過剰カテゴリー

数学において、オーバーカテゴリー（スライスカテゴリーとも呼ばれる）は、被覆空間（espace étalé）など、複数の文脈で使用されるカテゴリー理論の構成物である。これらは、固定されたオブジェクトを取り巻くデータを追跡するためのメカニズムとして導入された。${\displaystyle X}$あるカテゴリーにおいて$\displaystyle {\mathcal {C}}}$双対概念は下位圏（コスライス圏とも呼ばれる）である。

どちらも、より一般的なコンマカテゴリの構造で表現できます。

させて$\displaystyle {\mathcal {C}}}$カテゴリであり、${\displaystyle X}$固定された物体$\displaystyle {\mathcal {C}}}$^{[ 1 ] 59ページ}。オーバーカテゴリ（スライスカテゴリ）$\displaystyle {\mathcal {C}}/X}$は、オブジェクトがペアである関連カテゴリです。${\displaystyle (A,\pi )}$どこ${\displaystyle \pi :A\to X}$は射である$\displaystyle {\mathcal {C}}}$すると、オブジェクト間の射が${\displaystyle f:(A,\pi )\to (A',\pi ')}$射によって与えられる${\displaystyle f:A\to A'}$カテゴリー$\displaystyle {\mathcal {C}}}$次の図式が可換である

${\displaystyle {\begin{matrix}A&\xrightarrow {f} &A'\\\pi \downarrow {\text{ }}&{\text{ }}&{\text{ }}\downarrow \pi '\\X&=&X\end{matrix}}}$

下位圏（コスライス圏とも呼ばれる）と呼ばれる双対概念が存在する。${\displaystyle X/{\mathcal {C}}}$オブジェクトがペアであるもの${\displaystyle (B,\psi )}$どこ${\displaystyle \psi :X\to B}$は射である$\displaystyle {\mathcal {C}}}$すると、射は${\displaystyle X/{\mathcal {C}}}$射によって与えられる${\displaystyle g:B\to B'}$で$\displaystyle {\mathcal {C}}}$次の図が可換である

${\displaystyle {\begin{matrix}X&=&X\\\psi \downarrow {\text{ }}&{\text{ }}&{\text{ }}\downarrow \psi '\\B&\xrightarrow {g} &B'\end{matrix}}}$

これらの2つの概念は、2-カテゴリー理論^{[ 2 ]}および高次カテゴリー理論^{[ 3 ] pg43}において一般化されており、定義は類似しているか、本質的に同じである。

多くのカテゴリ特性$\displaystyle {\mathcal {C}}}$オブジェクトに関連付けられた上位カテゴリと下位カテゴリに継承されます${\displaystyle X}$例えば、$\displaystyle {\mathcal {C}}}$有限の積と余積を持つので、カテゴリーはすぐに$\displaystyle {\mathcal {C}}/X}$そして${\displaystyle X/{\mathcal {C}}}$これらの特性は、製品と副産物が構築できるため、$\displaystyle {\mathcal {C}}}$、普遍的な性質により、${\displaystyle X}$または${\displaystyle X}$さらに、これは極限と余極限にも当てはまります。

構造上、${\displaystyle (X,\operatorname {id} )}$は終端オブジェクトです$\displaystyle {\mathcal {C}}/X}$そして最初の目的${\displaystyle X/{\mathcal {C}}}$。