自然な変化

数学の一分野である圏論において、自然変換は、関係する圏の内部構造（すなわち、射の合成）を尊重しながら、ある関数を別の関数に変換する方法を提供する。したがって、自然変換は「関数の射」であると考えることができる。非公式には、自然変換の概念は、関数間の特定の写像が圏全体にわたって一貫して実行できることを示している。

実際、この直感は、いわゆる関数カテゴリを定義するために形式化することができます。自然変換は、カテゴリと関数に次いで、カテゴリ理論の最も基本的な概念の 1 つであり、その結果、その応用の大部分に登場します。

および がカテゴリと(両方とも からへ) の間の関数である場合、からへの自然変換は、2 つの要件を満たす射の族です。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \eta}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

1. 自然変換は、内のすべてのオブジェクトに、のオブジェクト間の射を関連付ける必要があります。この射はにおけるの成分と呼ばれます。${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \eta _{X}:F(X)\to G(X)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \eta_{X}}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle X}$
2. 成分は、のあらゆる射に対して次のようになる必要があります。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle \eta _{Y}\circ F(f)=G(f)\circ \eta _{X}}$

最後の式は、交換法則図で簡単に表現できる。

と の両方が反変である場合、右の図の垂直矢印は逆になります。 が から への自然変換である場合、またはとも書きます。 これは、における射の族が自然であるということによっても表現されます。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \eta :F\to G}$${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$${\displaystyle \eta _{X}:F(X)\to G(X)}$${\displaystyle X}$

内の任意のオブジェクトに対して、射が内の同型である場合、 はであると言われる。${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \eta_{X}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \eta}$自然同型性（または、関数 の自然同値性や）。2 つの関数と は、から への自然同型性が存在する場合、自然同型または単に同型であると呼ばれます。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

から への非自然変換は 、内のすべての に対して、単に射 の族です。したがって、自然変換 は、すべての射 に対してとなる非自然変換です。の自然化子natは、 上のすべてのオブジェクトを含み、が自然変換に制限される の最大のサブカテゴリです。${\displaystyle \eta}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \eta _{X}:F(X)\to G(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \eta _{Y}\circ F(f)=G(f)\circ \eta _{X}}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle (\eta )}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \eta}$

次のような発言

「すべてのグループは、その反対のグループと自然に同型である」

現代数学には、この命題の正確な意味とその証明を示します。 群準同型を射とするすべての群のカテゴリを考えてみましょう。が群である場合、その反対群を次のように定義します。はと同じ集合であり、演算はによって定義されます。 のすべての乗算は、このように「逆」になります。反対群を形成することは、任意の群準同型 に対して を定義すると、からへの (共変) 関数になります。 は、確かに からへの群準同型であることに注意してください 。 ${\displaystyle {\textbf {グループ}}}$${\displaystyle (G,*)}$${\displaystyle (G^{\text{op}},{*}^{\text{op}})}$${\displaystyle G^{\text{op}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle *^{\text{op}}}$${\displaystyle a*^{\text{op}}b=b*a}$${\displaystyle G^{\text{op}}}$${\displaystyle {\textbf {グループ}}}$${\displaystyle {\textbf {グループ}}}$${\displaystyle f^{\text{op}}=f}$${\displaystyle f:G\to H}$${\displaystyle f^{\text{op}}}$${\displaystyle G^{\text{op}}}$${\displaystyle H^{\text{op}}}$

${\displaystyle f^{\text{op}}(a*^{\text{op}}b)=f(b*a)=f(b)*f(a)=f^{\text{op}}(a)*^{\text{op}}f^{\text{op}}(b).}$

上記の声明の内容は次のとおりです。

「恒等関数は、当然、反対関数と同型である」${\displaystyle {\text{Id}}_{\textbf {Grp}}:{\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}}$${\displaystyle {\text{op}}:{\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}}$

