるが、正直な位相空間が欠けている数学の状況が豊富にあることです。ヒューリスティックスを形式化するトポスが見つかることもあります。このプログラム的な考えの重要な例は、スキームのエタール トポスです。グロタンディークのトポスがさまざまな数学的状況の「本質」を具体化する能力を示すもう 1 つの例は、非常に異なる言語で書かれていても、共通の数学的内容を共有する理論を結び付ける「橋」として使用することです。^{[2] [3]}これらの「橋」は、グロタンディーク研究所研究組織の創設者兼所長である数学者オリビア・カラメロによると、「異なる領域間での情報の転送を容易にする」こともできる可能性がある。 ^[4]このため、テクノロジー企業ファーウェイは、グロタンディークの先駆的な研究を、より効果的なAIの研究分野の発展に活用できるように、数学者ローラン・ラフォルグにこの側面をさらに深く掘り下げるよう依頼した。^[4]

グロタンディークのトポスは、次の 3 つの特性のいずれかを満たすカテゴリです。( ジャン・ジローの定理によれば、以下の特性はすべて同値です。) ${\displaystyle C}$

• 有限極限を保存する左随伴を許容する小さなカテゴリ と包含関係が存在します。${\displaystyle D}$${\displaystyle C\hookrightarrow \operatorname {PreshD} }$
• ${\displaystyle C}$はグロタンディークサイト上の層のカテゴリです。
• ${\displaystyle C}$下記のジローの公理を満たします。

ここでPresh( D )は、 Dから集合のカテゴリへの反変関数のカテゴリを表します。このような反変関数は、しばしば前層と呼ばれます。

カテゴリ Cに対するジローの公理は次のとおりです。

• C は小さな生成元集合 を持ち、すべての小さな余極限を許容します。さらに、 ファイバー積は余積 に分配されます。つまり、集合I、AへのIインデックス余積マッピング、および射A' → Aが与えられた場合、プルバックはプルバックのIインデックス余積です。$${\displaystyle \left(\coprod _{i\in I}B_{i}\right)\times _{A}A'\cong \coprod _{i\in I}(B_{i}\times _{A}A').}$$
• C内の合計は互いに素です。言い換えると、XとYの合計に対するファイバー積がC内の初期オブジェクトです。
• Cのすべての同値関係は有効です。

最後の公理は最も説明が必要です。X が C のオブジェクトである場合、X上の「同値関係」R はC内のマップR → X × Xであり、 C内の任意のオブジェクトY に対して、誘導マップ Hom( Y , R ) → Hom( Y , X ) × Hom( Y , X ) がセット Hom( Y , X ) 上の通常の同値関係を与えます。Cには余極限があるため、 2 つのマップR → Xの共等化子を形成できます。これをX / Rと呼びます。同値関係は、標準マップ

${\displaystyle R\to X\times _{X/R}X\,\!}$

同型です。

ジローの定理では、すでに「サイト上の層」が完全な例のリストとして示されています。ただし、非同等のサイトは、同等のトポスを生み出すことが多いことに注意してください。導入部で示したように、通常の位相空間上の層は、トポス理論の基本的な定義と結果の多くに影響を与えます。

集合のカテゴリは重要な特殊なケースです。トポス理論では点の役割を果たします。実際、単一のオブジェクトと恒等射のみを持つシングルトンカテゴリ上の関数は集合のカテゴリ内の特定の集合であるため、集合は点上の層として考えることができます。

同様に、任意の群に対して、 -集合のカテゴリと同値なトポスが存在します。これを、1 つのオブジェクトを持つカテゴリ上の前束のカテゴリとして構築しますが、今度は射の集合がグループ によって与えられます。任意の関数はターゲットに -作用を与えなければならないため、これは-集合のカテゴリを与えます。同様に、群に対して、上の前束のカテゴリは内のオブジェクトの集合によってインデックス付けされた集合のコレクションを与え、 内のオブジェクトの自己同型は関数のターゲットに作用を持ちます。 ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

より珍しい例、そしてトポス理論の存在理由は、代数幾何学から来ています。トポスの基本的な例は、スキームのザリスキ トポスから来ています。各スキームには、前層のカテゴリがザリスキ トポスを形成するサイト (開部分集合によって与えられたオブジェクトと包含によって与えられた射) があります。しかし、区別された射のクラスを考慮すると、これには複数の一般化があり、非自明な数学につながります。さらに、トポスは、スキームを代数のカテゴリ上の関数としてのみ研究するための基礎を提供します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{Open}}(X)}$${\displaystyle (X)_{Zar}}$

スキームやスタックには、エタールトポス、fppfトポス、ニスネヴィッチトポスを関連付けることができます。トポスのもう 1 つの重要な例は、結晶サイトからのものです。エタール トポスの場合、これらは遠アーベル幾何学における基礎研究対象を形成します。遠アーベル幾何学では、エタール基本群の構造によって完全に決定される代数幾何学の対象を研究します。

トポス理論は、ある意味では、古典的な点集合位相の一般化です。したがって、病的な動作の古い例と新しい例が見られることが予想されます。たとえば、ピエール・ドリーニュによる、点を持たない非自明なトポスの例があります (トポスの点の定義については以下を参照してください)。

と がトポイである場合、幾何射は、u ^{∗ が}有限極限を保存するような随伴関数のペア( u ^∗、u _∗ ) (ただし、u ^∗  : Y → Xはu _∗  : X → Yの左随伴) です。 u ^{∗ は}右随伴を持つため、自動的に余極限を保存する ことに注意してください。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:X\to Y}$

Freydの随伴関手定理によれば、幾何射X → Yを与えることは、有限極限とすべての小さな余極限を保存する関手u ^∗ :  Y → Xを与えることです。したがって、トポイ間の幾何射は、局所のマップの類似物として考えることができます。

および が位相空間であり、 がそれらの間の連続写像である場合、層に対する引き戻し操作と押し出し操作により、サイト の関連するトポイ間の幾何射が生成されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle u}$${\displaystyle {\text{Open}}(X),{\text{Open}}(Y)}$

トポスの点は、集合のトポスからへの幾何射として定義されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

X が通常の空間でx がXの点である場合、層F をその茎F _xに導く関数には右随伴関数 (「超高層ビル層」関数) があるため、 Xの通常の点はトポス理論的点も決定します。これらは、連続マップx :  1 → Xに沿ったプルバック-プッシュフォワードとして構築できます。

空間 のエタール トポスの場合、点はオブジェクト より少し洗練されています。基礎となるスキーム の点が与えられた場合、トポスの点は、関連付けられたマップが元の点 を介して因数分解されるようなの可分体拡張によって与えられます。この場合、因数分解マップはスキームのエタール射です。 ${\displaystyle (X)_{et}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x:{\text{Spec}}(\kappa (x))\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle (X)_{et}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \kappa (x)}$${\displaystyle x':{\text{Spec}}(k)\to X}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle {\text{Spec}}(k)\to {\text{Spec}}(\kappa (x))}$$

より正確には、それらはグローバルポイントです。それらは、それ自体ではトポスの空間的側面を示すのに十分ではありません。なぜなら、非自明なトポスは空間的側面を持たないことがあるからです。一般化された点は、トポスY (定義の段階)からXへの幾何学的射です。空間的側面を示すのに十分な数があります。たとえば、X が幾何学理論Tの分類トポス S [ T ]である場合、普遍的性質は、その点がT (定義Yの任意の段階) のモデルであることを示します。

u ^{∗ が}さらに左随伴u _!を持つ場合、幾何射 ( u ^∗ , u _∗ )は本質的であり、またはそれと同等に (随伴関数定理により) u ^{∗ が}有限極限だけでなくすべての小さな極限を保存する場合です。

環トポスは( X、R )のペアであり、Xはトポス、R はX内の可換環オブジェクトです。環空間の構成のほとんどは、環トポスに対して行われます。X内のR加群オブジェクトのカテゴリは、十分な数の単射を持つアーベルカテゴリです。より有用なアーベルカテゴリは、準コヒーレントR加群のサブカテゴリです。これらは、表示を許容する R加群です。