これを証明するには、上の図が可換となるような、すべての群 に対する同型性を与える必要があります。 を設定します。 の式と は、が逆 を持つ群準同型である ことを示しています。 自然性を証明するには、群準同型から始めて 、つまり 内のすべての に対して であることを示します。 これは、およびすべての群準同型が という特性を持つため真です 。 ${\displaystyle \eta _{G}:G\to G^{\text{op}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \eta_{G}(a)=a^{-1}}$${\displaystyle (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}=a^{-1}*^{\text{op}}b^{-1}}$${\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}$${\displaystyle \eta_{G}}$${\displaystyle \eta _{G^{\text{op}}}}$${\displaystyle f:G\to H}$${\displaystyle \eta _{H}\circ f=f^{\text{op}}\circ \eta _{G}}$${\displaystyle (f(a))^{-1}=f^{\text{op}}(a^{-1})}$${\displaystyle a}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f^{\text{op}}=f}$${\displaystyle (f(a))^{-1}=f(a^{-1})}$

を右加群の -加群準同型とします。すべての左加群に対して、自然な写像 が存在し、自然変換 を形成します。すべての右加群に対して、によって定義される自然な写像 が存在し、自然変換 を形成します。 ${\displaystyle \varphi :M\longrightarrow M^{\prime }}$${\displaystyle R}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \varphi \otimes N:M\otimes _{R}N\longrightarrow M^{\prime }\otimes _{R}N}$${\displaystyle \eta :M\otimes _{R}-\implies M'\otimes _{R}-}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \eta _{N}:{\text{Hom}}_{R}(M',N)\longrightarrow {\text{Hom}}_{R}(M,N)}$${\displaystyle \eta _{N}(f)=f\varphi }$${\displaystyle \eta :{\text{Hom}}_{R}(M',-)\implies {\text{Hom}}_{R}(M,-)}$

群 が与えられた場合、そのアーベル化を定義できます。 を の剰余類への射影写像とします。この準同型は「 において自然 」です。つまり、自然変換を定義します。これをここで確認します。を群とします。任意の準同型 に対して、 は の核に含まれます。これは、アーベル群への任意の準同型によって交換子部分群が消滅するためです。次に、 を として因数分解すると、一意の準同型 についてになります。これにより、恒等関数から への関数と 自然変換が作成されますが、自然同型ではありません。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{\text{ab}}=G/}$ ${\displaystyle [G,G]}$${\displaystyle \pi _{G}:G\to G^{\text{ab}}}$${\displaystyle [G,G]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle f:G\to H}$${\displaystyle [G,G]}$${\displaystyle \pi _{H}\circ f}$${\displaystyle \pi _{H}\circ f}$${\displaystyle G^{\text{ab}}}$${\displaystyle f^{\text{ab}}\circ \pi _{G}=\pi _{H}\circ f}$${\displaystyle f^{\text{ab}}:G^{\text{ab}}\to H^{\text{ab}}}$${\displaystyle {\text{ab}}:{\textbf {Grp}}\to {\textbf {Grp}}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\text{ab}}}$

代数的位相幾何学には関数や自然変換が豊富に存在し、その例としてはヒューレヴィッツ準同型が挙げられる。任意の尖った位相空間 と正の整数に対して、群準同型が存在する。${\displaystyle (X,x)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle h_{n}\colon \pi _{n}(X,x)\to H_{n}(X)}$

の - 番目のホモトピー群から の-番目のホモロジー群への変換です。と は両方とも、尖った位相空間のカテゴリTop ^*から群のカテゴリGrpへの関数であり、 はから への自然変換です 。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle (X,x)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{n}}$${\displaystyle H_{n}}$${\displaystyle h_{n}}$${\displaystyle \pi _{n}}$${\displaystyle H_{n}}$

環準同型を持つ可換環 と が与えられたとき、可逆行列と のそれぞれの群は、で表す準同型を継承します。 これは、各行列要素 に適用することで得られます。同様に、 は群準同型 に制限されます。ここで、は の単位群を表します。実際、と は、可換環のカテゴリから への関数です。で表された群 上の行列式は、群準同型です。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(R)}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(S)}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{*}:R^{*}\to S^{*}}$${\displaystyle R^{*}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$${\displaystyle *}$${\displaystyle {\textbf {CRing}}}$${\displaystyle {\textbf {Grp}}}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(R)}$${\displaystyle {\text{det}}_{R}}$