環状空間の他に、環状トポイのもう一つの重要なクラスは、ドリーニュ・マンフォード・スタックのエタール・トポイである。

Michael ArtinとBarry Mazur は、トポスの基となるサイトに、プロ単体集合(ホモトピーまで) を関連付けました。^[5] (Ho(pro-SS) で考える方が適切です。Edwards を参照) この逆単体集合システムを使用すると、古典位相幾何学のホモトピー不変量に、トポス理論の不変量の逆システムを関連付ける場合があります。スキームのエタール トポスに関連付けられたプロ単体集合の研究は、エタール ホモトピー理論と呼ばれます。^[6]適切なケースでは (スキームがノイザンであり、幾何学的に単枝 である場合)、このプロ単体集合はプロ有限です。

20 世紀初頭以来、数学の公理的基礎は集合論であり、そこではすべての数学的対象は最終的に集合 (集合間を写像する関数を含む) によって表現される。より最近の圏論の研究により、この基礎はトポスを使用して一般化できるようになり、各トポスは完全に独自の数学的枠組みを定義する。集合の圏はよく知られたトポスを形成し、このトポス内で作業することは、伝統的な集合論的数学を使用することと同等である。しかし、代わりに多くの代替トポスを使用して作業することを選択することもできる。選択公理の標準的な定式化はどのトポスでも意味をなすが、それが無効なトポスも存在する。 構成主義者は、排中律のないトポスで作業することに興味を持つだろう。特定の群 Gの下での対称性が重要な場合は、すべてのG集合からなるトポスを使用できる。

群論などの代数理論を分類トポスの形でトポスとして符号化することも可能です。理論の個々のモデル、つまりこの例では群は、符号化トポスからトポス構造を尊重する集合のカテゴリへの関数 に対応します。

基礎研究に使用される場合、トポスは公理的に定義され、集合論はトポス理論の特別なケースとして扱われます。カテゴリ理論から構築すると、トポスの同等の定義が複数あります。以下は簡潔であるという利点があります。

トポスは、次の 2 つの特性を持つカテゴリです。

• 有限インデックス カテゴリを超えるすべての制限が存在します。
• すべてのオブジェクトにはべき乗オブジェクトがあります。これは集合論におけるべき集合の役割を果たします。

正式には、オブジェクトのべき乗オブジェクトはとのペアであり、次の意味で関係を分類します。まず、すべてのオブジェクト に対して、射(「サブセットのファミリ」) によってサブオブジェクト が誘導されることに注意してください。正式には、これはに沿って引き戻すことによって定義されます。べき乗オブジェクトの普遍的な特性は、すべての関係がこのようにして発生し、関係と射の間に全単射の対応を与えることです。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle (PX,\ni _{X})}$${\displaystyle {\ni _{X}}\subseteq PX\times X}$${\displaystyle I}$${\displaystyle r\colon I\to PX}$${\displaystyle \{(i,x)~|~x\in r(i)\}\subseteq I\times X}$${\displaystyle \ni _{X}}$${\displaystyle r\times X:I\times X\to PX\times X}$${\displaystyle R\subseteq I\times X}$${\displaystyle r\colon I\to PX}$

有限の限界とパワーオブジェクトから次のことが導き出せる。

• 有限インデックス カテゴリ上のすべての余極限が存在します。
• カテゴリにはサブオブジェクト分類子があります。
• カテゴリはデカルト閉です。

一部のアプリケーションでは、サブオブジェクト分類子の役割が極めて重要であり、パワー オブジェクトの役割は重要ではありません。したがって、一部の定義では、定義されるものと派生されるものの役割が逆転します。

論理関数は有限極限とべき乗オブジェクトを保存するトポイ間の関数である。論理関数はトポイが持つ構造を保存する。特に、有限余極限、サブオブジェクト分類子、指数オブジェクトを保存する。^[7]

上記で定義したトポスは、オブジェクトのサブオブジェクトの概念が基本的または第 1 階の定義を持つデカルトの閉じたカテゴリとして理解できます。この概念は、集合のサブセット、グループのサブグループ、およびより一般的には任意の代数構造の部分代数の概念の自然なカテゴリ抽象として、トポスの概念に先行しています。これは、トポスだけでなく任意のカテゴリで、第 2 階の言語で、つまり個々の射ではなく射のクラスで次のように定義できます。YとZからそれぞれXへの2 つのモニックm、nが与えられたとき、 np = mとなる射p : Y → Zが存在し、モニックにXへの前順序が誘導されるとき、 m ≤ nであるといいます。m ≤ nかつn ≤ mのとき、 mとn は同値であるといいます。 Xのサブオブジェクトは、それへのモニックの結果としての同値クラスです。