${\displaystyle {\mbox{det}}_{R}\colon {\mbox{GL}}_{n}(R)\to R^{*}}$

これは において自然です。行列式はすべての環に対して同じ公式で定義されるため、が成り立ちます。これにより、行列式は からへの自然変換になります。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle f^{*}\circ {\text{det}}_{R}={\text{det}}_{S}\circ {\text{GL}}_{n}(f)}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$${\displaystyle *}$

たとえば、 が体である場合、上のすべてのベクトル空間に対して、ベクトル空間 からその二重双対への「自然な」単射線型写像が存在します。これらの写像は、次の意味で「自然」です。二重双対演算は関数であり、写像は恒等関数から二重双対関数への自然な変換の要素です。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V\to V^{**}}$

あらゆるアーベル群 に対して、整数 から の基底集合 への関数の集合は、点ごとの加法の下で アーベル群を形成します。(ここでは、標準的な忘却関手を示します。)射が与えられた場合、前者の要素と左合成することによって与えられる写像は、それ自体がアーベル群の準同型です。このようにして、関手 が得られます。各関数 を に取る差分演算子は、 から 自体への写像であり、そのような写像のコレクションは自然な変換 を与えます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{\textbf {Set}}(\mathbb {Z} ,U(G))}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V_{\mathbb {Z} }(G)}$${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U:{\textbf {Ab}}\to {\textbf {Set}}}$${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$${\displaystyle \varphi :G\to G'}$${\displaystyle V_{\mathbb {Z} }(\varphi ):V_{\mathbb {Z} }(G)\to V_{\mathbb {Z} }(G')}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle V_{\mathbb {Z} }:{\textbf {Ab}}\to {\textbf {Ab}}}$${\displaystyle \Delta _{G}}$${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to U(G)}$${\displaystyle \Delta (f):n\mapsto f(n+1)-f(n)}$${\displaystyle V_{\mathbb {Z} }(G)}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta :V_{\mathbb {Z} }\to V_{\mathbb {Z} }}$

アーベル群と群準同型のカテゴリ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$を考えてみましょう。すべてのアーベル群、およびに対して群同型が存在します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle {\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)\to {\text{Hom}}(X,{\text{Hom}}(Y,Z))}$。

これらの同型性は、2 つの関係する関数間の自然な変換を定義するという意味で「自然」です。(ここで、「op」はの反対カテゴリであり、 上の自明な反対グループ関数と混同しないでください 。) ${\displaystyle {\textbf {Ab}}^{\text{op}}\times {\textbf {Ab}}^{\text{op}}\times {\textbf {Ab}}\to {\textbf {Ab}}}$${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$

これは正式にはテンソル-ホム随伴関数であり、随伴関数のペアの典型的な例です。随伴関数と連動して自然変換が頻繁に発生し、実際、随伴関数は特定の自然同型によって定義されます。さらに、随伴関数のすべてのペアには、ユニットとコユニットと呼ばれる 2 つの自然変換 (通常は同型ではありません) が備わっています。

自然変換の概念はカテゴリ的であり、関数間の特定の写像がカテゴリ全体にわたって一貫して実行できることを（非公式に）述べています。非公式には、個々のオブジェクト（カテゴリ全体ではない）間の特定の写像（特に同型）は「自然同型」と呼ばれ、暗黙的にそれがカテゴリ全体で実際に定義され、関数の自然変換を定義することを意味します。この直感を形式化することが、カテゴリ理論の発展の動機付け要因でした。

逆に、特定のオブジェクト間の特定の写像は、写像がカテゴリ全体への自然な変換に拡張できない場合、不自然な同型（または「自然でない同型」）と呼ばれることがあります。オブジェクト、関手（簡単にするために最初の関手を恒等写像とする）および同型が与えられた場合、不自然さの証明は、この同型と可換でない自己同型（つまり）を与えることによって最も簡単に示すことができます。より強く言うと、特定の同型を参照せずに、および が自然に同型でないことを証明したい場合、任意の同型 に対して、それが可換でない同型 が存在することを示す必要があります。場合によっては、単一の自己同型がすべての候補同型に対して機能しますが、他の場合には、各同型に対して異なる を構築する方法を示さなければなりません。カテゴリの写像は重要な役割を果たします。たとえば、唯一の写像が恒等写像である場合、任意の非自然変換は自然です。 ${\displaystyle X,}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \eta \colon X\to G(X),}$${\displaystyle A\colon X\to X}$${\displaystyle \eta \circ A\neq G(A)\circ \eta }$${\displaystyle X}$${\displaystyle G(X)}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle A_{\eta }}$

これは、群論やモジュール理論の概念に似ています (ただし、よりカテゴリ的です)。群論やモジュール理論では、オブジェクトの直和への分解は「自然ではない」、または直和分解を保存しない自己同型が存在するため「一意ではない」とされています。たとえば、主イデアル領域上の有限生成モジュールの構造定理 § 一意性を参照してください。

著者によっては、自然同型には を使用し、不自然同型には を使用し、等式 (通常はマップの等式) については と表記法で区別する人もいます。 ${\displaystyle \cong }$${\displaystyle \approx }$${\displaystyle =}$

関数ステートメントと個々のオブジェクトの違いの例として、積空間のホモトピー群、具体的にはトーラスの基本群を考えてみましょう。

積空間のホモトピー群は、当然、成分のホモトピー群の積で​​あり、同型性は 2 つの因子への射影によって与えられます。これは基本的に、積空間への写像が成分への写像の積そのものであるためです。これは関数的な記述です。 ${\displaystyle \pi _{n}((X,x_{0})\times (Y,y_{0}))\cong \pi _{n}((X,x_{0}))\times \pi _{n}((Y,y_{0})),}$

しかし、トーラス（抽象的には2つの円の積）は と同型の基本群を持ちますが、分割は自然ではありません。 、、の使用に注意してください。^[a]${\displaystyle Z^{2}}$${\displaystyle \pi _{1}(T,t_{0})\approx \mathbf {Z} \times \mathbf {Z} }$${\displaystyle \approx }$${\displaystyle \cong }$${\displaystyle =}$

${\displaystyle \pi _{1}(T,t_{0})\approx \pi _{1}(S^{1},x_{0})\times \pi _{1}(S^{1},y_{0})\cong \mathbf {Z} \times \mathbf {Z} =\mathbf {Z} ^{2}.}$

積を持つこの抽象的な同型性は自然ではありません。なぜなら、 の同型の中には積を保存しないものもあるからです。 の自己同型性(商空間と考えられる) は、(幾何学的には生成曲線の 1 つについてのデーン ツイスト) によって与えられ、(可逆整数行列の一般線型群内にある) 上のこの行列として機能しますが、これは対角行列ではないため、積としての分解を保存しません。ただし、トーラスが積として与えられた場合(つまり、空間の分解が与えられた場合)、群の分割は前述の一般的な記述から導かれます。カテゴリカルな用語で言えば、関連するカテゴリ (積空間の構造を保存する) は、「積空間の写像、つまり、それぞれのコンポーネント間の写像のペア」です。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(\mathbb {Z} ,2)}$${\displaystyle (T,t_{0})=(S^{1},x_{0})\times (S^{1},y_{0})}$

自然性はカテゴリの概念であり、正確にどのようなデータが与えられているかについて非常に正確である必要があります。つまり、積である空間としてのトーラス (空間と連続写像のカテゴリ内) は、積として提示されるトーラス (2 つの空間の積とそれぞれのコンポーネント間の連続写像のカテゴリ内) とは異なります。

すべての有限次元ベクトル空間はその双対空間に同型であるが、2つの空間の間にはさまざまな同型が存在する可能性がある。一般に、有限次元ベクトル空間とその双対空間の間には自然な同型は存在しない。^[1]ただし、関連するカテゴリ（追加の構造とマップの制限を持つ）には、以下に示すように自然な同型があります。

有限次元ベクトル空間の双対空間は、再び同じ次元の有限次元ベクトル空間であり、次元は与えられた体上の有限次元ベクトル空間の唯一の不変量であるため、これらは同型である。しかし、追加の制約（写像が選択された基底を保存するという要件など）がない場合、空間からその双対への写像は一意ではなく、したがってそのような同型は選択を必要とし、「自然ではない」。有限次元ベクトル空間と線型写像のカテゴリでは、各空間の同型を選択することによって（たとえば、すべてのベクトル空間の基底を選択し、対応する同型を取ることによって）ベクトル空間からその双対への非自然同型を定義することができるが、これは自然な変換を定義するものではない。直感的には、これは選択を必要としたためであり、厳密には、そのような同型の選択は、たとえばゼロ写像と交換しないためである。詳細な議論については、（Mac Lane & Birkhoff 1999、§VI.4）を参照。