トポスでは、「サブオブジェクト」は、少なくとも暗黙的に、次のように第一階の概念になります。

上で述べたように、トポスはすべての有限の極限、したがって特に空の極限または最終オブジェクト 1 を持つカテゴリCです。したがって、形式x : 1 → Xの射を要素 x ∈ Xとして扱うのが自然です。したがって、射f : X → Y は、各要素x ∈ Xを要素fx ∈ Yにマッピングする関数に対応し、その応用は合成によって実現されます。

次に、 Xのサブオブジェクトを、同じ像{ mx | x ∈ X′ } を持つモニックm : X′ → Xの同値類として定義することが考えられる。問題は、2 つ以上の射が同じ関数に対応する可能性があること、つまり、関数C (1,-): C → Setが忠実であるという意味でCが具体的であると仮定できないことである。たとえば、グラフの カテゴリGrphとそれに関連する準同型は、最終オブジェクト 1 が 1 つの頂点と 1 つの辺 (自己ループ) を持つグラフであるトポスであるが、グラフGの要素 1 → Gは自己ループにのみ対応し、他の辺や自己ループのない頂点には対応していないため、具体的ではない。2 階の定義では、Gと、 Gのすべての自己ループのサブグラフ(その頂点を含む)は、 Gの異なるサブオブジェクトになる(すべての辺が自己ループであり、すべての頂点が自己ループを持っている場合を除く) が、この像ベースの定義ではそうならない。これは、以下の「その他の例」セクションで説明するように、米田の補題を介してグラフの例と関連する例に対処できますが、これでは一階ではなくなります。Topoi は、より抽象的で一般的な一階のソリューションを提供します。

上で述べたように、トポスCにはサブオブジェクト分類子 Ω、つまりCのジェネリック サブオブジェクトである要素t ∈ Ωを持つCのオブジェクトがあり、図 1 に示すように、すべてのモニックm : X′ → X は、ジェネリック サブオブジェクトの一意の射f : X → Ωに沿ったプルバックとして発生するという特性があります。ここで、モニックのプルバックはモニックであり、t を含むすべての要素はモニックです。これは、任意のオブジェクトから 1 への射は 1 つしか存在しないため、f : X → Ωに沿ったtのプルバックはモニックです。したがって、 Xへのモニックは、Xから Ω への射に沿ったtのプルバックと一対一です。後者の射は、モニックを同値類に分割します。同値類はそれぞれ、そのクラスの特徴射である射f : X → Ω によって決定され、 fによって特徴付けられる、または名前が付けられたXのサブオブジェクトとします。

これらはすべて、具体的かどうかにかかわらず、任意のトポスに当てはまります。具体的な場合、つまりC (1,-) に忠実な場合、たとえば集合のカテゴリでは、状況は関数のよく知られた動作に還元されます。ここで、モニックm : X′ → Xは、 X′からXへの単射 (1対1関数)とまったく同じであり、与えられた像 { mx | x ∈ X′ } を持つものは、 f ⁻¹ ( t ) がその像である射f : X → Ωに対応するXの部分オブジェクトを構成します。部分オブジェクトのモニックは一般に多くのドメインを持ちますが、それらはすべて互いに一対一になります。

要約すると、このサブオブジェクト分類子の 1 階の概念は、任意のカテゴリのサブオブジェクトの 2 階の概念によって以前に明示的に定義されたのと同じ、Xへのモニック上の同値関係をトポスに対して暗黙的に定義します。射のクラス上の同値関係の概念自体は本質的に 2 階ですが、トポスの定義では、サブオブジェクト分類子 Ω の概念のみを明示的に定義することでこれを巧みに回避し、 Xのサブオブジェクトの概念を、関連する射f : X → Ωによって特徴付けられる (したがって命名可能な) 暗黙の結果として残します。