有限次元ベクトル空間 (オブジェクトとして) と恒等関数および双対関数から始めて、自然な同型性を定義できますが、これにはまず追加の構造を追加し、次にマップを「すべての線型マップ」から「この構造を尊重する線型マップ」に制限する必要があります。明示的には、各ベクトル空間に対して、その双対 への同型性のデータが付属していることを要求します。言い換えると、非退化双線型形式を持つベクトル空間をオブジェクトとして取ります。これにより、非自然同型性 (各オブジェクトに対する同型性) が定義されます。次に、マップを同型性と可換なマップのみに制限します。言い換えると、双線型形式 を保存します。 (これらの写像は同型の自然化を定義します。) 結果として得られるカテゴリは、非退化双線型形式を持つ有限次元ベクトル空間をオブジェクトとし、双線型形式を尊重する線型変換をマップし、構成により恒等写像から双対写像への自然な同型性を持ちます (各空間はその双対写像と同型性を持ち、カテゴリ内の写像は可換である必要があります)。この観点から見ると、この構成 (各オブジェクトの変換を追加し、写像がこれらと可換になるように制限する) は完全に一般的なものであり、ベクトル空間の特定のプロパティに依存しません。 ${\displaystyle \eta _{V}\colon V\to V^{*}}$ ${\displaystyle b_{V}\colon V\times V\to K}$${\displaystyle T\colon V\to U}$${\displaystyle T^{*}(\eta _{U}(T(v)))=\eta _{V}(v)}$${\displaystyle b_{U}(T(v),T(w))=b_{V}(v,w)}$

このカテゴリ (非退化双線型形式を持つ有限次元ベクトル空間、双線型形式を尊重する線型変換の写像) では、ベクトル空間間の写像の双対は転置として識別できます。多くの場合、幾何学的な関心から、これはサブカテゴリに特化され、非退化双線型形式が対称 (直交行列)、対称かつ正定値 (内積空間)、対称セスクイリニア (エルミート空間)、歪対称かつ完全に等方性 (シンプレクティックベクトル空間) などの追加のプロパティを持つことが要求されます。これらすべてのカテゴリでは、ベクトル空間は自然にその双対である非退化双線型形式と同一視されます。

および が関数 間の自然変換である場合、これらを合成して自然変換 を得ることができます。これは成分ごとに行われます。 ${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$${\displaystyle \epsilon :G\Rightarrow H}$${\displaystyle F,G,H:C\to D}$${\displaystyle \epsilon \circ \eta :F\Rightarrow H}$

${\displaystyle (\epsilon \circ \eta )_{X}=\epsilon _{X}\circ \eta _{X}}$。

この自然変換の垂直合成は結合的で恒等変換を持ち、すべての関数の集合自体をカテゴリとして考えることができる（以下の関数カテゴリを参照）。関数上の恒等変換の自然変換にはコンポーネントがある。^[2]${\displaystyle C\to D}$${\displaystyle \mathrm {id} _{F}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (\mathrm {id} _{F})_{X}=\mathrm {id} _{F(X)}}$

のために、。${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$${\displaystyle \mathrm {id} _{G}\circ \eta =\eta =\eta \circ \mathrm {id} _{F}}$

が関数間の自然変換であり、が関数間の自然変換である場合、関数の合成により、成分 ${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$${\displaystyle F,G:C\to D}$${\displaystyle \epsilon :J\Rightarrow K}$${\displaystyle J,K:D\to E}$${\displaystyle \epsilon *\eta :J\circ F\Rightarrow K\circ G}$

${\displaystyle (\epsilon *\eta )_{X}=\epsilon _{G(X)}\circ J(\eta _{X})=K(\eta _{X})\circ \epsilon _{F(X)}}$。

ウィスカーリング（下記参照）を使うと、

${\displaystyle (\epsilon *\eta )_{X}=(\epsilon G)_{X}\circ (J\eta )_{X}=(K\eta )_{X}\circ (\epsilon F)_{X}}$、

したがって

${\displaystyle \epsilon *\eta =\epsilon G\circ J\eta =K\eta \circ \epsilon F}$。

この自然変換の水平合成は恒等写像とも関連があります。この恒等写像は恒等写像関手上の恒等自然変換、つまり各オブジェクトに恒等写像を関連付ける自然変換です。カテゴリ のオブジェクトの場合、です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle (\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}})_{X}=\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}(X)}=\mathrm {id} _{X}}$

の場合、。${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$${\displaystyle F,G:C\to D}$${\displaystyle \mathrm {id} _{\mathrm {id} _{D}}*\eta =\eta =\eta *\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{C}}}$

とは恒等関数なので、水平合成の恒等関数は垂直合成の恒等関数でもあるが、その逆は成り立たない。^[3]${\displaystyle \mathrm {id} _{C}}$${\displaystyle \mathrm {id} _{D}}$

ウィスカーとは、関数と自然変換の間の外部二項演算である。 ^{[4] [5]}

が関手間の自然変換であり、が別の関手である場合、自然変換は次のように 定義できる。${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$${\displaystyle F,G:C\to D}$${\displaystyle H:D\to E}$${\displaystyle H\eta :H\circ F\Rightarrow H\circ G}$

${\displaystyle (H\eta )_{X}=H(\eta _{X})}$。

一方が関手である場合、自然変換は次のように定義される。 ${\displaystyle K:B\to C}$${\displaystyle \eta K:F\circ K\Rightarrow G\circ K}$

${\displaystyle (\eta K)_{X}=\eta _{K(X)}}$。

これは、自然変換の 1 つが恒等自然変換である水平構成でもあります。

${\displaystyle H\eta =\mathrm {id} _{H}*\eta }$そして。${\displaystyle \eta K=\eta *\mathrm {id} _{K}}$

(resp. ) は一般に水平合成(および一般に)の左 (resp. 右) 恒等関数ではないことに注意してください。ただし、(resp. ) がカテゴリ(resp. ) の恒等関数である場合は除きます。 ${\displaystyle \mathrm {id} _{H}}$${\displaystyle \mathrm {id} _{K}}$${\displaystyle *}$${\displaystyle H\eta \neq \eta }$${\displaystyle \eta K\neq \eta }$${\displaystyle H}$${\displaystyle K}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$

2 つの操作は、垂直構成と水平構成を交換する恒等式によって関連しています。右の図に示すように 4 つの自然な変換がある場合、次の恒等式が成り立ちます。 ${\displaystyle \alpha ,\alpha ',\beta ,\beta '}$

${\displaystyle (\beta '\circ \alpha ')*(\beta \circ \alpha )=(\beta '*\beta )\circ (\alpha '*\alpha )}$。

垂直構成と水平構成も、アイデンティティの自然な変換を通じて結び付けられます。

および、。[ ^6]${\displaystyle F:C\to D}$${\displaystyle G:D\to E}$${\displaystyle \mathrm {id} _{G}*\mathrm {id} _{F}=\mathrm {id} _{G\circ F}}$

ウィスカーリングは恒等式による水平合成であるため、交換法則により、コンポーネントと可換図を分析することなく 、およびの水平合成の簡潔な式が直ちに得られます。${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$${\displaystyle \epsilon :J\Rightarrow K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon *\eta &=(\epsilon \circ \mathrm {id} _{J})*(\mathrm {id} _{G}\circ \eta )=(\epsilon *\mathrm {id} _{G})\circ (\mathrm {id} _{J}*\eta )=\epsilon G\circ J\eta \\&=(\mathrm {id} _{K}\circ \epsilon )*(\eta \circ \mathrm {id} _{F})=(\mathrm {id} _{K}*\eta )\circ (\epsilon *\mathrm {id} _{F})=K\eta \circ \epsilon F\end{aligned}}}$。