すべての Grothendieck トポスは基本トポスですが、その逆は真ではありません (すべての Grothendieck トポスは共完備であるため、基本トポスには必須ではありません)。

有限集合、有限G集合（有限集合に対する群 Gの作用）、有限グラフの カテゴリは、グロタンディーク トポイではない基本トポイです。

C が小さなカテゴリである場合、関数カテゴリ Set ^C ( Cからセットへのすべての共変関数で構成され、自然な変換は射として行われます) はトポスです。たとえば、2 つの頂点間に複数の有向辺を許可する種類のグラフのカテゴリGrphはトポスです。このようなグラフは、2 つのセット、辺セットと頂点セット、およびそれらのセット間の 2 つの関数s,tで構成され、すべての辺eにソースs ( e ) とターゲットt ( e ) を割り当てます。 したがって、Grph は関数カテゴリSet ^Cと同等です。ここで、C は2 つのオブジェクトEとVと、各辺のソースとターゲットをそれぞれ与える 2 つの射s,t : E → V を持つカテゴリです。

米田補題は、 C ^{op が}Set ^Cに完全なサブカテゴリとして埋め込まれることを主張します。グラフの例では、埋め込みはC ^{op を}Set ^Cのサブカテゴリとして表します。そのサブカテゴリの 2 つのオブジェクトは、1 頂点の辺なしグラフであるV'と、 2 頂点の辺ありグラフであるE' (どちらも関数) であり、その 2 つの非同一射は、 V'からE'への 2 つのグラフ準同型 (どちらも自然変換) です。V 'から任意のグラフ (関数) Gへの自然変換はGの頂点を構成し、E'からGへの自然変換は G の辺を構成します。Grphと同一視できるSet ^Cは、 V'またはE'のいずれか単独では具体化されませんが、オブジェクトGをセットのペア ( Grph ( V'、G )、Grph ( E'、G )) に送信する関数U : Grph → Set ²と、射h : G → Hを関数のペア ( Grph ( V'、h )、Grph ( E'、h )) に送信する関数は忠実です。つまり、グラフの射は、一方が頂点をマップし、もう一方が辺をマップする関数のペアとして理解でき、アプリケーションは依然として合成として実現されますが、今度は複数種類の一般化された要素が含まれます。これは、オブジェクトが基礎となるセットを持つという具体カテゴリの従来の概念は、オブジェクトが複数の基礎となるセットを持つ、つまりマルチソートできるようにすることで、より広い範囲のトポスに対応するように一般化できることを示しています。

点保存関数を持つ尖端集合のカテゴリは、冪対象を持たないため、トポスではありません。 が尖端集合 の冪対象であり、 が尖端単集合を表す場合、点保存関数 は 1 つしかありませんが、 の関係はの尖端部分集合と同じ数だけあります。アーベル群のカテゴリも、同様の理由でトポスではありません。すべての群準同型は 0 を 0 に写像する必要があります。 ${\displaystyle PX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle r\colon 1\to PX}$${\displaystyle 1\times X}$${\displaystyle X}$

• トポス理論の歴史
• ホモトピー仮説
• 直観主義型理論
• ∞トポス
• クアシトポス
• 幾何論理
• 一般化された空間

優しい紙

• Edwards, DA; Hastings, HM (1980 年夏)。「チェフ理論: 過去、現在、そして未来」( PDF)。ロッキー マウンテン数学ジャーナル。10 ( 3): 429–468。doi : 10.1216/ RMJ -1980-10-3-429。JSTOR  44236540 。
• バエズ、ジョン。「トポス理論を簡単に説明する」。優しい紹介。
• Steven Vickers : 「Toposes pour les Nuls」と「Toposes pour les vraiment Nuls」。一般化された空間としてのトポーズについての初歩的な、そしてさらに初歩的な入門書。
• イリュージー、リュック(2004)。「トポスとは何か?」(PDF) AMSの通知51 ( 9): 160–1。

以下のテキストは、トポスと圏論の基礎をわかりやすく解説した入門書です。数学者でなくても、数理論理学や集合論をあまり知らない人にも適しています。

• Lawvere, F. William ; Schanuel, Stephen H. (1997)。概念数学: カテゴリーへの最初の入門。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-47817-5。「コンピュータ科学者、論理学者、物理学者、言語学者などのためのカテゴリー入門書」(表紙より引用)。
• Lawvere, F. William; Rosebrugh, Robert (2003). Sets for Mathematics . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-01060-3。カテゴリカルな観点から数学の基礎を紹介します。