が任意のカテゴリ で が小さなカテゴリである場合、 から までのすべての関数をオブジェクトとして、それらの関数間の自然変換を射として持つ関数カテゴリを形成できます。任意の関数に対して恒等自然変換 (上の恒等射をすべてのオブジェクトに割り当てる)が存在し、2 つの自然変換の合成 (上記の「垂直合成」) も自然変換であるため、カテゴリが形成されます。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C^{I}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F}$${\displaystyle 1_{F}:F\to F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F(X)}$

における同型は、まさに自然同型です。つまり、自然変換が自然同型であるためには、および となるような自然変換が存在する必要があります。 ${\displaystyle C^{I}}$${\displaystyle \eta :F\to G}$${\displaystyle \epsilon :G\to F}$${\displaystyle \eta \epsilon =1_{G}}$${\displaystyle \epsilon \eta =1_{F}}$

関数カテゴリは、有向グラフから生じる場合に特に便利です。たとえば、 が有向グラフ• → •のカテゴリである場合、 はの射をオブジェクトとして持ち、 との間の射は、と の射のペアであり、「平方は可換」です。つまり、です。 ${\displaystyle C^{I}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle C^{I}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \phi :U\to V}$${\displaystyle \psi :X\to Y}$${\displaystyle C^{I}}$${\displaystyle f:U\to X}$${\displaystyle g:V\to Y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \psi \circ f=g\circ \phi }$

より一般的には、2-カテゴリ を構築することができ、 ${\displaystyle {\textbf {Cat}}}$

• 0セル（オブジェクト）は小さなカテゴリであり、
• 2つのオブジェクトと間の1セル（矢印）は、からへの関数であり、${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$
• 2 つの 1 セル (関数) 間の 2 セルは、からへの自然変換です。${\displaystyle F:C\to D}$${\displaystyle G:C\to D}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

水平合成と垂直合成は、前述の自然変換間の合成です。関数カテゴリは、このカテゴリ内のホムカテゴリにすぎません (小ささの問題は別として)。 ${\displaystyle C^{I}}$

あらゆる極限と余極限は、単純な自然変換の例を提供します。これは、円錐が対角関数を定義域とする自然変換に相当するためです。実際、極限と余極限がその普遍的性質によって直接定義される場合、それらは関数カテゴリにおける普遍射です。

が局所的に小さなカテゴリの対象である場合、割り当てによって共変関数 が定義されます。この関数は表現可能と呼ばれます(より一般的には、表現可能な関数とは、 を適切に選択した場合にこの関数と自然に同型となる関数のことです)。表現可能な関数から任意の関数への自然な変換は完全に既知であり、簡単に記述できます。これが、米田の補題の内容です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle Y\mapsto {\text{Hom}}_{C}(X,Y)}$${\displaystyle F_{X}:C\to {\textbf {Set}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F:C\to {\textbf {Set}}}$

圏論の創始者の一人であるサンダース・マクレーンは、「私は関数を研究するために圏を発明したのではなく、自然変換を研究するために圏を発明したのだ」と述べたと言われている。 ^[7]群の研究が準同型性の研究なしには完結しないのと同様に、圏の研究は関数の研究なしには完結しない。マクレーンがこのようにコメントした理由は、関数の研究自体が自然変換の研究なしには完結しないからである。

マックレーンの発言の背景にあったのは、ホモロジーの公理理論であった。ホモロジーを構築するさまざまな方法が一致することが示され得る。たとえば、単体複体の場合、直接定義された群は特異点理論の群と同型であろう。自然変換の言語なしでは容易に表現できないのは、ホモロジー群がオブジェクト間の射とどのように両立するか、および 2 つの同値なホモロジー理論が同じホモロジー群を持つだけでなく、それらの群間の射も同じであるということである。

• 超自然的変化
• 普遍的な財産
• 高等圏理論

• nLab、 nカテゴリカルな観点に重点を置いた数学、物理学、哲学に関するウィキプロジェクト
• J. アダメック、H. ヘルリッヒ、G. ストレッカー、「抽象と具象のカテゴリー - 猫の喜び」
• スタンフォード哲学百科事典：「カテゴリー理論」—ジャン＝ピエール・マルキス著。豊富な参考文献。
• Baez, John、1996、「n カテゴリーの物語」。高次のカテゴリーへの非公式な入門書。