グロタンディークのトポイに関する基礎研究:

• グロタンディーク、A . ; JL ヴェルディエ(1972 年)。テオリ・デ・トポスとコホモロジー・エテール・デ・スキーマ。数学の講義ノート。 Vol. 269. スプリンガー。土井：10.1007/BFb0081551。ISBN 978-3-540-37549-4。 第2巻 270 doi :10.1007/BFb0061319 ISBN 978-3-540-37987-4 

以下のモノグラフにはトポス理論の一部または全部の紹介が含まれていますが、主に初心者向けではありません。難易度が上がる順に（認識されている）リストです。

• マクラティ、コリン(1992)。『基本カテゴリー、基本トポス』クラレンドン プレス。ISBN 978-0-19-158949-2。カテゴリー理論、トポス理論、トポス論理の基礎についての優れた入門書です。前提条件はほとんどありません。
• ゴールドブラット、ロバート(2013) [1984]。トポイ：論理のカテゴリー分析。クーリエコーポレーション。ISBN 978-0-486-31796-0。 良いスタートです。Robert Goldblatt のホームページからオンラインで入手できます。
• Bell, John L. (2001)。「カテゴリー論理の発展」。Gabbay, DM、Guenthner, Franz (編)。哲学論理ハンドブック。第 12 巻 (第 2 版)。Springer。pp. 279– 。ISBN 978-1-4020-3091-8。バージョンは John Bell のホームページでオンラインで入手できます。
• マクレーン、サンダース;モーダイク、イエケ(2012) [1994]. 幾何学と論理における層: トポス理論への最初の入門. シュプリンガー. ISBN 978-1-4612-0927-0。より完全で、より読みにくくなりました。
• バー、マイケル、ウェルズ、チャールズ（2013）[1985]。トポーズ、トリプル、理論。シュプリンガー。ISBN 978-1-4899-0023-4。(オンライン版)。Sheaves in Geometry and Logicよりも簡潔ですが、初心者には難しいです。

専門家向けの参考書であり、初めての入門書としてはあまり適していません

• Edwards, DA; Hastings, HM (1976). Čech と Steenrod のホモトピー理論と幾何学的位相幾何学への応用. Lecture Notes in Maths. Vol. 542. Springer-Verlag. doi :10.1007/BFb0081083. ISBN 978-3-540-38103-7。
• ボルセ、フランシス (1994)。圏代数ハンドブック: 第 3 巻、層理論。数学とその応用百科事典。第 52 巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-44180-3。ジョンストンが「ボルスーの注目すべき最高傑作」と名付けた第 3 部。入門書としては適していますが、初心者にとっては、膨大な量の資料の中から最も関連性の高い結果を認識するのが難しいかもしれません。
• ジョンストン、ピーター・T. (2014) [1977]. トポス理論. クーリエ. ISBN 978-0-486-49336-7。長い間、トポス理論の標準的な概要でした。しかし、ジョンストンでさえ、この作品を「読むのが難しすぎて、気の弱い人には向かない」と述べています。
• ジョンストン、ピーター T. (2002)。『象のスケッチ: トポス理論大要』第 2 巻。クラレンドン プレス。ISBN 978-0-19-851598-2。2010 年初頭の時点で、この圧倒的な概要の予定 3 巻のうち 2 巻が入手可能でした。
• カラメロ、オリビア (2017)。理論、場所、トポス: トポス理論の「橋渡し」による数学理論の関連付けと研究。オックスフォード大学出版局。doi :10.1093/oso/9780198758914.001.0001。ISBN 9780198758914。

トポス理論の特殊な応用を目的とした書籍

• ペディッキオ、マリア・クリスティーナ、トーレン、ウォルター、ロータ、GC 編 (2004)。圏論的基礎: 順序、位相、代数、層理論の特殊トピック。数学とその応用百科事典。第 97 巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-83414-8。興味深い特別なアプリケーションが多数含まれています。